初中数学湘教版九年级上册第4章 锐角三角函数综合与测试同步达标检测题

这是一份初中数学湘教版九年级上册第4章 锐角三角函数综合与测试同步达标检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

姓名：________ 班级：________ 分数：________
第Ⅰ卷 (选择题 共36分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．cs 30°的相反数是( C )
A．－eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(2),2)
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝eq \f(4,5)，则cs B的值等于( B )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(\r(5),5)
3．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法如图．
(1)作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；
(2)以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
(3)连接BD，BC.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( D )
A．∠ABD＝90° B．CA＝CB＝CD
C．sin A＝eq \f(\r(3),2) D．cs D＝eq \f(1,2)
第3题图 第6题图 第7题图
4．若cs(36°－A)＝eq \f(7,8)，则sin(54°＋A)的值是( B )
A.eq \f(8,7) B.eq \f(7,8) C.eq \f(\r(15),8) D.eq \f(1,8)
5．已知∠A为锐角，且cs A≤eq \f(1,2)，那么( B )
A．0°＜∠A≤60° B．60°≤∠A＜90°
C．0°＜∠A≤30° D．30°≤∠A＜90°
6．将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是( B )
A.eq \f(2,3)eq \r(3) cm B.eq \f(4,3)eq \r(3) cm C.eq \r(5) cm D．2 cm
7．(港北期末)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan ∠DBC的值为( A )
A.eq \f(1,3) B.eq \r(2)－1 C．2－eq \r(3) D.eq \f(1,4)
8．在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，其示意图如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度(或坡比)为i＝1 ∶2，BC＝12eq \r(5)米，CD＝6米，∠D＝30°，(其中点A，B，C，D均在同一平面内)则垂直升降电梯AB的高度约为( B )
A．10eq \r(3)米
B．(10eq \r(3)－12)米
C．12米
D．(10eq \r(3)＋12)米
9．第七届世界军人运动会于2019年10月27日在武汉成功落下帷幕，中国军人代表团凭借顽强的作风，斩获133金64银42铜、共计239枚奖牌，以绝对实力首次问鼎军运会金牌榜与奖牌榜头名，捍卫东道主荣誉．如图①是《第七届世界军人运动会》纪念邮票之一《海军五项·航海技术》，画面背景为海军五项比赛场地．若在某一时刻，如图②所示，已知旗杆CD长6米，运动员身高AB＝2米，当运动员到达离地面2米的B处，即BD＝2米，此时身体呈伸直状态，且∠ABC＝37°，则此时运动员头顶A与旗杆顶点C的距离AC的长度为(结果保留一位小数，参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，eq \r(2)≈1.41，eq \r(5)≈2.24)( C )
① ②
A．3.1米 B．2.8米 C．2.7米 D．2.6米
10．如图，小强和小明去测量一棵古树的高度，他们在离古树60 m的A处，用测角仪测得古树顶的仰角为30°，已知测角仪高AD＝1.5 m，则古树BE的高为( B )
A．(20eq \r(3)－1.5)m B．(20eq \r(3)＋1.5)m
C．31.5 m D．28.5 m
第10题图 第11题图

11．(兴宾期末)如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB＝2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( B )
A．4 km B．(2＋eq \r(2)) km C．2eq \r(2) km D．(4－eq \r(2)) km
12．(绵阳中考)如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cs A的值为( C )
A.eq \f(\r(5)－1,2) B.eq \f(\r(5)－1,4)
C.eq \f(\r(5)＋1,4) D.eq \f(\r(5)＋1,2)
第12题图 第14题图 第18题图
第Ⅱ卷 (非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13．计算：sin 30°·cs 45°＋tan 60°＝ eq \f(\r(2),4)＋eq \r(3) ．
14．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin B的值为 eq \f(\r(2),2) .
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝1，BD＝4，则sin A＝ eq \f(2\r(5),5) ．
16．如图，港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术而闻名世界．其主体工程青州航道桥是一座双塔双索面钢箱梁斜拉桥，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，塔高AB为163米，大桥主跨BD的中点为E，记斜拉索与大桥主梁所夹锐角为α，那么用塔高和α的三角函数表示主跨BD的长为 eq \f(326,tan α) 米．
17．在△ABC中，AB＝2eq \r(2)AC，tan B＝eq \f(1,3)，BC边上的高长为2，则△ABC的面积为 7或5 .
18．如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为 22 海里(结果保留整数)．(参考数据sin 26.5°≈0.45，cs 26.5°≈0.90，tan 26.5°≈0.50，eq \r(5)≈2.24)
三、解答题(本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(本题满分10分，每小题5分)计算：
(1)eq \r(3)cs 30°＋eq \r(2)sin 45°＋6tan230°；
解：原式＝eq \r(3)× eq \f(\r(3),2)＋eq \r(2)× eq \f(\r(2),2)＋6× eq \f(1,3)＝eq \f(9,2).
(2)sin245°－cs245°＋tan 30°tan 60°－sin 60°cs 30°.
解：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(\r(3),3)× eq \r(3)－eq \f(\r(3),2)× eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＋1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).
20．(本题满分5分)(荷城期末)如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上F处，求tan∠AFE的值．
解：根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，
即∠AFE＋∠BFC＝90°.
又Rt△BCF中，∠BCF＋∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF.
在Rt△BFC中，根据折叠的性质，有CF＝CD，BC＝8，
CF＝CD＝10，由勾股定理易得BF＝6，则tan∠BCF＝eq \f(3,4)，
∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝eq \f(3,4).
21．(本题满分6分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，AB ∶BD＝eq \r(3).求tan∠DAC的值．
解：过点D作DE⊥AB于E，
∴∠BED＝∠C＝90°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DC.
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴eq \f(DE,AC)＝eq \f(BD,AB).
∵AB ∶BD＝eq \r(3)，
∴tan∠DAC＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(DE,AC)＝eq \f(\r(3),3).
22．(本题满分8分)如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A，B间的距离．(eq \r(3)≈1.73，eq \r(2)≈1.41，结果保留一位小数)
解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，在Rt△BCD中，
sin∠BCD＝eq \f(BD,BC)，cs∠BCD＝eq \f(CD,BC)，
∴BD＝BC·sin∠BCD≈42.3，
CD＝BC·cs∠BCD≈42.3.
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝eq \f(AD,CD)，
∴AD＝CD·tan∠ACD＝42.3×eq \r(3)≈73.2.
∴AB＝AD＋BD＝73.2＋42.3＝115.5.
∴A，B间的距离约为115.5海里．
23．(本题满分8分)如图，若要在宽为40米的道路AD两边安装路灯，灯柱AB高10米，路灯的灯臂BC与灯柱AB成130°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路的中心线时照明效果最好，此时路灯的灯臂BC应为多少米？(结果精确到0.01，参考数据：sin 40°≈0.64，cs 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
解：延长CB，OA交于点E，
∵∠ABC＝130°，∴∠E＝40°.
∵在Rt△ABE中，AB＝10，
sin 40°＝eq \f(AB,BE)，∴BE＝15.625，
∴由勾股定理可知AE≈12.00.
∵OA＝20，∴OE＝12＋20＝32.在Rt△OEC中，cs 40°＝eq \f(CE,OE)，
∴CE≈24.64，∴BC≈24.64－15.625≈9.02.
∴路灯的灯臂BC应为9.02米．
24．(本题满分8分)如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6 m，DE＝10 m．求乙楼的高度AC的长．(参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，结果精确到0.1 m)
解：过点E作EF⊥AC于F，则
四边形CDEF为矩形，
∴EF＝CD，CF＝DE＝10，
设AC＝x m，则CD＝EF＝x m，BF＝(x－16)m，
在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝eq \f(EF,BF)，
∴eq \f(x,x－16)＝eq \r(3)，∴x＝24＋8eq \r(3)≈37.8.
答：乙楼的高度AC的长约为37.8 m.
25．(本题满分11分)(梧州中考)如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A＝90°，∠ABD＝60°，∠CBD＝54°，AB＝200 m，BC＝300 m．请你计算出这片水田的面积．(参考数据：sin 54°≈0.809，cs 54°≈0.588，tan 54°≈1.376，eq \r(3)＝1.732)
解：过点C作CM⊥BD于点M，
∵∠A＝90°，∠ABD＝60°，
∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝400 m，
∴AD＝eq \r(3)AB＝200eq \r(3) m，
∴△ABD的面积＝eq \f(1,2)× 200× 200eq \r(3)
＝20 000eq \r(3) m2.
∵∠CMB＝90°，∠CBD＝54°，
∴CM＝BC·sin 54°＝300× 0.809＝242.7 m.
∴△BCD的面积＝eq \f(1,2)× 400× 242.7＝48 540 m2.
∴这片水田的面积＝20 000eq \r(3)＋48 540≈83 180 m2.
26．(本题满分10分)小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测倾器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F，G，D，B在同一水平直线上，且EF，CD，AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB.(小平面镜的大小忽略不计)
解：过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5.
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5.
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°.
由题意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴eq \f(EF,AB)＝eq \f(FG,BG)，即eq \f(1.6,BD＋0.5)＝eq \f(2,5＋BD)，
解得BD＝17.5，
∴AB＝17.5＋0.5＝18(m)．
∴这棵古树的高度AB为18 m.