2025秋九年级数学上册第4章锐角三角函数综合素质评价试卷（含解析湘教版）

这是一份2025秋九年级数学上册第4章锐角三角函数综合素质评价试卷（含解析湘教版），共13页。
第4章综合素质评价 一、选择题(每题3分，共30分) 1.[教材P111练习T1]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则sin A的值为(　　) A.eq \f(3,5) B.eq \f(5,3) C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4) 2．[2024天津]eq \r(2)cos 45°－1的值等于(　　) A．0 B．1 C.eq \f(\r(2),2)－1 D.eq \r(2)－1 3．[2025邵阳月考]若α是锐角，且cos α＝eq \f(4,5)，则sin α的值为(　　) A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) 4．[2024淄博]如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35 m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°.则下列用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是(　　) 5．在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫作∠A的余割，用“csc A”表示．如设该直角三角形的三边长分别为a，b，c，则csc A＝eq \f(c,a)，那么下列说法正确的是(　　) A．csc B·sin A＝1 B．csc B＝eq \f(b,c) C．csc A·cos B＝1 D．csc2 A＋csc2B＝1 6．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin A－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos B－\f(\r(2),2)))＝0，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 7. 菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架等，为兼顾美观性和实用性，活动角α的取值范围宜为60°≤α≤120°(如图①)，亮亮选购了折叠后如图②所示的伸缩衣架，则其拉伸长度AB的适宜范围最接近(　　) A．30 cm≤AB≤45 cm B．45 cm≤AB≤45 eq \r(3) cm C．45 cm≤AB≤30 eq \r(3)cm D．30 cm≤AB≤45 eq \r(3) cm 8. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，则 (sin θ＋cos θ)2的值为(　　) A.eq \f(9,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(3 \r(5),5) D.eq \f(1,5) 9.随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为20 cm，上部显示屏EF的长度为45 cm，侧面支架EC的长度为150 cm，∠ECD＝80°，∠FEC＝130°，则该机器人的最高点F距地面AB的高度约为(参考数据：sin 80°≈0.98，cos 80°≈0.17，tan 80°≈5.67)(　　) A．189.5 cm B．147 cm C．167 cm D．158 cm 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径作弧交AB于点D，再分别以点C，D为圆心，BC长为半径作弧交于点E，作射线BE交AC于点F.若BC＝5，cos A＝eq \f(12,13)，则CF的长为(　　) A.eq \f(10,3) B．3 C.eq \f(8,3) D.eq \f(7,3) 二、填空题(每题3分，共24分) 11．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，sin∠BAC＝eq \f(3,5)，若将△ABC的三边都扩大3倍得到△A′B′C′，则sin∠B′A′C′＝________． 12．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝0.5，则α等于________． 13．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为(x，8)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为eq \f(4,3)，则x的值为________． 14．将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片ABC上，则cos B的值等于___________________． 15．如图，坡角α＝30°的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为4米，则大树AB的高为________米． 16．[2025上海普陀区月考]如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC＝10，sin∠BAF＝eq \f(3,5)，那么CF＝________． 17．如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＜0) 的图象上，顶点B，C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D.若矩形OABC的面积是16，cos∠OAC＝eq \f(3,4)，则k＝________． 18．在平面直角坐标系中，用12个含有30°角的直角三角形拼成如图所示的图形，若A0A1＝1，则图中与△OA11A12位似的三角形的直角顶点坐标是________． 三、解答题(19，20题每题6分，21，22题每题8分，23，24题每题9分，25，26题每题10分，共66分) 19．计算：(1)2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°； (2)2sin 30°＋|cos 60°－1|－4tan 45°＋eq \r(3,8)＋(π－3)0. 20.[教材P123习题T1] 在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. (1)已知c＝2，∠A＝60°，求∠B，a，b； (2)已知a＝eq \r(2)，∠A＝45°，求∠B，b，c. 21.在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下表： (参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84) 22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)若AD∥BC(D为格点)，连接CD，则线段CD的长为________； (2)请你在△ABC的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是________，则它所对应的正弦函数值是________； (3)若E为BC的中点，求tan∠CAE的值． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB于点E，连接CE. (1)求BE的长； (2)求tan∠ECB的值． 24．[2024淄博]如图，一次函数y＝k1x＋2的图象与反比例函数y＝eq \f(k2,x)的图象相交于A(m，4)，B两点，与x轴、y轴分别相交于点C，D，且tan∠ACO＝2. (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧，与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE.求△ABE的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x＋2＞eq \f(k2,x)的解集． 25．[2024苏州]图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10 cm，BC＝20 cm，AD＝50 cm. (1)如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号)； (2)如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α到AD′，且tan α＝eq \f(3,4)(α为锐角)时，求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号)． 26．如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1 km的码头MN，在码头西端M的正西方向23.5 km处有一观察站A，某时刻测得A处的西偏北60°且与A相距40 km的B处，有一艘匀速直线航行的轮船，轮船沿南偏东51.8°的方向航行，经过2 h，又测得该轮船位于A处的东偏北30°的C处．(参考数据：sin 21.8°≈0.37，cos 21.8°≈0.93，tan 21.8°≈0.40，eq \r(3)≈1.73) (1)填空：∠ABC＝________°，∠BAC＝________°； (2)求轮船航行的速度；(结果精确到0.1 km/h) (3)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好至码头MN靠岸？请说明理由．  答案 一、1.C　2.A　3.C　4.A　5.C　6.B　7.B　8.A　9.A 10．A 【点拨】由作图过程知，BF平分∠ABC，过点F作AB的垂线，垂足为M，如图．∵在Rt△ABC中，cos A＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(12,13)，∴设AC＝12x，则AB＝13x.又∵BC＝5，∴(12x)2＋52＝(13x)2，解得x＝1(负值已舍去)．∴AC＝12，AB＝13. ∵BF平分∠ABC，∠C＝90°，FM⊥AB，∴CF＝MF.∵S△ABC＝S△BCF＋S△ABF，即eq \f(1,2)×5×12＝eq \f(1,2)×5·CF＋eq \f(1,2)×13·MF，∴CF＝eq \f(10,3). 二、11.eq \f(3,5)　12.40°　13.6　14.eq \f(2\r(5),5)　15.(2eq \r(3)－2)　16.4 17．－9　【点拨】∵矩形OABC的面积是16，cos∠OAC＝eq \f(3,4)，∴S△AOC＝eq \f(1,2)×16＝8，eq \f(AO,AC)＝eq \f(3,4).∵AC∥x轴，∴∠ADO＝90°.∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°.∴∠ADO ＝∠AOC.又∵∠DAO ＝∠OAC，∴△AOD∽△ACO.∴eq \f(S△AOD,S△ACO)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AO,AC)))eq \s\up12(2).∴eq \f(S△AOD,S△ACO)＝eq \f(9,16).∴S△AOD＝eq \f(9,16)×8＝eq \f(9,2).∵|k|＝2S△AOD＝9，反比例函数图象在第二象限，∴k＝－9. 18.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16\r(3),9)，\f(16,9))) 【点拨】易知与△OA11A12位似的三角形为△OA5A6.由题意，得OA1＝2A0A1＝2，OA2＝OA1÷cos 30°，OA3＝OA1÷cos230°，…，OA5＝OA1÷cos 430°＝2÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(4)＝eq \f(32,9)，∴易得A5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(32,9)×\f(\r(3),2)，\f(32,9)×\f(1,2)))，即A5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16\r(3),9)，\f(16,9))).∴与△OA11A12位似的三角形的直角顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16\r(3),9)，\f(16,9))). 三、19.【解】(1)2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°＝2×eq \f(\r(3),2)－eq \r(3)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(3)－eq \r(3)＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). (2)2sin 30°＋|cos 60°－1|－4tan 45°＋eq \r(3,8)＋(π－3)0＝2×eq \f(1,2)＋|eq \f(1,2)－1|－4×1＋2＋1＝1＋eq \f(1,2)－4＋2＋1＝eq \f(1,2). 20．【解】(1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°. ∵sin B＝eq \f(b,c)，∴b＝c·sin B＝2×sin 30°＝1. ∵cos B＝eq \f(a,c)，∴a＝c·cos B＝2×cos 30°＝eq \r(3). (2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝45°.∵tan A＝eq \f(a,b)，∴b＝eq \f(a,tan A)＝eq \f(\r(2),tan 45°)＝eq \r(2). ∵sin A＝eq \f(a,c)，∴c＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(2),sin 45°)＝2. 21．【解】由题意，得∠ADB＝15°.在Rt△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ADB＝15°，AB＝4 m，∴AD＝eq \f(AB,tan∠ADB)≈14.81 m．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝40°，∴CD＝AD·tan 40°≈14.81×0.84≈12.4(m)．∴旗杆CD的高度约为12.4 m. 22．【解】(1)eq \r(5)　(2)∠ACB；eq \f(\r(5),5)(答案不唯一) 【点拨】利用网格构造直角三角形易得AB＝eq \r(5)，AC＝2eq \r(5)，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.∴sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)＝eq \f(\r(5),5). (3)如图，延长AE至点N，连接NC.易知BC的中点E在格线上，在Rt△ANC中，AN＝4，NC＝2，∴tan∠CAE＝eq \f(NC,AN)＝eq \f(1,2). 23．【解】(1)∵AC＝3，AD＝2CD，∴AD＝2.∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝3eq \r(2)，∠DAE＝45°＝∠B.∵DE⊥AB，∴AE＝cos 45°·AD＝eq \f(\r(2),2)×2＝eq \r(2).∴BE＝AB－AE＝3eq \r(2)－eq \r(2)＝2eq \r(2). (2)过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图．在Rt△BEF中，∵∠B＝45°，∴∠FEB＝45°＝∠B. ∴EF＝BF＝sin 45°·BE＝eq \f(\r(2),2)×2eq \r(2)＝2.∴CF＝BC－BF＝1. ∴tan∠ECB＝eq \f(EF,CF)＝eq \f(2,1)＝2. 24．【解】(1)在y＝k1x＋2中，当x＝0时，y＝2，∴D(0，2)．∴OD＝2.∵tan∠ACO＝2，∴在Rt△CDO中，tan∠DCO＝eq \f(OD,OC)＝2.∴OC＝1.∴C(－1，0)．把点C(－1，0)的坐标代入y＝k1x＋2中，得0＝－k1＋2，解得k1＝2，∴一次函数的表达式为y＝2x＋2.把点A(m，4)的坐标代入y＝2x＋2中，得2m＋2＝4，∴m＝1，∴A(1，4)．把点A(1，4)的坐标代入y＝eq \f(k2,x)中，得4＝eq \f(k2,1)，解得k2＝4.∴反比例函数的表达式为y＝eq \f(4,x). (2)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,x)，,y＝2x＋2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))∴B(－2，－2)．连接DE，设E(e，0)，由题意得BD＝ED，∴(－2－0)2＋(－2－2)2＝(e－0)2＋(0－2)2，解得e＝4或e＝－4(舍去)．∴E(4，0)．∴CE＝4－(－1)＝5.∴S△ABE ＝S△ACE＋S△CBE＝eq \f(1,2)CE·yA＋eq \f(1,2)CE·|yB|＝eq \f(1,2)×5×4＋eq \f(1,2)×5×2＝15. (3)关于x的不等式k1x＋2＞eq \f(k2,x)的解集为－2＜x＜0或x＞1. 25．【解】(1)过点C作CE⊥AD，垂足为E，如图①. 由题意易得AB＝CE＝10 cm，BC＝AE＝20 cm.∵AD＝50 cm，∴ED＝AD－AE＝50－20＝30(cm)．∴在Rt△CED中，CD＝eq \r(CE2＋DE2)＝eq \r(102＋302)＝10eq \r(10)(cm)．∴可伸缩支撑杆CD的长度为10eq \r(10)cm. (2)过点D′作D′F⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD于点G，如图②.由题意易得四边形ABFG为矩形，∴AB＝FG＝10 cm，AG＝BF，∠AGD′＝90°.∵在Rt△AD′G中，tan α＝eq \f(D′G,AG)＝eq \f(3,4)，∴设D′G＝3x cm，则AG＝4x cm.∴AD′＝eq \r(AG2＋D′G2)＝eq \r(（4x）2＋（3x）2)＝5x(cm)．∵AD′＝AD＝50 cm，∴5x＝50，解得x＝10.∴AG＝40 cm，D′G＝30 cm.∴BF＝AG＝40 cm，D′F＝D′G＋FG＝30＋10＝40(cm)．又∵BC＝20 cm，∴CF＝BF－BC＝40－20＝20(cm)．∴在Rt△CFD′中，CD′＝eq \r(CF2＋D′F2)＝eq \r(202＋402)＝20eq \r(5)(cm)．∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20eq \r(5)cm. 26．【解】(1)21.8；90 (2)在Rt△ABC中，AB＝40 km，∠ABC＝21.8°，∠BAC＝90°，∴BC＝eq \f(AB,cos 21.8°)≈eq \f(40,0.93)≈43.01(km)．∴轮船航行的速度＝eq \f(BC,2)≈eq \f(43.01,2)≈21.5(km/h)． 答：轮船航行的速度约为21.5 km/h. (3)轮船能正好至码头MN靠岸．理由：如图，设轮船的航线BC与海岸线l交于点D，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，∴∠DEA＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DEA.∴AC∥DE.∴∠CAD＝∠ADE＝30°.∴AD＝2AE，DE＝eq \r(3)AE.设AE＝x km，则AD＝2x km，DE＝eq \r(3)x km.又∵AB＝40 km，∴BE＝AE＋AB＝(x＋40)km.在Rt△BED中，∵∠EBD＝21.8°，∴tan 21.8°＝eq \f(DE,BE)≈0.40.∴DE≈0.40BE. ∴eq \r(3)x≈0.40(x＋40)，解得x≈12.03.∴AD≈24.06 km.∵AM＝23.5 km， MN＝1 km，∴AN＝AM＋MN＝24.5(km)．∴AM＜AD＜AN. ∴轮船能正好至码头MN靠岸． 活动课题测量教学楼前旗杆的高度CD活动工具一把皮尺(最大长度是10 m)和一台测角仪测量过程如图所示：(1)在教学楼的底端A处，测得旗杆顶端C的仰角是40°，然后爬到教学楼二楼的B处，测得旗杆底端D的俯角是15°. (2)测得AB＝4 m. 解决问题根据以上数据计算旗杆CD的高度．(结果保留一位小数)