第4章锐角三角函数单元测试2025-2026学年湘教版九年级数学上册 [含答案]

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湘教版九年级上册 第4章 锐角三角函数 单元测试 一、选择题 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则tan A的值为（　　） 2.在△ABC中，∠C＝90°，AB=6，BC=3，则∠A的度数为（　　） 3.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距80千米．客轮以60千米/小时的速度沿北偏西60°方向航行1小时到达B处，那么AB＝（　　）千米． 4.由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（　　） 5.sin 60°的值为（　　） 6.如图，在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（　　） 7.△ABC在网格中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（　　） 8.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A=1213，则tan B的值为（　　） 9.如图，已知∠a的对边OP⊥AB，直线AB的方程为y=−33x+33，则cos a＝（　　） 10.如图，直线y=34x+3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是（　　） 11.化简1−2sin 30℃os30°为（　　） 12.如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为63°；小静沿着坡度i＝5：12的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为45°，那么这棵木棉树的高度约（　　）m．（结果精确到1m）（参考数据：sin 63°≈0.9，cos 63°≈0.5，tan 63°≈2.0） 二、填空题 13.用计算器计算：2sin 46°+3cos 28°52'≈_______.（结果保留小数点后两位） 14.求下列正切值（精确到0.0001）．然后用“＜”把它们连接起来． tan 53°49'，tan 14°32'，tan 89°43'22″，tan 60°，tan 7°． 15.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，c＝5，则cos B＝　　     ． 16.如图，两条宽度都为l的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角α＝60°，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是 _______________． 17.图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD是矩形，AB＝20cm，AD＝305cm，DE＝60cm，BF＝30cm．点H在BC上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、H、D转动并带动AI转动，支撑杆LK、JM不动．躺椅在转动时： （1）若直线EF过点J，当∠ADE＝120°时，△AFJ的面积是 _______cm2． （2）若12＜tan∠EDI＜2，EF与地面的夹角为α，则tan α的取值范围是 ________． 三、解答题 18.根据下列图中所给条件分别求出∠A，∠B的正切值． 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，求tan A和tan B． 20.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，c＝15，sin A=35，求b与tan B． 21.如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sin A=ac，cos A=bc，tan A=ab．我们不难发现：sin260°+cos260°＝1，…试探求sin A、cos A、tan A之间存在的一般关系，并说明理由． 22.（1）如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．  湘教版九年级上册 第4章 锐角三角函数 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则tan A的值为（　　） 【答案】D 【解析】根据勾股定理可得：BC=AB2−AC2=132−52=12， ∴tan A=BCAC=125． 故选：D． 2.在△ABC中，∠C＝90°，AB=6，BC=3，则∠A的度数为（　　） 【答案】B 【解析】∵∠C＝90°，AB=6，BC=3， ∴sin A=BCAB=36=22， ∴∠A＝45°． 故选：B． 3.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距80千米．客轮以60千米/小时的速度沿北偏西60°方向航行1小时到达B处，那么AB＝（　　）千米． 【答案】B 【解析】∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距80千米． ∴AP＝80千米， ∵客轮以60千米/小时的速度沿北偏西60°方向航行1小时到达B处， ∴∠APB＝90°，BP＝60×1＝60， ∴AB=802+602=100（千米）， 故选：B． 4.由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（　　） 【答案】C 【解析】如图，作CD⊥AB于点D，则CD=2， BD=22+22=22， 故tan∠ABC=CDDB=222=12， 故选：C． 5.sin 60°的值为（　　） 【答案】A 【解析】sin 60°=32． 故选：A． 6.如图，在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（　　） 【答案】D 【解析】由题意可知：在Rt△ABC中，AC＝5m，斜坡AB的坡比为i＝1：2.5， 则BC＝2m， 由勾股定理得：AB=AC2+BC2=22+52=29（m）， 故选：D． 7.△ABC在网格中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（　　） 【答案】B 【解析】作AD⊥BC的延长线于点D． 在Rt△ADC中，BD＝AD，则AB=2BD． cos∠ACB=ADAB=12=22， 故选：B． 8.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A=1213，则tan B的值为（　　） 【答案】D 【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，sinA=1213， ∴BCAB=1213， 设BC＝12x，则AB＝13x，AC=AB2−BC2=5x， ∴tanB=ACBC=5x12x=512， 故选：D． 9.如图，已知∠a的对边OP⊥AB，直线AB的方程为y=−33x+33，则cos a＝（　　） 【答案】A 【解析】根据题意：直线AB的方程为y=−33x+33， 则A点坐标为（1，0），B点坐标为（0，33）， 故AO＝1，BO=33；AB=233，cos∠ABO=12， 由于同角的余角相等即∠α＝∠ABO， 所以cos a＝cos∠ABO=12． 故选：A． 10.如图，直线y=34x+3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是（　　） 【答案】A 【解析】当x＝0时，y＝3， 当y＝0时，x＝﹣4， ∴直线y=34x+3与x、y轴的交点A的坐标（﹣4，0）、B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， 由勾股定理得，AB＝5， 则cos∠BAO=OAAB=45， 故选：A． 11.化简1−2sin 30℃os30°为（　　） 【答案】B 【解析】∵cos 2α+sin 2α＝1， ∴原式=sin230°+cos230°−2sin30°cos30°=(cos30°−sin30°)2， ∵sin 30°=12=0.5，cos 30°=32≈0.87， ∴cos 30°＞sin 30°， ∴原式＝cos 30°﹣sin 30°． 故选：B． 12.如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为63°；小静沿着坡度i＝5：12的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为45°，那么这棵木棉树的高度约（　　）m．（结果精确到1m）（参考数据：sin 63°≈0.9，cos 63°≈0.5，tan 63°≈2.0） 【答案】C 【解析】过点C作CD⊥AH，垂足为D，过点C作CE⊥FH，垂足为E， 由题意得：CD＝EH，CE＝DH，AB＝17米， ∵斜坡AC的坡度i＝5：12， ∴CDAD=512， ∴设CD＝5x米，则AD＝12x米， 在Rt△ACD中，AC=CD2+AD2=(5x)2+(12x)2=13x（米）， ∵AC＝13米， ∴13x＝13， 解得：x＝1， ∴CD＝EH＝5米，AD＝12米， 设CE＝DH＝y米， ∴BH＝AD+DH﹣AB＝12+y﹣17＝（y﹣5）米， 在Rt△BFH中，∠FBH＝63°， ∴FH＝BH•tan 63°≈2（y﹣5）米， 在Rt△CEF中，∠FCE＝45°， ∴FE＝CE•tan 45°＝y米， ∵EF+EH＝FH， ∴y+5＝2（y﹣5）， 解得：y＝15， ∴FH＝FE+EH＝15+5＝20（米）， ∴这棵木棉树的高度约为20米， 故选：C． 二、填空题 13.用计算器计算：2sin 46°+3cos 28°52'≈_______.（结果保留小数点后两位） 【答案】4.07 【解析】2sin 46°+3cos 28°52' ≈2×0.719+3×0.876 ＝1.438+2.628 ＝4.066 ≈4.07． 故答案为：4.07． 14.求下列正切值（精确到0.0001）．然后用“＜”把它们连接起来． tan 53°49'，tan 14°32'，tan 89°43'22″，tan 60°，tan 7°． 【答案】解　∵tan 53°49'≈1.3672，tan 14°32'≈0.2592，tan 89°43'22″≈206.6765，tan 60°≈1.7321，tan 7°≈0.1228， ∴tan 7°＜tan 14°32'＜tan 53°49'＜tan 60°＜tan 89°43'22″ 【解析】 15.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，c＝5，则cos B＝　　     ． 【答案】 【解析】由题意可知，a＝4，c＝5，∠C＝90°， ∴cos B=ac=45， 故答案为：． 16.如图，两条宽度都为l的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角α＝60°，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是 _______________． 【答案】233 【解析】∵AC=1sin60°=233， ∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为： 233×1=233． 故答案为：233． 17.图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD是矩形，AB＝20cm，AD＝305cm，DE＝60cm，BF＝30cm．点H在BC上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、H、D转动并带动AI转动，支撑杆LK、JM不动．躺椅在转动时： （1）若直线EF过点J，当∠ADE＝120°时，△AFJ的面积是 _______cm2． （2）若12＜tan∠EDI＜2，EF与地面的夹角为α，则tan α的取值范围是 ________． 【答案】（1）18751511cm2　　（2）1137＜tan α＜1113 【解析】（1）若直线EF过点J，当∠ADE＝120°时，如图1所示， 由题意可知，AB∥CD， ∴∠F＝∠E，∠FAJ＝∠ADE＝120°， ∴△FAJ∽△EDJ， ∴AFDE=AJDJ， ∵AF＝AB+BF＝50cm，DE＝60cm， ∴AFDE=AJDJ=5060=56， ∴AJ=511AD=150511cm， 过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N，则∠ANF＝90°， 在Rt△AFN中，∠FAN＝180°﹣∠FAJ＝60°，AF＝50cm， ∴FN＝AFsin∠FAN＝50×sin 60°＝253， ∴△AFJ的面积=12×AJ×FN=18751511cm2； （2）当tan∠EDI=12时，如图2所示，作EP⊥DI于点P，则∠EPD＝90°，设EF交AD于点Q， 由题意可知，AB∥CD， ∴∠F＝∠QED，∠FAQ＝∠QDE， ∴△FAQ∽△EDQ， ∴AFDE=AQDQ， ∵AF＝AB+BF＝50cm，DE＝60cm， ∴AFDE=AQDQ=5060=56， ∴DQ=611AD=180511cm， 设EP＝x，则DP＝2x，由勾股定理得： EP2+DP2＝DE2， ∴x2+（2x）2＝602， 解得x＝125cm， ∴EP＝125cm，DP＝245cm，PQ＝DP+DQ=444511cm， ∴tan α＝tan∠EQP=EPPQ=125444511=1137； 当tan∠EDI＝2时，如图3所示， 同理可求得DQ=180511cm，DP＝125cm，EP＝245cm， ∴PQ＝DP+DQ=312511cm， ∴tan α＝tan∠EQP=EPPQ=245312511=1113； ∵EF与地面的夹角α随着∠EDI的增大而增大， ∴当12＜tan∠EDI＜2时，tan α的取值范围是1137＜tan α＜1113． 故答案为：18751511cm2；1137＜tan α＜1113． 三、解答题 18.根据下列图中所给条件分别求出∠A，∠B的正切值． 【答案】解　①中tan A=BCAC=23；tan B=ACBC=32； ②中tan A=BCAC=1195；tan B=ACBC=5119=5119119． 【解析】 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，求tan A和tan B． 【答案】解　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴tan A=BCAC=34，tan B=ACBC=43． 【解析】 20.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，c＝15，sin A=35，求b与tan B． 【答案】解　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵sin A=BCAB=35=BC15， 即BC＝9， 根据勾股定理AC=AB2−BC2=152−92=12，即b＝12， ∴tan B=ACBC=129=43． 总上所述，b的值为12，tan B=43． 【解析】 21.如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sin A=ac，cos A=bc，tan A=ab．我们不难发现：sin260°+cos260°＝1，…试探求sin A、cos A、tan A之间存在的一般关系，并说明理由． 【答案】解　存在的一般关系有： （1）sin 2A+cos 2A＝1； （2）tan A=sinAcosA． 证明：（1）∵sin A=ac，cos A=bc， a2+b2＝c2， ∴sin2A+cos2A=a2c2+b2c2=a2+b2c2=c2c2=1． （2）∵sin A=ac，cos A=bc， ∴tan A=ab=acbc， =sin Acos A． 【解析】 22.（1）如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小． 【答案】解　（1）由图①，知 sin∠B1AC1=B1C1AB1，sin∠B2AC2=B2C2AB2， sin∠B3AC3=B3C3AB3． ∵AB1＝AB2＝AB3且B1C1＞B2C2＞B3C3， ∴B1C1AB1＞B2C2AB2＞B3C3AB3． ∴sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3． 而∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3， 而对于cos∠B1AC1=AC1AB1， cos∠B2AC2=AC2AB2， cos∠B3AC3=AC3AB3． ∵AC1＜AC2＜AC3， ∴cos∠B1AC1＜cos∠B2AC2＜cos∠B3AC3． 而∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3． 由图②知sin∠B3AC=B3CAB3， ∴sin 2∠B3AC=B3C2AB32． ∴1﹣sin 2∠B3AC＝1−B3C2AB32=AB32−B3C2AB32=AC2AB32． 同理，sin∠B2AC=B2CAB2，1﹣sin 2∠B2AC=AC2AB22， sin∠B1AC=B1CAB2，1﹣sin 2∠B1AC=AC2AB12． ∵AB3＞AB2＞AB1，∴AC2AB32＜AC2AB22＜AC2AB12． ∴1﹣sin 2∠B3AC＜1﹣sin 2∠B2AC＜1﹣sin 2∠B1AC． ∴sin 2∠B3AC＞sin 2∠B2AC＞sin 2∠B1AC． ∵∠B3AC，∠B2AC，∠B1AC均为锐角， ∴sin∠B3AC＞sin∠B2AC＞sin∠B1AC． 而∠B3AC＞∠B2AC＞∠B1AC． 而对于cos∠B3AC=ACAB3， cos∠B2AC=ACAB2， cos∠B1AC=ACAB1． ∵AB3＞AB2＞AB1，∴ACAB3＜ACAB2＜ACAB1． ∴cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC． 而∠B3AC＞∠B2AC＞∠B1AC． 结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． （2）由（1）知 sin 18°＜sin 34°＜sin 50°＜sin 62°＜sin 88°， cos 18°＞cos 34°＞cos 50°＞cos 62°＞cos 88°． 【解析】A.513B.1213C.512D.125A.30° B.45° C.60° D.75°A.90 B.100 C.110 D.120A.55B.255C.12D.52A.32B.22C.1D.12A.2.5mB.5mC.6.25mD.29mA.12B.22C.32D.33A.22B.32C.33D.512A.12B.22C.32D.33A.45B.35C.43D.54A.sin 30°﹣cos 30° B.cos 30°﹣sin 30° C.1﹣sin 30° D.1﹣cos 30°A.22 B.21 C.20 D.19A.513B.1213C.512D.125A.30° B.45° C.60° D.75°A.90 B.100 C.110 D.120A.55B.255C.12D.52A.32B.22C.1D.12A.2.5mB.5mC.6.25mD.29mA.12B.22C.32D.33A.22B.32C.33D.512A.12B.22C.32D.33A.45B.35C.43D.54A.sin 30°﹣cos 30° B.cos 30°﹣sin 30° C.1﹣sin 30° D.1﹣cos 30°A.22 B.21 C.20 D.19