高中人教A版 (2019)正切函数的性质与图象导学案及答案

这是一份高中人教A版 (2019)正切函数的性质与图象导学案及答案，共11页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
【自主学习】
正切函数y＝tanx的图象与性质
解读：1.正切函数在每一个开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)内都是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数．
2.正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(kπ，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，－1))，k∈Z，两线为直线x＝kπ＋eq \f(π,2)和直线x＝kπ－eq \f(π,2)，其中k∈Z，这样可以快速地作出正切函数的图象．
思考1：正切函数y＝tanx的图象与x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z有公共点吗？
思考2：直线y＝a与y＝tanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？
【小试牛刀】
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )
(2)正切函数的图象是连续不断的．( )
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )
(4)正切函数没有对称轴，但有对称中心．( )
(5)函数y＝tanx在其定义域上是增函数．( )
(6)函数y＝tanx为奇函数，故对任意x∈R都有tan (－x)＝－tanx．( )
【经典例题】
题型一 正切函数的定义域和值域
点拨：求正切函数定义域的方法
1.求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．
2.求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x.
例1 求下列函数的定义域：
(1)y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))；(2)y＝eq \f(1,tanx).
【跟踪训练】1 求下列函数的值域：
(1)y＝tan(π－x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))；(2) y=tanx-π6,x∈-π12,π2.
题型二 正切函数的奇偶性、周期性与对称性
点拨：
1.一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝eq \f(π,|ω|)，常常利用此公式来求周期．
2.若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．
3.正切函数是奇函数，所以原点是y＝tanx的对称中心，同样，结合y＝tanx的图象，可以得到eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))k∈Z都是正切函数的对称中心．
例2 (1)函数y＝3tan (2x＋π3)的最小正周期是( )
A．π2 B．π3 C．π D．3
(2)函数f(x)＝tanx1+csx( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【跟踪训练】2 (1)若f(x)＝tan (ωx)(ω＞0)的周期为1，则f(13)的值为( )
A．－3 B．－33 C．33 D．3
(2)已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))且|φ|0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－eq \f(π,2)