人教A版 (2019)5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切第3课时教学设计

这是一份人教A版 (2019)5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切第3课时教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第3课时

一、教学目标
1.能够利用Sα±β，Cα±β，Tα±β推导出倍角公式，培养逻辑推理的核心素养；
2.能够正确理解“倍”的含义，增强对换元思想的应用能力，培养数学抽象的核心素养；
3.能够利用倍角公式解决数学问题，培养数学运算的核心素养.

二、教学重难点
重点：能够通过所学知识推导出倍角公式，正确理解“倍”的含义.
难点：能够利用倍角公式解决数学问题，面对问题能够举一反三，使知识融会贯通，提升逻辑推理与数学运算的核心素养，增强问题解决能力.

三、教学过程
（一）创设情境

情境：在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，显示出简洁、奇峻之美．三角函数和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？让我们一起进入今天的学习：二倍角的正弦、余弦、正切公式！
师生活动：教师给出两张图片，一张是广袤无垠的大草原，一张是草原中一朵含苞待放的小白花，带领学生从生活实际出发，感受一般性与特殊性的区别与联系，从而感受三角函数和(差)角的正弦、余弦、正切公式与二倍角的正弦、余弦、正切公式之间的联系，引出本节课的内容.
设计意图：将生活实际与数学知识相关联，增强学生的学习兴趣，提升学生对二倍角公式的理解，培养学生逻辑推理的核心素养.
（二）探究新知
任务1：推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．
探究：我们前面以公式Cα−β为基础，已经得到了六个和(差)角公式.接下来，我们需要利用Sα±β，Cα±β，Tα±β推导出倍角公式，然后进行解题.
(1) Cα+β：csα+β=csαcsβ−sinαsinβ；
(2) Cα−β：csα−β=csαcsβ+sinαsinβ；
(3) Sα+β：sinα+β=sinαcsβ+csαsinβ；
(4) Sα−β：sinα−β=sinαcsβ−csαsinβ；
(5) Tα+β：tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
(6) Tα−β：tanα−β=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
你能利用上面的公式推导出sin2α、cs2α、tan2α吗？
思考：你能利用Sα±β推导出sin2α的公式吗？
提示：可以使用换元法，将β换为α．
答：已知Sα+β：sinα+β=sinαcsβ+csαsinβ，将β换为α后，得到sinα+α=sin2α=sinαcsα+csαsinα，整理得sin2α=2sinαcsα．
思考：你能利用Cα+β推导出cs2α的公式吗？
答：已知 Cα+β：csα+β=csαcsβ−sinαsinβ，将β换为α后，得到csα+α=cs2α=csαcsα−sinαsinα，整理得cs2α=cs2α−sin2α．
思考：你能利用Tα±β推导出tan2α的公式吗？
答：已知Tα+β：tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ，将β换为α后，得到tanα+α=tan2α=tanα+tanα1−tanαtanα，整理得tan2α=2tanα1−tan2α．
设计意图：利用之前所学的和角公式，应用换元的方法进行推导，提升学生对换元思想的理解和应用能力，增强学生的问题解决能力，培养学生逻辑推理的核心素养.
探究：你可以使二倍角的余弦公式C2α中仅含α的正弦或余弦吗？
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
答：(1)要使二倍角的余弦公式C2α中仅含有α的正弦，根据同角三角函数的基本关系得到cs2α=1−sin2α，将其代入到cs2α=cs2α−sin2α中，得到cs2α=1−sin2α−sin2α，整理得cs2α=1−2sin2α．
(2)要使二倍角的余弦公式C2α中仅含有α的余弦，根据同角三角函数的基本关系得到sin2α=1−cs2α，将其代入到cs2α=cs2α−sin2α中，得到cs2α=cs2α−1−cs2α，整理得cs2α=2cs2α−1．
师生活动：教师引导学生思考仅含α的正弦或余弦的二倍角的余弦公式C2α，同学之间进行小组合作并回答问题，教师最后给出总结，同时根据实际情况进行针对性的解答.
设计意图：小组之间合作解决问题，增强学生的合作探究能力.教师给出总结，帮助学生进一步加深对二倍角公式的理解，增强学生的归纳总结能力，培养学生逻辑推理与数学抽象的核心素养.
总结：二倍角公式
sin2α=2sinαcsα，
cs2α=cs2α−sin2α=1−2sin2α=2cs2α−1，
tan2α=2tanα1−tan2α．
提示：这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．
师生活动：教师带领学生回顾之前所学的六个和(差)角公式，借助两角和的正弦、余弦、正切公式，教师带领学生使用换元法推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
任务2：归纳总结和(差)角公式与倍角公式之间紧密的逻辑联系．
换元
圆的旋转对称性
两点间的距离公式
思考：从和(差)角公式、倍角公式的推导过程中可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联系，你能总结出来吗？
答：单位圆 两角差的余弦公式Cα−β Cα+β
Tα−β
tanα−β=sinα−βcsα−β
Sα−β
诱导公式五五
Cα−β
tanα+β=sinα+βcsα+β
Cα+β
诱导公式六五
Tα+β
Sα+β
T2α，T
换元
Tα+β
S2α，T
换元
C2α，
Sα+β
换元
Cα+β
思考：从和(差)角公式、倍角公式的推导过程中可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联倍角公式可以通过和角公式推导出来，是两角相等的特殊情形，和(差)角公式用于处理两个角的和或差，而倍角公式则用于处理一个角的两倍．两者在处理角的问题时互为补充，使三角函数的运算更加灵活多样．
师生活动：教师通过问答的方式，通过总结所学内容之间的关系，帮助学生理解和(差)角公式和倍角公式之间的逻辑联系，逐步完成这部分的教学.
设计意图：对和(差)角公式和倍角公式进行综合整理，探寻其间的逻辑联系，使知识点之间融会贯通，加深了学生对倍角公式的理解，增强学生的归纳总结能力，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养.
（三）应用举例
例1：已知sin2α=513，π4