高中数学人教A版 (2019)必修 第一册两角和与差的正弦、余弦和正切第2课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册两角和与差的正弦、余弦和正切第2课时导学案，共12页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
【自主学习】
两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式
注意：在应用两角和与差的正切公式时，只要tanα，tanβ，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．
总结：公式的结构特征和符号规律
对于公式C(α−β) ，C(α+β) ，可记为“余余正正，符号异”.
对于公式S(α−β) ，S(α+β) ，可记为“正余余正，符号同”.
对于公式T(α−β) ，T(α+β) ，可记为“分子同,分母异”.
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)把公式cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ中的β用－β代替，可以得到cs(α＋β)．( )
(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )
(3)对任意的α，β角，都有tan (α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.( )
(4)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,3)))能根据公式tan(α＋β)直接展开．( )
(5)tanα·tanβ，tanα＋tanβ，tan(α＋β)三者知二可表示或求出第三个．( )
2.cs 75°cs 15°－sin 75°sin 15°的值等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．0 D．1
3.若tan α＝3，tan β＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)等于( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C．3 D．－3
4.sin 45°cs 15°－cs 45°sin 15°＝________.
【经典例题】
题型一 给角求值
点拨：给角求值问题涉及两角和与差公式的正用和逆用，sin (α＋β) ＝sin αcs β＋cs αsin β即为正用， sin αcs β＋cs αsin β＝sin (α＋β)即为逆用。公式的逆用是三角式变形的重要手段，有时还需把三角函数式的系数0，eq \f(1,2)，eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(3),2)等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．例如：eq \f(1,2)csα－eq \f(\r(3),2)sinα＝sineq \f(π,6)csα－cseq \f(π,6)sinα＝sin(eq \f(π,6)－α)．
注意：在利用两角和差的正切公式时要注意常值代换：如taneq \f(π,4)＝1，taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，taneq \f(π,3)＝eq \r(3)等.
还要注意taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1＋tanα,1－tanα)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1－tanα,1＋tanα).
例1 求下列各式的值：
(1) sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°；(2)sin eq \f(π,12)－eq \r(3)cs eq \f(π,12)；(3)eq \f(1＋tan 75°,1－tan 75°).
【跟踪训练】1 求下列各式的值：
(1)cs 105°； (2)cs75°sin135°＋sin45°cs15°；
(3)1−tan27°tan33°tan27°+tan33°； (4)eq \f(sin47°－sin17°cs30°,cs17°).
题型二 给值求值
点拨：解题时要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
1.当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．
角的拆分方式如下：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，
2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))＝eq \f(π,2)＋(α＋β)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(π,2)＋(α－β)等.
2.当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
例2 (1) 已知cs α＝eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin β＝－eq \f(3,5)，β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin(α－β)的值；
(2)已知sin (3π4＋α)＝513，cs (π4－β)＝35，且0