高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时学案，共8页。


授课提示：对应学生用书第105页
[教材提炼]
知识点 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
由公式C(α－β)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
知识梳理 两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式
[自主检测]
1．cs 75°cs 15°－sin 75°sin 15°的值等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．0 D．1
答案：C
2．若tan α＝3，tan β＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)等于( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．3 D．－3
答案：A
3．sin 45°cs 15°－cs 45°sin 15°＝________.
答案：eq \f(1,2)
授课提示：对应学生用书第105页
探究一 三角函数式的给角求值
[例1] (1)cs 105°；
(2)sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°；
(3)sin eq \f(π,12)－eq \r(3)cs eq \f(π,12)；
(4)eq \f(1＋tan 75°,1－tan 75°).
[解析] (1)原式＝cs(60°＋45°)
＝cs 60°cs 45°－sin 60°sin 45°
＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)
＝eq \f(\r(2)－\r(6),4).
(2)原式＝sin 14°cs 16°＋sin(90°－14°)cs(90°－16°)
＝sin 14°cs 16°＋cs 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°
＝eq \f(1,2).
(3)法一：原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin \f(π,12)－\f(\r(3),2)cs \f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,6)sin \f(π,12)－cs \f(π,6)cs \f(π,12)))
＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,12)))
＝－2cs eq \f(π,4)
＝－eq \r(2).
法二：原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin \f(π,12)－\f(\r(3),2)cs \f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)sin \f(π,12)－sin \f(π,3)cs \f(π,12)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－\f(π,3)))
＝－2sin eq \f(π,4)
＝－eq \r(2).
(4)原式＝eq \f(tan 45°＋tan 75°,1－tan 45°tan 75°)
＝tan(45°＋75°)
＝tan 120°
＝－eq \r(3).
给角求值，其中角一般为非特殊角，求值时将非特殊角转化为特殊角，或者通过化简结合公式正用、逆用、变形用求值．
求下列各式的值．
(1)sin 347°cs 148°＋sin 77°cs 58°；
(2)eq \r(3)sin eq \f(π,12)＋cs eq \f(π,12)；
(3)tan 10°＋tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°.
解析：(1)原式＝sin(360°－13°)cs(180°－32°)＋sin(90°－13°)·cs(90°－32°)
＝sin 13°cs 32°＋cs 13°sin 32°
＝sin(13°＋32°)
＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).
(2)原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin \f(π,12)＋\f(1,2)cs \f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,12)cs \f(π,6)＋sin \f(π,6)cs \f(π,12)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝2sin eq \f(π,4)＝eq \r(2).
(3)∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝eq \f(tan 10°＋tan 50°,1－tan 10°tan 50°)，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)，
∴原式＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＋eq \r(3)tan 10°tan 50°
＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝eq \r(3).
探究二 给值求值、求角
[例2] (1) 已知cs α＝eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin β＝－eq \f(3,5)，β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin(α－β)的值；
(2)已知cs(α－β)＝－eq \f(12,13)，cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，且α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，求角β的值．
[解析] (1)∵cs α＝eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2,3)eq \r(2).
∵sin β＝－eq \f(3,5)，β是第三象限角，
∴cs β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(4,5).
∴sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β
＝eq \f(2,3)eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))
＝－eq \f(3＋8\r(2),15).
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β
＝eq \f(2,3)eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))－eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))
＝eq \f(3－8\r(2),15).
(2)由α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且cs(α－β)＝－eq \f(12,13)，
得sin(α－β)＝eq \f(5,13).由α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
且cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，得sin(α＋β)＝－eq \f(5,13).
cs 2β＝cs[(α＋β)－(α－β)]
＝cs(α＋β)cs(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－eq \f(12,13)×eq \f(12,13)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(5,13)＝－1.
又α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴2β＝π，∴β＝eq \f(π,2).
解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如本题．②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．③角的拆分方法不唯一，可根据题目合理地选择拆分方式．如α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))＝eq \f(π,2)＋(α＋β)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(π,2)＋(α－β)．
已知eq \f(π,4)<β<α解析：∵eq \f(π,4)<β<α又∵sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，
∴π<α＋β∵cs(α－β)＝eq \f(12,13)，∴sin(α－β)＝eq \f(5,13).
∴sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cs(α－β)＋cs(α＋β)sin(α－β)＝－eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(5,13)＝－eq \f(56,65).
探究三 辅助角公式与三角函数的化简
[例3] [教材P220练习第4题拓展探究]
(1)将sin x＋cs x写成Asin(x＋φ)的形式为________．
(2)当－eq \f(π,2)≤x≤eq \f(π,2)时，函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x的最大值为________，最小值为________．
(3)函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＋sin 2x的最小正周期是________．
[解析] (1)sin x＋cs x＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin x＋\f(\r(2),2)cs x))
＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin xcs \f(π,4)＋cs xsin \f(π,4)))
＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).
(2)f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x＝
2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cs x))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin xcs \f(π,3)＋cs xsin \f(π,3)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).
∵－eq \f(π,2)≤x≤eq \f(π,2)，∴－eq \f(π,6)≤x＋eq \f(π,3)≤eq \f(5,6)π，∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))≤1，即－1≤f(x)≤2.
(3)∵y＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＋sin 2x＝eq \f(\r(3)＋2,2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)(sin 2xcs φ＋cs 2xsin φ)
＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)sin(2x＋φ)，
其中cs φ＝eq \f(\r(3)＋2,\r(6)＋\r(2))，sin φ＝eq \f(1,\r(6)＋\r(2)).
∴T＝π，(φ值与求周期无关，不需要求出)．
[答案] (1)eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))) (2)2 －1 (3)π
对于形如asin x＋bcs x(a，b不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x＋φ)的形式．
基本思路是逆用和角的正弦公式，把它化成Asin(x＋φ)的形式，即
asin x＋bcs x＝
eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sin x＋\f(b,\r(a2＋b2))cs x)).
令cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，则
原式＝eq \r(a2＋b2)(sin xcs φ＋cs xsin φ)
＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
授课提示：对应学生用书第107页
一、“万变不离其宗”——和差角公式的变化与推导
C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)、T(α－β)、T(α＋β)之间可以利用换角、诱导公式、同角关系式推导而来，其最基本公式为C(α－β)．
[典例] 已知tan (α＋β)＝2tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，α＋β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，求证：3sin β＝sin(2α＋β)．
[证明] 由已知得eq \f(sinα＋β,csα＋β)＝eq \f(2sin α,cs α)，
∴sin(α＋β)cs α＝2cs(α＋β)sin α.
∵sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]
＝sin(α＋β)cs α＋cs(α＋β)sin α
＝3cs(α＋β)sin α，
3sin β＝3sin[(α＋β)－α]
＝3sin(α＋β)cs α－3cs(α＋β)sin α
＝3cs(α＋β)sin α，
∴3sin β＝sin(2α＋β)．
二、T(α±β)的变形应用
T(α±β)可变形为如下形式：
①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan αtan β＝eq \f(tan α±tan β,tanα±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形①，遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②.
[典例] 若α＋β＝eq \f(π,4)，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值．
[解析] (1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan α·tan β.
又∵α＋β＝eq \f(π,4)，∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，
∴tan α＋tan β＝1－tan α·tan β，
∴tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1，
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋1＝2.
内 容 标 准
学 科 素 养
1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式和两角和的余弦公式．
逻辑推理
数学运算
2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征．
3.能灵活运用公式进行化简和求值.
名称
公式
简记符号
条件
两角和的余弦
cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β
C(α＋β)
α，β∈R
两角和的正弦
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β
S(α＋β)
α，β∈R
两角差的正弦
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β
S(α－β)
两角和的正切
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
T(α＋β)
α，β，α±β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
两角差的正切
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
T(α－β)