2025-2026学年上学期北京小学数学四年级期末典型卷3

这是一份2025-2026学年上学期北京小学数学四年级期末典型卷3，共47页。试卷主要包含了看图写数，如图，这瓶油20天刚好用完，先观察再填空等内容，欢迎下载使用。
1．2023年“五一”假期，云南省共接待游客35013000人次，横线上的数改写成用“万”作单位的数是 。
2．看图写数。
3．在横线填上“＞”、“＜”或“＝”。
6230000平方米 62平方千米
360×40 36×400
25×40 90000÷90
720÷90 80÷10
4．生活中常见的一些互相垂直的例子有 ， 等。
5．如图，这瓶油20天刚好用完。平均每天用油 毫升。
6．如图，用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。
平行四边形的底是 cm，平行四边形的高是 cm。平行四边形的面积是 cm2。
7．先观察再填空。
8．看图，计算妈妈用买苹果的钱，可以买多少千克的桔子？
二．选择题（共8小题）
9．如图，把一个角放在放大镜下，下面描述正确的是（ ）
A．角的度数变大了B．角的度数变小了
C．角的度数大小不变D．以上都有可能
10．因为101×8+2＝810，所以□÷□＝□……□。□里依次填（ ）
A．810、2、101、8B．810、2、8、101
C．810、8、101、2
11．下列说法错误的是（ ）
A．长方形是特殊的平行四边形
B．平行四边形不容易变形
C．梯形只有一组对边平行
12．在用竖式计算时，下面（ ）中的5×6表示的意思是500×60。
A．504×16B．560×74C．523×65D．352×61
13．有两个相同的长方形，长是7厘米，宽是3厘米，把它们按下图所示的方式叠放在一起，叠放后图形的周长是（ ）厘米。
A．20B．28C．34
14．下面竖式是一道除法算式先试商后调商的计算过程，这道除法算式的被除数是（ ）
A．262B．245C．35
15．下面量角的方法，正确的是（ ）
A．
B．
C．
16．某公司组织登山活动，他们以每小时x千米的速度登山，行进一段时间后队伍开始休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以每小时y千米（0＜y＜x）的速度继续前进，直达山顶。那么他们登山的路程S（千米）与时间t（分）之间的图象大致是（ ）
A．B．
C．
三．计算题（共1小题）
17．列竖式计算。
四．操作题（共1小题）
18．按要求画图。
（1）以点A为顶点，画一个50°的角。
（2）以线段BC为底画一个平行四边形。
五．解答题（共5小题）
19．如图所示是书店和学校所在区域的平面图。小明从书店出发沿着图中的黑色粗线道路走到学校，前3分钟走了210米。照这样的速度，他一共需要多少分钟才能走到学校？
20．张阿姨驾驶一辆面包车从甲城开往乙城，每小时行驶45千米。
（1）出发2小时后，她大约在什么位置？（先计算，再用▲在图中作标记）
（2）张阿姨7：10出发，行完全程是什么时间？
21．有38人需要租车。
如果每辆车都坐满，可以怎样租车？
22．如图。
（1）在图中填上喜欢足球的男、女人数。
（2）根据喜欢跳绳的男生有12人，女生有18人，在图中画出相应的直条。
（3）在喜欢的各项运动中，男、女生人数相差最大的是 ，相差最小的是 。
（4）跳绳是一项简单易行的运动，能增强肢体协调性，缓解压力、染指健身等，被称为“运动之王”。对于这项运动，锻炼时应注意什么？你有什么好的经验分享给大家？
23．
2025-2026学年上学期北京小学数学四年级期末典型卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．填空题（共8小题）
1．2023年“五一”假期，云南省共接待游客35013000人次，横线上的数改写成用“万”作单位的数是 3501.3万 。
【考点】亿以内数的改写与近似．
【专题】数感．
【答案】3501.3万。
【分析】改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字。
【解答】解：35013000＝3501.3万。
故答案为：3501.3万。
【点评】本题主要考查整数的改写，改写时要注意带计数单位。
2．看图写数。
【考点】亿以内数的读写．
【专题】整数的认识；数感．
【答案】
【分析】1000个小正方体表示1个千，300个小正方体表示3个百，60个小正方体表示6个十，5个小正方体表示5个一，这个数是1365；
算盘横梁的上方千位上的1颗珠子，下方千位上的3颗珠子，表示8个千，百位上横梁的下方的1颗珠子，表示1个百，十位上横梁的下方2颗珠子，表示2个十，上方个位上的1颗珠子，下方个位上的1颗珠子，表示6个一，这个数是8126。
【解答】解：
【点评】此题考查了万以内数的读写，要求学生掌握。
3．在横线填上“＞”、“＜”或“＝”。
6230000平方米 ＜ 62平方千米
360×40 ＝ 36×400
25×40 ＝ 90000÷90
720÷90 ＝ 80÷10
【考点】亿以内数比较大小；两位数乘两位数；两位数乘三位数；两位数除两、三位数；大面积单位间的进率及单位换算．
【专题】运算顺序及法则；长度、面积、体积单位；运算能力．
【答案】＜；＝；＝；＝。
【分析】1平方千米＝1000000平方米，62平方千米＝62000000平方米，6230000平方米＜62000000平方米；算式大小的比较，先计算，再比较得数的大小。
【解答】解：6230000平方米＜62平方千米
360×40＝36×400
25×40＝90000÷90
720÷90＝80÷10
故答案为：＜；＝；＝；＝。
【点评】本题考查了单位的换算，乘除法算式的计算，整数大小比较。
4．生活中常见的一些互相垂直的例子有 黑板的长边与短边互相垂直 ， 桌面的长边与宽边互相垂直 等。
【考点】垂直与平行的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】黑板的长边与短边互相垂直，桌面的长边与宽边互相垂直。
【分析】两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
【解答】解：生活中常见的一些互相垂直的例子有黑板的长边与短边互相垂直，桌面的长边与宽边互相垂直等。
故答案为：黑板的长边与短边互相垂直，桌面的长边与宽边互相垂直。
【点评】本题考查了垂直性质及意义。
5．如图，这瓶油20天刚好用完。平均每天用油 100 毫升。
【考点】两位数除多位数；体积、容积进率及单位换算．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】100。
【分析】2升＝2000毫升，然后用2000除以天数就是平均每天用油多少毫升。
【解答】解：2升＝2000毫升
2000÷20＝100（毫升）
答：平均每天用油100毫升。
故答案为：100。
【点评】本题考查了平均分除法的灵活运用，关键是把2升转化为2000毫升。
6．如图，用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。
平行四边形的底是 3 cm，平行四边形的高是 1 cm。平行四边形的面积是 3 cm2。
【考点】图形的拼组．
【专题】运算能力．
【答案】3，1，3。
【分析】将平行四边形分割如下：
由图可知：平行四边形的底和高对应直角三角形两直角边，再将数据代入平行四边形的面积公式S＝ah计算即可。
【解答】解：由分析可得：平行四边形的底是3cm，平行四边形的高是1cm。平行四边形的面积是3×1＝3cm2。
故答案为：3，1，3。
【点评】本题主要考查三角形面积公式的推导过程，明确对应边的长度是解题的关键。
7．先观察再填空。
【考点】“式”的规律．
【专题】推理能力．
【答案】100000；111115。
【分析】等号左边的第一个加数1的个数是得数0的个数减1，且与个位数字的和是10，第二个加数是一个乘积，第一个因数最高位从9递减，递减到末尾与第一个加数的末位相同，第二个因数是9；结果的最高位是1，后面0的个数是第一个加数的数位数；由此规律得出答案即可。
【解答】解：
故答案为：100000；111115。
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题。
8．看图，计算妈妈用买苹果的钱，可以买多少千克的桔子？
【考点】简单的归一应用题．
【专题】归一、归总应用题；应用意识．
【答案】4千克。
【分析】根据总价＝单价×数量，求出总价，再根据数量＝总价÷单价，即可解答。
【解答】解：8×3÷6
＝24÷6
＝4（千克）
答：可以买4千克的桔子。
【点评】本题考查的是归一应用题，掌握总价＝单价×数量，数量＝总价÷单价是解答关键。
二．选择题（共8小题）
9．如图，把一个角放在放大镜下，下面描述正确的是（ ）
A．角的度数变大了B．角的度数变小了
C．角的度数大小不变D．以上都有可能
【考点】角的概念和表示．
【专题】平面图形的认识与计算；空间观念．
【答案】C
【分析】角的大小只与两条边开口大小有关，与角的两条边的长短无关，用放大镜看到的角的两条边的开口大小没变，只是角的两边长度发生了变化，据此解答即可。
【解答】解：把一个角放在放大镜下，角的大小不变。
故选：C。
【点评】解答本题的关键是：正确掌握放大镜的特性，只改变边的长度，而不能改变角的两边叉开的大小。
10．因为101×8+2＝810，所以□÷□＝□……□。□里依次填（ ）
A．810、2、101、8B．810、2、8、101
C．810、8、101、2
【考点】有余数的除法．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】根据“被除数＝商×除数+余数”得出“被除数÷除数＝商……余数”据此解答即可。
【解答】解：因为101×8+2＝810，所以□÷□＝□……□。□里依次填810、8、101、2。
故选：C。
【点评】解答此题的关键是根据在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数四个量之间的关系。
11．下列说法错误的是（ ）
A．长方形是特殊的平行四边形
B．平行四边形不容易变形
C．梯形只有一组对边平行
【考点】平行四边形的不稳定性；梯形的特征及分类；长方形的特征及性质；平行四边形的特征及性质．
【专题】几何直观．
【答案】B
【分析】两组对边分别平行且相等，四个角都是直角的四边形是长方形；两组对边分别平行且相等，但没有直角的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形；平行四边形具有不稳定性，据此逐项分析即可。
【解答】解：A．长方形是特殊的平行四边形，此项说法正确；
B．平行四边形具有不稳定性，故此项说法错误；
C．梯形只有一组对边平行，是正确的。
故选：B。
【点评】正确理解长方形、平行四边形、梯形的特征，是解答此题的关键。
12．在用竖式计算时，下面（ ）中的5×6表示的意思是500×60。
A．504×16B．560×74C．523×65D．352×61
【考点】两位数乘三位数．
【专题】运算能力．
【答案】C
【分析】根据三位数乘两位数的计算方法，逐项分析进行解答。
【解答】解：A．504中的5在百位上表示5个百，16中的6在个位上，表示6个一，所以504×16中的5×6表示500×6，不符合；
B．560中的5与6不能相乘，不符合；
C．523中的5在百位上表示5个百，65中的6在十位上，表示6个十，所以523×65中的5×6表示500×60，符合；
D．352中的5在十位上表示5个十，61中的6在十位上，表示6个十，所以352×61中的5×6表示50×60，不符合。
故选：C。
【点评】本题考查了三位数乘两位数的计算方法的运用。
13．有两个相同的长方形，长是7厘米，宽是3厘米，把它们按下图所示的方式叠放在一起，叠放后图形的周长是（ ）厘米。
A．20B．28C．34
【考点】重叠问题．
【专题】平面图形的认识与计算；空间观念．
【答案】B
【分析】把折线部分向左边和上边平移，那么叠放后图形的周长就相当于边长是7厘米的正方形的周长；据此解答即可。
【解答】解：7×4＝28（厘米）
答：叠放后图形的周长是28厘米。
故选：B。
【点评】解答本题关键是通过平移使问题简单化。
14．下面竖式是一道除法算式先试商后调商的计算过程，这道除法算式的被除数是（ ）
A．262B．245C．35
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】观察图中的计算过程可知：由于被除数不变，被除数＝商×除数+余数；当商从6调到7，调大了7﹣6＝1，则余数从52减少到17，减少了52﹣17＝35，用余数减少的35除以商调大的1，所得的结果即是竖式中的除数，再计算出被除数即可；据此解答。
【解答】解：7﹣6＝1
52﹣17＝35
35÷1＝35
35×7+17
＝245+17
＝262
答：被除数是262。
故选：A。
【点评】本题主要考查了有余数除法的运算，明确被除数、除数、商和余数之间的关系是解答本题的关键。
15．下面量角的方法，正确的是（ ）
A．
B．
C．
【考点】角的度量．
【专题】几何直观．
【答案】B
【分析】量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐。做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈。据此选择。
【解答】解：A．角的顶点没和量角器的中心对齐，角的一条边没和0刻度线对齐，没做到两对齐，选项不符合题意；
B．角的顶点和量角器中心对齐，角的一条边和0刻度线对齐，做到两对齐，选项符合题意；
C．角的顶点没和量角器的中心对齐，角的一条边没和0刻度线对齐，没做到两对齐，选项不符合题意。
故选：B。
【点评】本题主要考查学生对用量角器量角的掌握。在用量角器量角时，要注意做到两对齐。
16．某公司组织登山活动，他们以每小时x千米的速度登山，行进一段时间后队伍开始休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以每小时y千米（0＜y＜x）的速度继续前进，直达山顶。那么他们登山的路程S（千米）与时间t（分）之间的图象大致是（ ）
A．B．
C．
【考点】简单的行程问题．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】A
【分析】登山路程随着时间的增多是在不断增多，由于速度的变化趋势为大，0，小，所以随着时间的变化，路程的函数图象相应变化。
【解答】解：根据题意，登山运动分为三个阶段，快行一停止一慢行，反映到图象上是：三条线段陡，平，缓。
故选：A。
【点评】本题考查了函数的图象，解决此类题目的关键是应看清函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象的缓陡。
三．计算题（共1小题）
17．列竖式计算。
【考点】列竖式计算除法；两位数乘三位数；列竖式计算乘法；两位数除两、三位数．
【专题】运算能力．
【答案】3……10；9455；5280；9……6；9……18；7380。
【分析】三位数乘两位数，相同数位对齐，从个位乘起，用第二个因数的每一位数分别与第一个因数相乘，用哪一位上的数去乘，乘得的积的末位就与哪一位对齐，再把两次乘得的积相加；
除数是两位数的除法的笔算法则：从被除数的高位数起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小。
【解答】解：118÷36＝3……10
305×31＝9455
240×22＝5280
240÷26＝9……6
351÷37＝9……18
123×60＝7380
【点评】考查了整数乘除法的笔算，根据各自的计算方法进行计算。
四．操作题（共1小题）
18．按要求画图。
（1）以点A为顶点，画一个50°的角。
（2）以线段BC为底画一个平行四边形。
【考点】画指定度数的角；平行四边形的特征及性质．
【专题】几何直观．
【答案】（1）（2）（画法不唯一）。
【分析】（1）以点A为顶点，画一条射线，用量角器的圆点和射线的端点A重合，0刻度线和射线重合，在量角器50°的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点，画射线即可。
（2）根据平行四边形对边平行且相等的特征，以线段BC为底画一个平行四边形即可。
【解答】解：（1）以点A为顶点，画一个50°的角。
（2）以线段BC为底画一个平行四边形。
（画法不唯一）
【点评】本题考查了角的画法以及平行四边形的画法，结合题意分析解答即可。
五．解答题（共5小题）
19．如图所示是书店和学校所在区域的平面图。小明从书店出发沿着图中的黑色粗线道路走到学校，前3分钟走了210米。照这样的速度，他一共需要多少分钟才能走到学校？
【考点】简单的行程问题．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】12分钟。
【分析】根据速度＝路程÷时间，求出速度，再用560加上280，求出路程，再根据时间＝路程÷速度，即可解答。
【解答】解：（560+280）÷（210÷3）
＝840÷70
＝12（分钟）
答：他一共需要12分钟才能走到学校。
【点评】本题考查的是行程问题，掌握速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度是解答关键。
20．张阿姨驾驶一辆面包车从甲城开往乙城，每小时行驶45千米。
（1）出发2小时后，她大约在什么位置？（先计算，再用▲在图中作标记）
（2）张阿姨7：10出发，行完全程是什么时间？
【考点】简单的行程问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】距甲城13处，13时10分。
【分析】（1）先根据路程＝速度×时间，求出2小时后，她行驶的路程，再找出大约位置即可解答，
（2）依据时间＝路程÷速度，求出张阿姨行完全程需要的时间，再依据时间换算即可解答。
【解答】解：（1）45×2＝90（千米）
90÷270=13
答：她大约在距甲城13处；
（2）270÷45＝6（小时）
7时10分+6时＝13时10分
答：走完全程时是13：10。
【点评】解答本题的依据是：速度、时间以及路程之间数量关系。
21．有38人需要租车。
如果每辆车都坐满，可以怎样租车？
【考点】最优化问题．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】租1辆面包车和5辆汽车或租4辆面包车和1辆汽车。
【分析】根据题意，如果每辆车都坐满，就是把38分成8的整数倍与6的整数倍的和，据此解答即可。
【解答】解：38＝8×1+6×5
38＝8×4+6×1
所以，租1辆面包车和5辆汽车或租4辆面包车和1辆汽车正好坐满。
答：租1辆面包车和5辆汽车或租4辆面包车和1辆汽车正好坐满。
【点评】本题主要考查了最优化问题，解题的关键是掌握把38分成8的整数倍与6的整数倍的和。
22．如图。
（1）在图中填上喜欢足球的男、女人数。
（2）根据喜欢跳绳的男生有12人，女生有18人，在图中画出相应的直条。
（3）在喜欢的各项运动中，男、女生人数相差最大的是 足球 ，相差最小的是 跑步 。
（4）跳绳是一项简单易行的运动，能增强肢体协调性，缓解压力、染指健身等，被称为“运动之王”。对于这项运动，锻炼时应注意什么？你有什么好的经验分享给大家？
【考点】统计图表的填补．
【专题】统计图表的制作与应用；应用意识．
【答案】（1）（2）；
（3）足球，跑步。
（4）锻炼时应注意安全等，需要选择合适的跳绳、穿着合适的装备、选择合适的场地、正确的跳绳姿势、控制跳绳强度等。（答案不唯一）
【分析】（1）根据统计图可知，喜欢足球的男生有20人，女生有5人，据此解答；
（2）根据喜欢跳绳的男生有12人，女生有18人，据此完成统计图；
（3）根据统计图可知，在喜欢的各项运动中，男、女生人数相差最大的是足球，相差最小的是跑步。
（4）锻炼时应注意安全等，需要选择合适的跳绳、穿着合适的装备、选择合适的场地、正确的跳绳姿势、控制跳绳强度等。（答案不唯一）
【解答】解：（1）（2）如下图：
（3）在喜欢的各项运动中，男、女生人数相差最大的是足球，相差最小的是跑步。
（4）锻炼时应注意安全等，需要选择合适的跳绳、穿着合适的装备、选择合适的场地、正确的跳绳姿势、控制跳绳强度等。（答案不唯一）
故答案为：足球，跑步。
【点评】此题考查统计图表的填补，并且能够根据统计图表提供的信息，解决有关的实际问题。
23．
【考点】商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同不为零的数）．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】
【分析】被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，被除数不变，除数扩大或缩小若干倍（0除外），商随着缩小或扩大相同的倍数，除数不变，被除数扩大或缩小若干倍（0除外），商随着扩大或缩小相同的倍数。
【解答】解：
【点评】本题考查的主要内容是商不变规律的应用问题。
考点卡片
1．亿以内数比较大小
【知识点归纳】
亿以内数的大小比较的方法：
1、比较两个数的大小，先看两个数各是几位数。
2、位数不同时，位数多的数就大。
3、位数相同时，从最高位开始比起，最高位上的数大的那个数就大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【方法总结】
位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【常考题型】
比较下面每组中两个数的大小。
92504〇103600 50140〇63140 28906〇28890
答案：＜；＜；＞
按照从小到大的顺序排列下面各数。
50500 500500 55000 40005
答案：40005＜50500＜55000＜500500
2．亿以内数的读写
【知识点归纳】
一、亿以内数的读法（含有两级的数的读法）
（1）读数之前，先分级。从个位起，每四个数位是一级。例如：（2496¦0000）
（2）先读万级，再读个级。
（3）万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。
（4）每级末尾不管有几个0，都不读；其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。
二、亿以内数的写法（注意：一定要保证个级是四位数。）
（1）写数之前，先分级；
（2）先写万级，再写个级；
（3）哪个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0占位。
【常考题型】
1、一个数是由4个千万，3个十万，6个百和5个一组成的，这个数写作（ ），读作（ ）。
答案：40300605；四千零三十万零六百零五
2、2023年我国有12910000考生报名参加高考，比去年增加980000人，再创历史新高。横线上的两个数分别读作（ ）和（ ）。
答案：一千两百九十一万；九十八万
有一个七位数，它的最高位上的数字是6，万位上的数字是9，十位上的数字是2，其余个位上的数字都是0，这个数写作（ ），它是由6个（ ）、9个（ ）和2个（ ）组成的。
答案：6090020；百万；万；十
3．亿以内数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以内数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以内数的近似数的方法：
省略万位后面的尾数，要看千位上的数，如果千位上的数小于5，就舍去尾数；如果千位上的数等于或大于5，就向前一位进1，再舍去尾数。这种方法叫“四舍五入”法。
2、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、新疆的塔卡拉玛干沙漠是我国最大的沙漠，它的面积大约为320000平方干米。横线上的数字改写成以“万”为单位的数是（ ）。
A、32万
B、320万
C、3200万
答案：A
2、将一个数改写成以“万”为单位的数是413万，那么这个数原来是（ ）。
A、413000
B、4130000
C、41300000
答案：B
3、摩纳哥是一个位于欧洲地中海沿岸的“袖珍国家”，国土面积狭小，却页是世界上人口密度最大的国家，每平方千米大约有14700人，省略万位后面的尾数大约是（ ）万人。
A、1万
B、2万
C、14万
答案：A
4．两位数乘两位数
【知识点归纳】
1、两位数乘两位数的笔算方法：
（1）先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数个位对齐；
（2）再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数的十位对齐；
（3）然后把两次乘得的积加起来。
【方法总结】
两位数乘两位数在笔算：
1、首先要相同数位对齐，
2、用下面因数的个位数和十位数依次去乘上面因数的个位数和十位数，将所得的积相加。
注意：
验算：交换两个因数的位置。
【常考题型】
1、笔算题。
32×13 27×56 43×58
答案：416；1512；2494
2、84×23的积是（ ）位数，最高位是（ ）位。
答案：四；千
3、32×30的积是32×（ ）的积的10倍。
答案：3
4、两位数乘两位数，积可能是（ ）位数，也可能是（ ）位数。
答案：三；四
5．两位数乘三位数
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的方法：先用一个因数的个位与另一个因数的每一位依次相乘，再用这个因数的十位与另一个因数的每一位依次相乘，乘到哪一位，积的个位就与哪一位对齐，哪一位满十就向前一位进“1”，再把两次相乘的积加起来。末尾有0时，把两个因数0前面的数对齐，并将它们相乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。中间有0时，这个0要参加运算。
【方法总结】
因数是两、三位数的乘法的估算方法：先把两个因数的最高位后面的尾数省略，求出近似数，再把这两个近似数相乘。
2、三位数乘两位数的笔算
①先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐，最后把两次乘得的积相加。
②计算因数中间有0的三位数乘两位数，中间的0也要参与计算，计算方法同三位数乘两位数的笔算方法。
③末尾有0的两个因数相乘时，我们可以先把0前面的数相乘，然后再数两个因数的末尾一共有几个0就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
谷子每袋23元，要买114袋谷子，需要花多少钱？
答案：114×23＝2622（元）
从北京到济南每张火车票195元，一个旅游团有28人，准备6000元买火车票够吗？
答案：195×28＝5460（元）
5460元＜6000元
答：准备6000元买火车票够。
6．列竖式计算乘法
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的计算方法：列竖式计算三位数乘两位数时，相同数位对齐，先用两位数个位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十，就向前一位进几，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十就向前一位进几，得数的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积相加，相加时，哪一位满几十同样向前一位进几。
【方法总结】
1、乘数中间或末尾有0的三位数乘两位数的计算方法。
（1）乘数中间有0时，这个0也要乘；与0相乘时，如果有进位数一定要加上进位数，如果没有进位数，就写0占位。
（2）乘数末尾有0时，可以先把0前面的数相乘，再看乘数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
1、计算16×300时，可以先算（ ），再在积的末尾添（ ）。
答案：16×3；两个0
2、12的103倍是（ ），31个200是（ ）。
答案：1236；6200
7．两位数除两、三位数
【知识点归纳】
1、怎样计算除数是两位数的除法：
①把除数看作和它接近的整十数试商。
②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。
③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。
④注意每次的余数要比除数小。
【方法总结】
1、试商时，用四舍五入法将除数看作最接近的整十数来试商；
若除数看大，则初商可能偏小；
若除数看小，则初商可能偏大。
2、余数要比除数小：最小的余数是1；最大的余数＝除数﹣1。
【常考题型】
1、765÷23的商是（ ）位数，商的最高位是（ ）位。
答案：两；十
2、□÷☆＝5……21，☆最小是（ ），这时的□是（ ）。
答案：22；131
3、□÷16＝9……△，△最大是（ ），这时□是（ ）。
答案：15；159
4、56÷5＝11……1，其中56是除法算式中的（ ），5是（ ），11是（ ），1是（ ）。
答案：被除数；除数；商；余数
8．两位数除多位数
【知识点归纳】
1、除数是两位数的除法的笔算法则：
（1）从被除数的高位数起，先看被除数的前两位；
（2）如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；
（3）余下的数必须比除数小。
2、除数是两位数的除法，一般把除数用“四舍五入法”看作和它接近的整十数来试商；试商大了要调小，试商小了要调大。（四舍商大舍去1，五入商小加上1）
3、同头无除商八九（例：239÷26），除数折半商四五（例：330÷68）。
4、在有余数的除法算式中，被除数＝商х除数+余数
5、三位数除以两位数，被除数的前两位数比除数小，商是一位数；被除数的前两位数比除数大，商是两位数。
【方法总结】
1、根据被除数和除数之间的关系——想乘法算除法
如80÷20＝（ ）就可以想（ ）个20是80，2×30＝60。所以80÷20＝40
2、把“几十”看作几个“十”——转化成表内除法计算
80是8个十，20是2个十
80÷20＝8个十÷2个十
因为8÷2＝4，所以80÷20＝4
3、估算——算式中不是整十的数用“四舍五入”法估算成整十数
如131÷31≈（ ）将131看成120，将31看成30，120÷30＝4。131÷31≈4
估算的结果不是准确值，要用“≈”连接。
【常考题型】
1、下面的算式中，（ ）的商不是一位数。
A.721÷72 B.439÷44 C.325÷33 D.272÷30
答案：A
2、被除数除以10，除数（ ），商才能不变。
A.乘10 B.除以10 C.不变 D.乘100
答案：B
3、口36÷73，如果商是两位数，口里最小填（ ）。
A.6 B.7 C.8 D.9
答案：B
9．商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同不为零的数）
【知识点归纳】
1、商不变的规律：
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变
2、被除数不变，除数扩大或缩小若干倍（0除外），商随着缩小或扩大相同的倍数。
除数不变，被除数扩大或缩小若干倍（0除外），商随着扩大或缩小相同的倍数
【方法总结】
规律一：除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商也乘几或除以几。
规律二：被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几。
规律三：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。
【常考题型】
利用商不变的规律进行简便计算。
500÷25 12500÷500
答案：500÷25＝（500×4）÷（25×4）＝2000÷100＝20
12500÷500＝（12500÷100）÷（500÷100）＝125÷5＝25
2、已知两数相除商是50。
若被除数和除数同时乘5，商是（ ）；
若被除数和除数同时除以5，商是（ ）；
若被除数不变，除数乘5，商是（ ）；
答案：50；50；10
10．有余数的除法
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：在除法算式m÷n＝a…b中，（n≠0），下面式子正确的是（ ）
A、a＞nB、n＞aC、n＞b
分析：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数；由此解答即可．
解：根据有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数，
所以：n＞b；
故选：C．
点评：解答此题的关键：应明确在有余数的除法中，余数总比除数小．
例2：31÷7＝4…3，如果被除数、除数都扩大10倍，那么它的结果是（ ）
A、商4余3 B、商40余3 C、商40余30 D、商4余30
分析：根据商不变的性质，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，但是在有余数的除数算式中，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，余数也会扩大或缩小相同的倍数．
解：31÷7＝4…3，
310÷70＝4…30，
所以当被除数、除数同时扩大10倍，商不变，余数也会扩大10倍．
故选：D．
点评：此题主要考查的是商不变的性质在有余数的除法算式中的应用．
11．列竖式计算除法
1.除法用竖式计算时，从被除数最高位开始除起，如若除不了，那么就用最高位和下一位合成一个数来除，直到能除以除数为止。
2.列竖式的过程中要把位数对齐。
3.除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商。
4.每次除后余下的数必须比除数小。
12．“式”的规律
【知识点归纳】
把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索．
【命题方向】
常考题型：
例：观察1+3＝44+5＝99+7＝1616+9＝2525+11＝36这五道算式，找出规律，则下一道算式是 36+13＝49 ．
分析：观察所给出的式子，知道从第二个算式起，第一个加数分别是前一算式的和；从第二个式子起，第二个加数分别是前一算式中的第二个加数加2所得；由此得出要求的算式．
解：因为，要求的算式的前一个算式是：25+11＝36，
所以，要求的算式的第一个加数是：36，
第二个加数是：11+2＝13，
所以要求的算式是：36+13＝49，
故答案为：36+13＝49．
点评：解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．
13．简单的归一应用题
【知识点归纳】
已知相互关联的两个量，其中一个量在改变，另一个量也随之改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题．
归一问题可以分为一次归一问题、两次归一问题．
一次归一问题：用一步运算就能求出单一量的归一问题，又称单归一
两次归一问题：用两步运算才能求出单一量的归一问题，又称双归一
归一问题还可以分为正归一问题、反归一问题．
正归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用乘法计算结果的归一问题
反归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用除法计算结果的归一问题
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后，以它为标准，根据题目的要求算出结果．
数量关系式：单一量×份数＝总数量（正归一）
总数量÷单一量＝分数（反归一）
【命题方向】
常考题型：
例1：计划5小时做40个零件，3小时做这批零件的（ ）
A、35 B、45 C、34
分析：先算出平均每小时做多少个零件，再算出3小时做多少个零件，把40件零件看做单位“1”，进一步求出3小时做的占40件得几分之几．
解：平均每小时做的零件数：40÷5＝8（个），
3小时做的零件数：8×3＝24（个），
3小时做的占40件的：24÷40=35．
答：3小时做这批零件的35．
故选：A．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量，进一步得出答案．
例2：3台织布机4小时织布336米，照这样计算，1台织布机8小时织布多少米？
分析：照这样计算，说明每台织布机，每小时织布量不变，先用336除以3台，求出每台4小时的织布量，再除以4小时，求出每台每小时的织布量，然后乘上8小时即可求解．
解：336÷3÷4×8，
＝112÷4×8，
＝28×8，
＝224（米）；
答：1台织布机8小时织布224米．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量．
14．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，16小时行了全程的23，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华16小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×16÷23，
=23÷23，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华16小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
15．重叠问题
【知识点归纳】
【命题方向】
常考题型：
例1：甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人，问甲班和丁班共多少人？
分析：根据题干分析可得，甲班+乙班+丙班+丁班＝83+88＝171人，即甲班+丁班+（乙班+丙班）＝171人，所以从171人里面减去乙班与丙班的人数，即可得出甲班与丁班的人数之和，据此即可解答．
解：83+88﹣86
＝171﹣86
＝85（人）
答：甲班与丁班共有85人．
点评：解答此题的关键是明确83+88＝171人是甲班、乙班、丙班、丁班的人数之和，据此再减去乙班与丙班的人数之和，即可得出答案．
例2：如图所示，阴影部分的面积是甲圆面积的19，是乙圆面积的14，乙圆的面积是甲圆的 49 ．
分析：此题把阴影部分的面积看作单位“1”，由“阴影部分面积是甲圆面积的19”，可知甲圆面积是阴影面积的1÷19=9（倍），由“阴影部分面积是乙圆面积的14”，可知乙圆面积是阴影面积的1÷14=4（倍）；因此乙圆的面积是甲圆的4÷9=49．
16．角的概念和表示
【知识点归纳】
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
注意：由角的定义可知：
（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2）顶点是这两条边的交点；
（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.
（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.
角的表示方法：
（1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A
【命题方向】
常考题型：
1.从一点引出两条______所组成的图形叫做角，角的计量单位用_______来表示。
答案：射线，度。
2.组成角的两条边是两条（ ）
A．线段B．射线C．直线
答案：B
17．垂直与平行的特征及性质
【知识点归纳】
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3．垂直的判定：垂线的定义．
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（ ）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
分析：根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
点评：此题考查了垂直和平行的特征及性质．
例2：不相交的两条直线叫平行线． × ．（）
分析：根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．
解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．
故答案为：×．
点评：解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．
18．长方形的特征及性质
【知识点归纳】
长方形：是一种平面图形，长方形的四个角都是直角，同时长方形的对角线相等．
长方形的性质：
1．长方形的4个内角都是直角；
2．长方形对边相等；
3．长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴．对称中心是对角线的交点．
4．长方形是特殊的平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质
长方形的判定：
①定义：有一个角是直角的平行四边形是长方形
②定理1：有三个角是直角的四边形是长方形
矩形的面积：S矩形＝长×宽＝ab．
黄金长方形：
宽与长的比是（√5﹣1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金长方形．
黄金长方形给我们一协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙等．
【命题方向】
常考题型：
例：如图中甲的周长与乙的周长相比（ ）
A、甲长 B、乙长 C、同样长
分析：因为甲的周长＝长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长＝长方形的另一组邻边的和+中间的曲线的长，根据长方形的特征：对边相等；进行解答继而得出结论．
解：甲的周长＝长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长＝长方形的另一组邻边的和+中间的曲线的长，
因为长方形对边相等，所以甲的周长等于乙的周长；
故选：C．
点评：解答此题应根据长方形的特征，并结合周长的计算方法进行解答．
19．平行四边形的特征及性质
【知识点归纳】
平行四边形的概念：
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形用符号“▱ABCD”，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”．
（1）平行四边形属于平面图形．
（2）平行四边形属于四边形．
（3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等．
（4）平行四边形属于中心对称图形．
2．平行四边形的性质：
主要性质
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）夹在两条平行线间的平行线段相等．
（4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形）
（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形．
（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
（7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形．
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质．
【命题方向】
常考题型：
例1：两组对边分别平行没有直角的图形是（ ）
A、长方形 B、平行四边形 C、梯形
分析：平行四边形的含义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
如果两组对边分别平行、有4个直角的四边形是长方形或正方形；
据此判断即可．
解：两组对边分别平行没有直角的图形是平行四边形．
故选：B．
点评：此题应根据平行四边形的含义进行分析、解答．
例2：一个长方形的框架，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长和面积（ ）
A、周长不变，面积变大 B、周长不变，面积也不变
C、周长变小，面积变小 D、周长不变，面积变小
分析：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
解：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；
长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
故选：D．
点评：此题主要考查周长的定义及平行四边形和长方形的面积之间的变化关系．
20．平行四边形的不稳定性
【知识点归纳】
当平行四边形变长固定时，却可以改变其夹角形成无数个边长相同而夹角不同的平行四边形，而平行四边形的不稳定性就是指行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定。
【命题方向】
常考题型：
1.伸缩门利用了平行四边形不稳定的特性．_______．（）
答案：√
2.下面说法不正确的是（ ）
A．伸缩门是根据平行四边形的不稳定性制作的
B．三角形具有稳定性
C．好多桌子椅子都方的，所以正方形也具有稳定性
答案：C
3.圆柱体、三角形、正方体、平行四边形中，_____、_______是立体图形，平面图形里_______具有不稳定性。
解：圆柱体、三角形、正方体、平行四边形中，圆柱体、正方体是立体图形，平面图形里平行四边形具有不稳定性。
故答案为：圆柱体、正方体；平行四边形。
21．梯形的特征及分类
【知识点归纳】
1．概念：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形．
2．分类：
（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形
（3）一般梯形．
【命题方向】
常考题型：
例1：只有一组对边平行的四边形是（ ）
A、三角形 B、长方形 C、平行四边形 D、梯形
分析：根据梯形的定义可知：只有一组对边平行的四边形是梯形，由此即可选择．
解：只有一组对边平行的四边形是梯形，
故选：D．
点评：此题考查了梯形的定义．
例2：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成（ ）
A、平行四边形 B、长方形 C、三角形
分析：两个完全一样的直角梯形，可以拼成平行四边形和长方形，但不能拼成三角形；据此解答．
解：由分析可知：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成三角形；
故选：C．
点评：结合题意，根据完全一样的两个直角三角形拼组的特点，即可得出结论．
22．图形的拼组
【知识点归纳】
1．平面镶嵌的概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起，这就是平面镶嵌．
2．规律：
用相同的正多边形镶嵌：只用一种多边形时，可以进行镶嵌的是三角形、四边形或正六边形．
用不同的正多边形镶嵌：
（1）用正三角形和正六边形能够进行平面镶嵌；
（2）用正十二边形、正六边形，正方形能够进行平面镶嵌．
【命题方向】
常考题型：
例：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形的周长是（ ）
A、24厘米 B、36厘米 C、38厘米
分析：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形有边长就是（3×2）厘米，根据正方形有周长公式可列式解答．
解：根据题意画图如下，
正方形的周长：
（3×2）×4，
＝6×4，
＝24（厘米）．
答：周长是24厘米．
故选：A．
点评：本题考查了学生对拼组图形周长的计算能力．画图可更好的帮助学生理解．
23．大面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方千米＝100公顷＝1000000平方米
1公顷＝10000平方米
【命题方向】
常考题型：
边长是100米的正方形土地的面积是1公顷． √ ．（）
分析：1公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷；据此进行判断．
解：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，即1公顷；
故答案为：√．
点评：此题考查土地面积单位公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷．
24．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：3升+200毫升＝（ ）毫升．
A、2003 B、320 C、3200
分析：把3升200毫升换算为毫升，先把3升换算为毫升，用3乘进率1000，然后加上200；据此解答．
解：3升+200毫升＝3200毫升；
故选：C．
点评：解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．
例2：750毫升＝ 0.75 升
7.65立方米＝ 7650 立方分米
8.09立方分米＝ 8 升 90 毫升．
分析：（1）把750毫升换算成升数，用750除以进率1000得0.75升；
（2）把7.65立方米换算成立方分米数，用7.65乘进率1000得7650立方分米；
（3）把8.09立方分米换算成复名数，整数部分就是8立方分米，也就是8升，把0.09立方分米换算成毫升数，用0.09乘进率1000得90毫升．
解：（1）750毫升＝0.75升；
（2）7.65立方米＝7650立方分米；
（3）8.09立方分米＝8升90毫升．
故答案为：0.75，7650，8，90．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
25．角的度量
【知识点归纳】
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的1360看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．
3．度量方法：
量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．
量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．
看刻度要分清内外圈．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一个放大10倍的放大镜看一个50°的角，看到的角是（ ）
A、50° B、500° C、100°
分析：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
所以用放大10倍的放大镜看一个50度的角，看到的度数仍是50度．
故选：A．
点评：用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．
例2：下面每对时刻中，时钟的时针和分针所成的角不一样的有（ ）
A、1：30和2：30 B、3：30和8：30 C、9：00和3：00 D、10：30和1：30
分析：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出不同时间下，时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可进行判断，选择．
解：A，1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
2：30时针和分针中间相差3.5个大格，夹角是：30×3.5＝105度；符合题意；
B，3：30时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30＝75度，
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30°＝75度；
C，9：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度，
3：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度；
D，10：30时针和分针中间相差4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度；
所以夹角不同的是A．
故选：A．
点评：本题考查了钟面角，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
26．画指定度数的角
【知识点归纳】
三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角．
【命题方向】
常考题型：
例1：画一个120°的角．
分析：画一个120°的角可据以下步骤进行：
（1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；
（2）在量角器120°角刻度线的地方点一个点；
（3）以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个120°的角．
解：根据角的画法，作图如下：
点评：本题考查了学生根据所给度数利用作图工具画角的动手能力．
例2：用一副三角板画一个105°的角．
分析：显然从两个三角板中，将一个等于45°的角，再加上另一个三角板中等于60°的角，即可得到105°的角．
解：让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如下图所示，
45°+60°＝105°；
．
点评：本题考查了三角板的角的度数、角的计算、角的拼图、画角的方法，较为简单，熟练掌握三角板各角的度数是解答本题的关键．
27．统计图表的填补
【知识点归纳】
1．读懂统计图或者表．
2．将文字和统计量结合起来，根据问题进行计算，一般都是总和是100%，已知几个分量求剩下一个量的值或者已知数量算所占百分比或者根据百分比算数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：乐乐记录了爸爸妈妈两个月的电话费支出情况．
【分析】（1）运用爸爸1、2月份的总钱数减去1月份的话费即可得到2月份的话费．把妈妈1、2月份的钱数相加即可得到总钱数．
（2）把爸爸、妈妈1月份的话费相加即可得到合计，把爸爸、妈妈2月份的话费相加即可得到合计，然后再把两次的合计加在一起即可得到总合计．
解：（1）61.0﹣30.2＝30.8（元）
26.7+20.4＝47.1（元）
（2）30.2+26.7＝56.9（元）
30.8+20.4＝51.2（元）
56.9+51.2＝108.1（元）
【点评】此题主要依据加法及减法的意义解决实际问题．
28．最优化问题
【知识点归纳】
最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析．
最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举．
【命题方向】
常考题型：
例1：星期日，红红想帮奶奶做下面的事情：用全自动洗衣机洗衣服30分，扫地擦地15分，洗菜8分，经过合理安排，做完这些事情至少要（ ）分．
A、45 B、38 C、30
分析：根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜，据此即可解答问题．
解：根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜，
所以最小需要30分钟即可完成．
故选：C．
点评：较大此类问题要奔着各项工作不相互冲突，又能节约时间的思想设计工作程序．
经典题型：
例2：汽水买5送1，某班30名同学秋游路上想买水喝，只需要买（ ）瓶汽水．
A、30 B、25 C、28 D、24
分析：根据“买5送1”可知买5瓶实际得到6瓶，30名同学可以买（30÷6）5个5瓶，送1×5＝5瓶，所以只买：30﹣5＝25瓶，据此解答．
解：30﹣1×[30÷（5+1）]，
＝30﹣5，
＝25（瓶）；
答：只需要买25汽水．
故选：B．
点评：本题关键是求出买30瓶能送几瓶汽水．

19+9×9＝100
118+98×9＝1000
1117+987×9＝10000
1116+9876×9＝
+98765×9＝1000000
118÷36＝
305×31＝
240×22＝
240÷26＝
351÷37＝
123×60＝
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
C
C
B
C
B
A
B
A
19+9×9＝100
118+98×9＝1000
1117+987×9＝10000
1116+9876×9＝ 100000
111115 +98765×9＝1000000
19+9×9＝100
118+98×9＝1000
1117+987×9＝10000
1116+9876×9＝100000
111115+98765×9＝1000000
118÷36＝
305×31＝
240×22＝
240÷26＝
351÷37＝
123×60＝
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
合计
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
30.8
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
47.1
合计
56.9元
51.2元
108.1元