2025秋九年级数学上册第3章图形的相似综合素质评价试卷（含解析湘教版）

这是一份2025秋九年级数学上册第3章图形的相似综合素质评价试卷（含解析湘教版），共14页。
第3章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．观察如图所示的四组图形，不是相似图形的是(　　) 2. [2025永州月考]若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝20°，∠B＝60°，则∠C′等于(　　)A．20° B．60° C．100° D．40° 3．已知三条线段的长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线段长不可能是(　　)A．1 B．9 C．20 D．164.[教材P66练习T2]　 某两地的实际距离为8 km，画在地图上的距离是10 cm，则在地图上的距离与实际距离之比是(　　)A．1：800 B．1：8 000 C．1：80 000 D．1：800 0005．如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，若点B的坐标为(1，1)，则点D的坐标是(　　)A．(3，3) B．(4，4) C．(5，5) D．(6，6)6.在自然界中黄金分割很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝16 cm，则AB的长为(　　)A．(24－8 eq \r(5)) cm B．(48－16 eq \r(5)) cm C．(8 eq \r(5)－8) cm D．(16 eq \r(5)－16) cm7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，直线AC与DF相交于点G，若AG＝2，BG＝1，BC＝5，则下列结论错误的是(　　)A.eq \f(EG,DG)＝eq \f(1,2) B.eq \f(EG,FG)＝eq \f(1,6) C.eq \f(ED,EF)＝eq \f(3,5) D.eq \f(EB,FC)＝eq \f(1,5) 8．[2024湖南]如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是(　　)A. DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADE ＝eq \f(1,2)S△ABC9．在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　) 10．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB·(AB＋BC)，且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是(　　)A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(6),2) C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(8,5)二、填空题(每题3分，共24分)11.[教材P63例2]已知5x＝7y，则xy＝________.12．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝10，DO＝5，CD＝4，则AB的长是________．13．如图，设小正方形的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且它们的顶点都在格点上，则它们的面积比是________．14. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，要使△BAD与△DBC相似，还需添加一个条件，这个条件可以是________(只需填一个条件)．15．[2025郴州月考]在如图的正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′位似，则位似中心是点________．16. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC)．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，∠ABC和∠ANM均为直角，AM与BC交于点D，测得AB＝40 cm，BD＝25 cm，BN＝22 m，则信号塔MN的高度为________ m.17. 如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝16，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3个单位的速度向点A运动，其中一点到达终点，则另一点也随之停止运动，当△ABC与以A，P，Q为顶点的三角形相似时，运动时间为________．18. 如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，点F是AB上的一点，点G是BC上的一点，先以CE为对称轴将△CDE折叠，使点D落在CF上的点D′处，再以EF为对称轴折叠△AEF，使得点A的对应点A′与点D′重合，以FG为对称轴折叠△BFG，使得点B的对应点B′落在CF上．若∠A＝60°，FG＝2，则CE的值为________．三、解答题(19，20题每题6分，21，22题每题8分，23，24题每题9分，25，26题每题10分，共66分)19．已知：eq \f(a,b)＝eq \f(2,5).(1)求代数式eq \f(a＋4b,2a－3b)的值；(2)当2a＋3b－3＝35时，求a，b的值．20．如图，AB∥CD，AD⊥BC于点O，OA＝6，OD＝9，BC＝10，求CD的长．21．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的13×12的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC.(1)以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，得到△A1B1C.点A，B的对应点分别是点A1，B1，画出△A1B1C；(2)以点B1为旋转中心，将线段A1B1逆时针旋转90°，得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)填空：∠CB1A2＝________°.22.我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为eq \f(\r(5)－1,2).如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC.(1)利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)；(2)求证：AD2＝CD·CA.23．[2025常德月考]如图，在▱ABCD中，F为AD的中点，连接BF并延长交CD的延长线于点E，交AC于点G，且GF＝1.(1)求BG的长；(2)求证： BG2＝GF·GE.24.某课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，如图①，它的边BC＝12 m，高线AD＝8 m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8 m.(1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程；(2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长；(3)如图③，如果将这块余料的形状改为Rt△ABC，已知∠A＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN的工件，使QM在BC上，P，N两点分别在AB，AC上，且PN＝8 m，则平行四边形PQMN的面积为________m2.25. 综合与实践：【问题情境】5月1日，某市在民族广场举行了“五一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全体劳动者的节日里用庄严的升国旗仪式向所有伟大的劳动者致敬．某校把“测量旗杆高度”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度(单位：度)的仪器、测量距离(单位：m)的皮尺、标杆、平面镜等．(注：以下数据为多次测量的平均值)【实践探究】某小组测量方案及数据如下表： 【问题解决】(1)请运用所学知识，根据上表中的测量数据，求出旗杆的高度；(2)请运用所学知识，再设计一种方案，画出示意图，并写出需要测量的量．26．如图，矩形ABCD中，AD＞AB，点P是对角线AC上的一个动点(不包含A，C两点)，过点P作EF⊥AC分别交射线AB、射线AD于点E，F. (1)求证：△AEF∽△BCA；(2)连接BP，若BP＝AB，且F为AD的中点，求eq \f(AP,PC)的值；(3)连接PD，若AD＝2AB，移动点P，使△ABP与△CPD相似，求eq \f(AF,AB)的值．答案一、1.C　2.C　3.C　4.C　5.A　6.C　7.D　8.D　9.D10．A 【点拨】∵△DAB∽△DCA，∴eq \f(DA,DC)＝eq \f(BD,AD)＝eq \f(AB,CA).又∵AD＝6，BC＝5，∴eq \f(6,5＋BD)＝eq \f(BD,6)，解得BD＝4(负值已舍去)．∴CD＝9.∴eq \f(AB,CA)＝eq \f(AD,CD)＝eq \f(6,9)＝eq \f(2,3).∴AC＝eq \f(3,2)AB.又∵AC2＝AB·(AB＋BC)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)AB))eq \s\up12(2)＝AB·(AB＋BC)．∴AB＝4.∴AB＝BD.如图，过点B作BH⊥AD于点H，∴AH＝eq \f(1,2)AD＝3.∴BH＝eq \r(AB2－AH2)＝eq \r(42－32)＝eq \r(7).∵AD＝3AP，AD＝6，∴AP＝2.当PQ⊥AB时，PQ的值最小，此时∠AQP＝∠AHB＝90°.又∵∠PAQ＝∠BAH，∴△AQP∽△AHB.∴eq \f(AP,AB)＝eq \f(PQ,BH).∴eq \f(2,4)＝eq \f(PQ,\r(7)).∴PQ＝eq \f(\r(7),2).故选A.二、11.7∶5　12.8　13.4∶1　14.∠A＝∠BDC(答案不唯一) 15．O　16.1417．4 s或eq \f(16,7) s 【点拨】设运动时间为t s．则AP＝2t，CQ＝3t，∴AQ＝AC－CQ＝16－3t.当△APQ∽△ABC时，eq \f(AP,AB)＝eq \f(AQ,AC)，即eq \f(2t,8)＝eq \f(16－3t,16)，解得t＝eq \f(16,7)；当△APQ∽△ACB时，eq \f(AP,AC)＝eq \f(AQ,AB)，即eq \f(2t,16)＝eq \f(16－3t,8)，解得t＝4.综上所述，运动时间为4 s或eq \f(16,7) s.18.eq \f(10,3)　 【点拨】过点C作CH⊥AB的延长线于点H.∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥CB，CD∥AB.∴∠CBH＝∠A＝60°.∴∠BCH＝30°.设菱形ABCD的边长为2x，则BH＝x.∴CH＝eq \r(3)x，设AF ＝A′F＝a，∴BF＝AB－AF＝2x－a，CF＝CD′＋A′F＝CD＋AF＝2x＋a，∴FH＝BF＋BH＝2x－a＋x＝3x－a，在Rt△FCH中，根据勾股定理得FH2＋CH2＝CF2，∴(3x－a)2＋(eq \r(3)x)2＝(2x＋a)2，解得a＝0.8x，∴B′F＝BF＝2x－a＝1.2x，由折叠可知∠DCE＝∠A′CE，∠BFG＝∠CFG.∵CD∥AB，∴∠DCF ＝∠BFC.∴∠ECD′＝∠GFB′.又∵∠D＝∠ED′C＝∠ABC＝∠FB′G，∴△ECD′∽△GFB′.∴eq \f(CE,GF)＝eq \f(CD′,B′F)＝eq \f(2x,1.2x)＝eq \f(5,3).又∵FG＝2，∴CE＝eq \f(10,3).三、19.【解】∵eq \f(a,b)＝eq \f(2,5)，∴设a＝2k，则b＝5k.(1)eq \f(a＋4b,2a－3b)＝eq \f(2k＋4×5k,2×2k－3×5k)＝eq \f(22k,－11k)＝－2.(2)当2a＋3b－3＝35时，2×2k＋3×5k－3＝35，∴k＝2.∴a＝2k＝4，b＝5k＝10.20．【解】∵AB∥CD，∴△ABO∽△DCO.∴eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC).∴eq \f(6,9)＝eq \f(10－OC,OC)，解得OC＝6.∵AD⊥BC，∴△COD为直角三角形．∴OC2＋OD2＝CD2.∴CD＝eq \r(62＋92)＝3eq \r(13).21．【解】(1)如图，△A1B1C即为所求．(2)如图，线段A2B1即为所求．(3)45 【点拨】∵AC2＝12＋32＝10，AB2＝12＋32＝10，BC2＝22＋42＝20，∴BC2＝AB2＋AC2.∴△ABC为直角三角形，且∠A＝90°.又∵AC＝AB，∴△ABC为等腰直角三角形．∴∠B＝45°.∵△A1B1C与△ABC为位似图形，∴∠A1B1C＝∠B＝45°.∵线段A1B1以点B1为旋转中心逆时针旋转90°得到线段A2B1，∴∠A1B1A2＝90°.∴∠CB1A2＝90°－∠A1B1C＝45°.22．(1)【解】如图所示，BD即为所求．(2)【证明】∵在△ABC中，AB ＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC ＝∠C＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°.∴∠CBD＝∠A＝∠ABD＝36°.∴AD＝BD，∠BDC＝72°.∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC.∴AD＝BC.∵∠BCD＝∠ACB，∠CBD＝∠CAB，∴△BCD∽△ACB.∴eq \f(BC,AC)＝eq \f(CD,BC)，即eq \f(AD,AC)＝eq \f(CD,AD).∴AD2＝CD·CA.23．(1)【解】∵在▱ABCD中，F为AD的中点，∴AF＝DF＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)BC.∴eq \f(AF,BC)＝eq \f(1,2).∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴△AFG∽△CBG.∴eq \f(GF,BG)＝eq \f(AF,BC)＝eq \f(1,2).又∵GF＝1，∴BG＝2.(2)【证明】∵△AFG∽△CBG，∴eq \f(GF,BG)＝eq \f(AG,GC).∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CE.∴△ABG∽△CEG.∴eq \f(AG,GC)＝eq \f(BG,GE).∴eq \f(GF,BG)＝eq \f(BG,GE).∴BG2＝GF·GE.24．【解】(1)∵四边形PQMN是正方形，∴PN∥BC.∴△APN∽△ABC.∵AD是△ABC的高线，∴AE是△APN的高线．∴eq \f(PN,BC)＝eq \f(AE,AD).设正方形零件PQMN的边长为t m，易得AE＝(8－t)m.∴eq \f(t,12)＝eq \f(8－t,8)，解得t＝4.8.∴加工成的正方形零件PQMN的边长为4.8 m.(2)设PN＝x m，矩形PQMN的面积为S m2.由已知易得△APN∽△ABC，∴eq \f(PN,BC)＝eq \f(AE,AD).易知DE＝PQ，∴eq \f(x,12)＝eq \f(8－PQ,8)，解得PQ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(2,3)x))m，则S＝PN·PQ＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(2,3)x))＝－eq \f(2,3)x2＋8x＝－eq \f(2,3)(x－6)2＋24.∵－eq \f(2,3)