人教A版 (2019)必修 第一册两角和与差的正弦、余弦和正切导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册两角和与差的正弦、余弦和正切导学案，共12页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。
1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程．
2.熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用.
【学习重难点】
重点：两角差的余弦公式的推导及应用．
难点：两角差的余弦公式的推导.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P215～217，思考并完成以下问题
(1)如何用α的三角函数与β的三角函数表示cs(α－β)?
(2)两角差的余弦公式是如何推导的？
预习任务二：简单题型通关
1．cs 45°cs 15°＋sin 45°sin 15°等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
2．cs 75°cs 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
A．－eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C．2 D．－1
3．cs 105°＋sin 195°＝________.
二、新知精讲
两角差的余弦公式
[点睛] (1)由C(α－β)可知，我们只要知道cs α，cs β，sin α，sin β的值，就可以求得cs(α－β)的值．
(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合．
(3)要掌握公式的正用，如cs α＝cs[(α＋β)－β]＝cs(α＋β)cs β＋sin(α＋β)sin β.同样也要掌握公式的逆用，如cs(α＋β)cs(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝cs[(α＋β)－(α－β)]＝cs2β.
三、题型探究
题型一 给角求值问题
[例1] (1)cs 50°cs 20°＋sin 50°sin 20°的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
(2)cs(－15°)的值为( )
A.eq \f(\r(2)－\r(6),4) B.eq \f(\r(6)－\r(2),4)
C.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) D．－eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
(3)化简cs(α＋45°)cs α＋sin(α＋45°)sin α＝________.
[归纳总结]
利用公式C(α－β)求值的方法技巧
在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，再用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．
[活学活用]
1、计算下列各式的值：
(1)cs 56°cs 26°＋sin 56°sin 26°；
(2)cs(α－35°)cs(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)．
题型二 给值求值问题
[例2] (1)已知cs α＝eq \f(4,5)，cs(α＋β)＝eq \f(3,5)，且α，β均为锐角，求cs β的值．
(2)若sin(π＋θ)＝－eq \f(3,5)，θ是第二象限角，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝－eq \f(2\r(5),5)，φ是第三象限角，求cs(θ－φ)的值．
[方法总结]
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[活学活用]
2. 已知eq \f(π,4)＜β＜α＜eq \f(3π,4)，cs(α－β)＝eq \f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，求cs 2α的值．
题型三 给值求角问题
[例3] (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，则α－β＝________.
(2)已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则β＝________.
[一题多变]
1．[变条件]若本例(1)中“sin α”变为“cs α”，“sin β ”变为“cs β ”，则α－β＝________.
2．[变条件]若本例(2)变为：已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，且0