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初中数学第4章 锐角三角函数综合与测试课后复习题
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这是一份初中数学第4章 锐角三角函数综合与测试课后复习题，共17页。
满分120分
姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（ ）
A．B．C．D．
4．如图，有一斜坡AB的长AB＝10米，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为（ ）
A．10tan36°B．10cs36°C．10sin36°D．
5．已知csα＝，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝5：13，则下列等式正确的是（ ）
A．tanA＝B．sinA＝C．csA＝D．tanA＝
7．sin58°、cs58°、cs28°的大小关系是（ ）
A．cs28°＜cs58°＜sin58°B．sin58°＜cs28°＜cs58°
C．cs58°＜sin58°＜cs28°D．sin58°＜cs58°＜cs28°
8．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（ ）
A．B．C．2D．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子定成立的是（ ）
A．sinA＝sinBB．csA＝csBC．tanA＝tanBD．sinA＝csB
10．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点D到OB的距离等于（ ）
A．asinx+bsinxB．acsx+bcsx
C．asinx+bcsxD．acsx+bsinx
11．若角α，β都是锐角，以下结论：
①若α＜β，则sinα＜sinβ；②若α＜β，则csα＜csβ；③若α＜β，则tanα＜tanβ；④若α+β＝90°，则sinα＝csβ．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
12．我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为（ ）（参考数据sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.32）
A．12千米B．（3+4）千米
C．（3+5）千米D．（12﹣4）千米
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．已知tan（α+15°）＝，则锐角α的度数为 °．
14．比较大小：sin81° tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若csA＝，则BC的长为 ．
16．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是 ．
17．小致为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡行走20m，达到坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°，小致的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，则楼房AB的高度为 m．（计算结果精确到1m，参考数据：sin15°＝，cs15°＝，tan15°＝．）
18．如图，BE是△ABC的角平分线，F是AB上一点，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于点G．若sin∠AEB＝，BG＝4，EG＝5，则S△ABE＝ ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
19．（12分）计算：
（1）2sin30°+3cs60°﹣4tan45°
（2）+tan260°
20．（6分）如图，锐角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．
21．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a＝2，sin，求b和c．
22．（8分）2019年4月18日，台湾省花莲县发生里氏6.7级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距6米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如图所示，试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73）
23．（9分）嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
24．（9分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）
（参考数据sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
25．（10分）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．
（1）如图1，若AE＝DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求的值；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinB＝＝．
故选：D．
2．解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，
∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
3．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
∴tanA＝＝＝．
故选：C．
4．解：在Rt△ABC中，sinB＝，
∴AC＝AB•sinB＝10sin36°，
故选：C．
5．解：∵cs30°＝，cs45°＝，
∵＜＜，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
6．解：设BC＝5x，则AB＝13x，
由勾股定理得，AC＝＝12x，
则tanA＝＝，A、D错误；
sinA＝＝，B错误；
csA＝＝，C正确；
故选：C．
7．解：sin58°＝cs32°．
∵58°＞32°＞28°，
∴cs58°＜cs32°＜cs28°，
∴cs58°＜sin58°＜cs28°．
故选：C．
8．解：如图所示：连接BD，
BD＝＝，
AD＝＝2，
AB＝＝，
∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，
∴△ADB为直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
则tanA＝＝＝．
故选：A．
9．解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinA＝csB．
故选：D．
10．解：如图，过点D作DE⊥OC于点E，
则点D到OB的距离等于OE的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，
∴∠CDE＝∠BCO＝x，
∴OC＝BC•csx＝bcsx，
CE＝CD•sinx＝asinx，
∴OE＝OC+CE＝bcsx+asinx．
则点D到OB的距离等于bcsx+asinx．
故选：C．
11．解：①∵sinα随α的增大而增大，∴若α＜β，则sinα＜sinβ，此结论正确；
②∵csα随α的增大而减小，∴若α＜β，则csα＞csβ，此结论错误；
③∵tanα随α的增大而增大，∴若α＜β，则tanα＜tanβ，此结论正确；
④若α+β＝90°，则sinα＝csβ，此结论正确；
综上，正确的结论为①③④，
故选：C．
12．解：如图，作BD⊥AC于点D，
根据题意可知：
在Rt△ADB中，∠A＝60°，AB＝6，
∴AD＝3，BD＝3，
在Rt△CDB中，∠CBD＝53°，
∴CD＝BD•tan53°≈3×1.32≈3×≈4，
∴AC＝AD+CD＝3+4．
则A，C两地的距离为（3+4）千米．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．解：∵tan30°＝，
∴α+15°＝30°，
∴α＝15°，
故答案为：15．
14．解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°．
故答案为＜．
15．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，csA＝，
∴csA＝＝＝，
∴AB＝10，
∴BC＝＝＝＝8．
故答案为：8．
16．解：如图，连接AB．
∵OA＝AB＝，OB＝2，
∴OB2＝OA2+AB2，
∴∠OAB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∴sin∠AOB＝，
故答案为：．
17．解：作DH⊥AB于H，
∵∠DBC＝15°，BD＝20m，
∴BC＝BD•cs∠DBC＝20×＝19.2（m），CD＝BD•sin∠DBC＝20×＝5（m），
由题意得，四边形ECBF和四边形CDHB是矩形，
∴EF＝BC＝19.2m，BH＝CD＝5m，
∵∠AEF＝45°，
∴AF＝EF＝19.2m，
∴AB＝AF+FH+HB＝19.2+1.6+5＝25.8≈26（m），
答：楼房AB的高度约为26m．
故答案是：26．
18．解：如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ECG＝∠ABE，
∴∠ECG＝∠CBE，
∵∠CEG＝∠CEB，
∴△ECG∽△EBC，
∴＝＝，
∴EC2＝EG•EB＝5×（5+4）＝45，
∵EC＞0，
∴EC＝3，
在Rt△BET中，∵sin∠AEB＝＝，BE＝9，
∴BT＝，
∴ET＝＝＝，
∴CT＝ET+CE＝，
∴BC＝＝＝6，
∴CG＝＝10，
∵∠ECG＝∠FBG，
∴E，F，B，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠CBG，
∵∠FGE＝∠BGC，
∴△EGF∽△CGB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝3，
∵∠AFE＝∠ACB，∠EAF＝∠BAC，
∴△EAF∽△BAC，
∴＝＝＝，设AE＝x，则AB＝2x，
∵∠FBG＝∠ECG，∠BGF＝∠CGE，
∴△BGF∽△CGE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∵AE•AC＝AF•AB，
∴x（x+3）＝（2x﹣）•2x，
解得x＝，
∴AE＝ET＝，
∴点A与点T重合，
∴AB＝2AE＝，
∴S△ABE＝×AB×AE＝××＝．
故答案为．
三．解答题（共7小题，满分60分）
19．解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝+3
＝．
20．解：过点A作AH⊥BC于H，
∵S△ABC＝27，
∴，
∴AH＝6，
∵AB＝10，
∴BH＝＝＝8，
∴tanB＝＝＝．
21．解：如图，
∵a＝2，sin，
∴c＝＝＝6，
则b＝＝＝4．
22．解：过点C作CD⊥AB，交AB 的延长线于D，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝，
∴AD＝＝CD，
在Rt△ACD中，∠CBD＝60°，tan∠CBD＝，
∴BD＝＝CD，
由题意得，AD﹣BD＝AB＝6，
∴CD﹣CD＝6，
解得，CD＝3≈5.2（米），
答：生命所在点C的深度约为5.2米．
23．解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；
（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
24．解：（1）∵AB垂直于桥面，
∴∠AMC＝∠BMC＝90°，
在Rt△AMC中，CM＝60，∠ACM＝30°，
tan∠ACM＝，
∴AM＝CM•tan∠ACM＝60×＝20（米），
答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20米；
（2）在Rt△BMC中，CM＝60，∠BCM＝14°，
tan∠BCM＝，
∴MB＝CM•tan∠BCM≈60×0.25＝15，
∴AB＝AM+MB＝15+20≈50（米）
答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．
25．（1）①证明：∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ACD，
∴EA＝EC，
∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA＝DT，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴BD＝DT＝AD，
∴＝．
（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．
∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAT（AAS），
∴AE＝CT，BE＝AT，
∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，
∴ET＝CT＝AE，
∴BE＝2AE，
∴tan∠ABE＝＝
题号
一
二
三
总分
得分
满分120分
姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（ ）
A．B．C．D．
4．如图，有一斜坡AB的长AB＝10米，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为（ ）
A．10tan36°B．10cs36°C．10sin36°D．
5．已知csα＝，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝5：13，则下列等式正确的是（ ）
A．tanA＝B．sinA＝C．csA＝D．tanA＝
7．sin58°、cs58°、cs28°的大小关系是（ ）
A．cs28°＜cs58°＜sin58°B．sin58°＜cs28°＜cs58°
C．cs58°＜sin58°＜cs28°D．sin58°＜cs58°＜cs28°
8．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（ ）
A．B．C．2D．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子定成立的是（ ）
A．sinA＝sinBB．csA＝csBC．tanA＝tanBD．sinA＝csB
10．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点D到OB的距离等于（ ）
A．asinx+bsinxB．acsx+bcsx
C．asinx+bcsxD．acsx+bsinx
11．若角α，β都是锐角，以下结论：
①若α＜β，则sinα＜sinβ；②若α＜β，则csα＜csβ；③若α＜β，则tanα＜tanβ；④若α+β＝90°，则sinα＝csβ．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
12．我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为（ ）（参考数据sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.32）
A．12千米B．（3+4）千米
C．（3+5）千米D．（12﹣4）千米
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．已知tan（α+15°）＝，则锐角α的度数为 °．
14．比较大小：sin81° tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若csA＝，则BC的长为 ．
16．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是 ．
17．小致为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡行走20m，达到坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°，小致的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，则楼房AB的高度为 m．（计算结果精确到1m，参考数据：sin15°＝，cs15°＝，tan15°＝．）
18．如图，BE是△ABC的角平分线，F是AB上一点，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于点G．若sin∠AEB＝，BG＝4，EG＝5，则S△ABE＝ ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
19．（12分）计算：
（1）2sin30°+3cs60°﹣4tan45°
（2）+tan260°
20．（6分）如图，锐角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．
21．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a＝2，sin，求b和c．
22．（8分）2019年4月18日，台湾省花莲县发生里氏6.7级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距6米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如图所示，试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73）
23．（9分）嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
24．（9分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）
（参考数据sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
25．（10分）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．
（1）如图1，若AE＝DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求的值；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinB＝＝．
故选：D．
2．解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，
∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
3．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
∴tanA＝＝＝．
故选：C．
4．解：在Rt△ABC中，sinB＝，
∴AC＝AB•sinB＝10sin36°，
故选：C．
5．解：∵cs30°＝，cs45°＝，
∵＜＜，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
6．解：设BC＝5x，则AB＝13x，
由勾股定理得，AC＝＝12x，
则tanA＝＝，A、D错误；
sinA＝＝，B错误；
csA＝＝，C正确；
故选：C．
7．解：sin58°＝cs32°．
∵58°＞32°＞28°，
∴cs58°＜cs32°＜cs28°，
∴cs58°＜sin58°＜cs28°．
故选：C．
8．解：如图所示：连接BD，
BD＝＝，
AD＝＝2，
AB＝＝，
∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，
∴△ADB为直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
则tanA＝＝＝．
故选：A．
9．解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinA＝csB．
故选：D．
10．解：如图，过点D作DE⊥OC于点E，
则点D到OB的距离等于OE的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，
∴∠CDE＝∠BCO＝x，
∴OC＝BC•csx＝bcsx，
CE＝CD•sinx＝asinx，
∴OE＝OC+CE＝bcsx+asinx．
则点D到OB的距离等于bcsx+asinx．
故选：C．
11．解：①∵sinα随α的增大而增大，∴若α＜β，则sinα＜sinβ，此结论正确；
②∵csα随α的增大而减小，∴若α＜β，则csα＞csβ，此结论错误；
③∵tanα随α的增大而增大，∴若α＜β，则tanα＜tanβ，此结论正确；
④若α+β＝90°，则sinα＝csβ，此结论正确；
综上，正确的结论为①③④，
故选：C．
12．解：如图，作BD⊥AC于点D，
根据题意可知：
在Rt△ADB中，∠A＝60°，AB＝6，
∴AD＝3，BD＝3，
在Rt△CDB中，∠CBD＝53°，
∴CD＝BD•tan53°≈3×1.32≈3×≈4，
∴AC＝AD+CD＝3+4．
则A，C两地的距离为（3+4）千米．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．解：∵tan30°＝，
∴α+15°＝30°，
∴α＝15°，
故答案为：15．
14．解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°．
故答案为＜．
15．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，csA＝，
∴csA＝＝＝，
∴AB＝10，
∴BC＝＝＝＝8．
故答案为：8．
16．解：如图，连接AB．
∵OA＝AB＝，OB＝2，
∴OB2＝OA2+AB2，
∴∠OAB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∴sin∠AOB＝，
故答案为：．
17．解：作DH⊥AB于H，
∵∠DBC＝15°，BD＝20m，
∴BC＝BD•cs∠DBC＝20×＝19.2（m），CD＝BD•sin∠DBC＝20×＝5（m），
由题意得，四边形ECBF和四边形CDHB是矩形，
∴EF＝BC＝19.2m，BH＝CD＝5m，
∵∠AEF＝45°，
∴AF＝EF＝19.2m，
∴AB＝AF+FH+HB＝19.2+1.6+5＝25.8≈26（m），
答：楼房AB的高度约为26m．
故答案是：26．
18．解：如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ECG＝∠ABE，
∴∠ECG＝∠CBE，
∵∠CEG＝∠CEB，
∴△ECG∽△EBC，
∴＝＝，
∴EC2＝EG•EB＝5×（5+4）＝45，
∵EC＞0，
∴EC＝3，
在Rt△BET中，∵sin∠AEB＝＝，BE＝9，
∴BT＝，
∴ET＝＝＝，
∴CT＝ET+CE＝，
∴BC＝＝＝6，
∴CG＝＝10，
∵∠ECG＝∠FBG，
∴E，F，B，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠CBG，
∵∠FGE＝∠BGC，
∴△EGF∽△CGB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝3，
∵∠AFE＝∠ACB，∠EAF＝∠BAC，
∴△EAF∽△BAC，
∴＝＝＝，设AE＝x，则AB＝2x，
∵∠FBG＝∠ECG，∠BGF＝∠CGE，
∴△BGF∽△CGE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∵AE•AC＝AF•AB，
∴x（x+3）＝（2x﹣）•2x，
解得x＝，
∴AE＝ET＝，
∴点A与点T重合，
∴AB＝2AE＝，
∴S△ABE＝×AB×AE＝××＝．
故答案为．
三．解答题（共7小题，满分60分）
19．解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝+3
＝．
20．解：过点A作AH⊥BC于H，
∵S△ABC＝27，
∴，
∴AH＝6，
∵AB＝10，
∴BH＝＝＝8，
∴tanB＝＝＝．
21．解：如图，
∵a＝2，sin，
∴c＝＝＝6，
则b＝＝＝4．
22．解：过点C作CD⊥AB，交AB 的延长线于D，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝，
∴AD＝＝CD，
在Rt△ACD中，∠CBD＝60°，tan∠CBD＝，
∴BD＝＝CD，
由题意得，AD﹣BD＝AB＝6，
∴CD﹣CD＝6，
解得，CD＝3≈5.2（米），
答：生命所在点C的深度约为5.2米．
23．解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；
（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
24．解：（1）∵AB垂直于桥面，
∴∠AMC＝∠BMC＝90°，
在Rt△AMC中，CM＝60，∠ACM＝30°，
tan∠ACM＝，
∴AM＝CM•tan∠ACM＝60×＝20（米），
答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20米；
（2）在Rt△BMC中，CM＝60，∠BCM＝14°，
tan∠BCM＝，
∴MB＝CM•tan∠BCM≈60×0.25＝15，
∴AB＝AM+MB＝15+20≈50（米）
答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．
25．（1）①证明：∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ACD，
∴EA＝EC，
∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA＝DT，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴BD＝DT＝AD，
∴＝．
（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．
∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAT（AAS），
∴AE＝CT，BE＝AT，
∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，
∴ET＝CT＝AE，
∴BE＝2AE，
∴tan∠ABE＝＝
题号
一
二
三
总分
得分
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