高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切第2课时教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切第2课时教案设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.能够借助两角差的余弦公式，选择合适的方法推导两角和的余弦公式，增强问题解决能力；
2.可以通过诱导公式五、六推导出两角和与差的正弦公式Sα+β，Sα−β，使知识融会贯通，培养逻辑推理的核心素养；
3.可以通过运算得出两角和与差的正切公式Tα+β，Tα−β，培养数学运算的核心素养；
4.能够总结出和(差)角公式与诱导公式之间的联系，培养数学抽象的核心素养．

二、教学重难点
重点：能够通过所学知识推导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，总结出和(差)角公式与诱导公式之间的联系.
难点：能够使用两角和与差的正弦、余弦和正切公式解决数学问题，面对问题能够举一反三，使知识融会贯通，提升逻辑推理与数学运算的核心素养，增强问题解决能力.

三、教学过程
（一）创设情境
我们前面学习了诱导公式五、诱导公式六以及两角差的余弦公式Cα−β.
诱导公式五：sinπ2−α=csα，csπ2−α=sinα．
诱导公式六：sinπ2+α=csα，csπ2+α=−sinα．
两角差的余弦公式Cα−β：对于任意角α，β有csα−β=csαcsβ+sinαsinβ．
由公式csα−β出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
师生活动：教师带领学生回顾之前所学内容，通过诱导公式五、诱导公式六以及两角差的余弦公式Cα−β引出本节课的内容.
设计意图：通过诱导公式五、六以及两角差的余弦公式的复习，引出本节课的内容.使学生体会到知识点之间的联系，将知识融会贯通. 提升学生举一反三的能力，培养费学生逻辑推理的核心素养.
（二）探究新知
任务1：推导两角和的余弦公式Cα+β．
思考1：比较csα−β与csα+β，你能通过α+β与α−β之间的联系来推导两角和的余弦公式Cα+β吗？
提示：α+β=α−−β．
csα+β=csα−−β=csαcs−β+sinαsin−β
=csαcsβ−sinαsinβ.
答：两角和的余弦公式：csα+β=csαcsβ−sinαsinβ.简记作Cα+β．
思考2：前面用到的是加法和减法的联系，你还能用换元的观点来推导两角和的余弦公式Cα+β吗？
提示：由于公式Cα−β对于任意α，β都成立，那么把其中的β换成−β后，也一定成立．由此也可推得公式Cα+β．
答：因为csα−β=csαcsβ+sinαsinβ对于任意α，β都成立，
所以把其中的β换成−β后，公式也一定成立．
所以csα−−β=csαcs−β+sinαsin−β，
推导出了csα+β=csαcsβ−sinαsinβ．
师生活动：借助两角差的余弦公式，教师带领学生使用加法和减法的联系推导出两角和的余弦公式，同时引导学生思考使用其他的方法进行推导，逐步完成这部分的教学.
设计意图：利用之前所学的两角差的余弦公式，选择合适的方法进行推导，增强学生的问题解决能力，培养学生逻辑推理的核心素养.
任务2：推导两角和与差的正弦公式Sα+β，Sα−β．
思考：我们现在已经得到两角和与差的余弦公式Cα+β，Cα−β，你能推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sinα+β，sinα−β的公式吗？
提示：比较sinα−β与csα−β，sinα+β与csα+β，它们包含的角相同，但函数种类不同．我们可以使用正弦、余弦函数互化的诱导公式进行推导．
答：由诱导公式五得：sinα−β=csπ2−α−β=csπ2−α+β=csπ2−αcsβ−sinπ2−αsinβ=sinαcsβ−csαsinβ．
由诱导公式六得：sinα+β=−csπ2+α+β=−csπ2+α+β=−csπ2+αcsβ−sinπ2+αsinβ=−−sinαcsβ−csαsinβ=sinαcsβ+csαsinβ．
师生活动：教师通过问答的方式，借助正弦、余弦函数互化的诱导公式，带领学生一起推导出两角和与差的正弦公式Sα+β，Sα−β，逐步完成这部分的教学.
设计意图：通过观察sinα−β与csα−β，sinα+β与csα+β，思考使用合适的方法推导两角和与差的正弦公式，增强学生的问题解决能力，培养学生逻辑推理的核心素养.
任务3：推导两角和与差的正切公式Tα+β，Tα−β．
思考：我们现在已经得到两角和与差的余弦公式及正弦公式，你能推导出用任意角α，β的正切表示tanα+β的公式吗？
提示：根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系tanα=sinαcsα 进行推导即可．
回答：tanα+β=sinα+βcsα+β=sinαcsβ+csαsinβcsαcsβ−sinαsinβ．
接下来将 sinαcsβ+csαsinβcsαcsβ−sinαsinβ 转化为只含tanα与tanβ的形式，得到用任意角α，β的正切表示tanα+β．
说一说：如何将 sinαcsβ+csαsinβcsαcsβ−sinαsinβ 转化为只含tanα与tanβ的形式呢？
合作探究：
1.先独立思考，然后小组内交流思路；
2.小组合作完成探究；
3.选派代表并汇报得出结论.
答：将上式的分子、分母同时除以csαcsβ，可得sinαcsβ+csαsinβcsαcsβ−sinαsinβ=sinαcsβ+csαsinβcsαcsβcsαcsβ−sinαsinβcsαcsβ=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
同理，tanα−β=sinα−βcsα−β=sinαcsβ−csαsinβcsαcsβ+sinαsinβ=sinαcsβ−csαsinβcsαcsβcsαcsβ+sinαsinβcsαcsβ=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
总结：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
Sα+β：sinα+β=sinαcsβ+csαsinβ；
Sα−β：sinα−β=sinαcsβ−csαsinβ．
Cα+β：csα+β=csαcsβ−sinαsinβ；
Cα−β：csα−β=csαcsβ+sinαsinβ．
Tα+β：tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ ；
Tα−β：tanα−β=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
和角公式：Sα+β、Cα+β、Tα+β．
差角公式：Sα−β、Cα−β、Tα−β．
师生活动：教师借助两角和与差的余弦公式及正弦公式，通过同角三角函数的基本关系，带领学生推导出两角和与差的正切公式Tα+β，Tα−β.在这个过程中，要求学生针对难点进行小组讨论，合作完成这部分的学习.
设计意图：能够使用已知的知识点推导未知的内容，选择合适的方法是关键，学生能够在教师的带领下，使用同角三角函数的基本关系进行推导，增强了问题解决能力.在实际运算过程中，思考如何将sinαcsβ+csαsinβcsαcsβ−sinαsinβ 转化为只含tanα与tanβ的形式是难点，学生之间进行小组讨论，增强了合作探究的能力，培养了学生数学运算的核心素养.
任务4：探究和(差)角公式与诱导公式的联系．
探究：和(差)角公式中，α，β都是任意角，如果令α为某些特殊角，就能得到许多有用的公式.你能从和(差)角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？
合作探究：
1.先独立思考，然后小组内交流思路；
2.小组合作完成探究；
3.选派代表并汇报得出结论.
−β代β
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系
−β代β
π2−α+β
Cα+β
Sα+β
Cα−β
Sα−β
π2−α−β
相除
相除
Tα+β
Tα−β
−β代β
回答：
（注意符号，牢记公式.）
师生活动：教师通过问答的方式，引导学生思考和(差)角公式与诱导公式之间的联系.学生进行小组讨论，得出答案.最后教师提出倍角公式，为下节课的学习埋下伏笔.
设计意图：学生之间进行小组合作，思考和(差)角公式与诱导公式之间的联系，使知识点之间融会贯通，培养了逻辑推理的核心素养.
（三）应用举例
例1：已知sinα=−35 ，α是第四象限角，求sinπ4−α，csπ4+α，tanα−π4的值．
解：由sinα=−35，α是第四象限角，得csα=1−sin2α=1−−352=45，
所以tanα=sinαcsα=−3545=−34．
于是sinπ4−α=sinπ4csα−csπ4sinα=22×45−22×−35=7210；
csπ4+α=csπ4csα−sinπ4sinα=22×45−22×−35=7210；
tanα−π4=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=tanα−11+tanα=−34−11+−34=−7．
总结：1.在解题过程中，需要注意α的限制条件．以例1为例，若不加α是第四象限角这个条件，结果将有所不同．由sinα=−35，知α是第三或第四象限角．若是第四象限角，解答同例1．若是第三象限角，则csα=−45．tanα=sinαcsα=34，然后再代入公式进行求解．sinπ4−α=−210，csπ4+α=−210，tanα−π4=−17．
2.对于任意角α，都有sinπ4−α=csπ4+α．
可以由Sα−β得sinπ4−α=22csα−sinα，
由Cα+β得csπ4+α=22csα−sinα；
所以，sinπ4−α=csπ4+α．
探究：你还有其他的方法证明sinπ4−α=csπ4+α吗？
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
提示：当两个角的和或差是π2的整数倍时，可以考虑使用诱导公式．
因为π4−α+π4+α=π2，所以π4−α=π2−π4+α，
由诱导公式五可知sinπ4−α=sinπ2−π4+α=csπ4+α，
证得sinπ4−α=csπ4+α．
例2：利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1)sin72°cs42°−cs72°sin42°；
(2)cs20°cs70°−sin20°sin70°；
(3)1+tan15°1−tan15°．
解：(1)由公式Sα−β，得sin72°cs42°−cs72°sin42°．
(2)由公式Cα+β，得cs20°cs70°−sin20°sin70°．
(3)由公式Tα+β及tan45°=1，得1+tan15°1−tan15°=tan45°+tan15°1−tan45°tan15°=tan45°+15°=tan60°=3．
总结：公式的逆用或变形应用：1+tanα1−tanα=tanπ4+α，1−tanα1+tanα=tanπ4−α，
1−tanαtanβ=tanα+tanβtanα+β，
tanα+tanβ=tanα+β1−tanαtanβ，
tanα−tanβ=tanα−β1+tanαtanβ．
α，β，α+β，α−β≠π2+kπ，α≠kπ+π4，α≠3π4+kπ，k∈Z
例3：求下列各式的值
(1)sin7°+cs15°sin8°cs7°+sin15°sin8°；
(2)tan20°∙tan30°+tan30°∙tan40°+tan40°∙tan20°．
解：(1)原式=sin15°−8°+cs15°sin8°cs15°−8°−sin15°sin8°=sin15°cs8°cs15°cs8°=tan15°=tan45°−30°=tan45°−tan30°1+tan45°tan30°=1−331+33=2−3．
(2)原式=33tan20°+tan40°+tan40°∙tan20°=33∙tan60°1−tan20°∙tan40°+tan40°∙tan20° =1−tan20°∙tan40°+tan20°∙tan40°=1．
总结：给角求值类问题的解法规律：恰当地应用诱导公式，合理地进行角的变换，应用和(差)角公式，使其转化为特殊角的三角函数值的问题求解．
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.已知θ为锐角，且csθ+π6=35 ，则sinθ=( )
A. 3+110B. 2−35C. 23+110D. 43−310
解：因为θ∈0，π2，所以θ+π6∈π6，2π3，所以sinθ+π6=1−cs2θ+π6=45，所以sinθ=sinθ+π6−π6=32sinθ+π6−12csθ+π6=43−310．故选：D．
2.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”(又称黄金分割法)在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．经研究，黄金分割比t=5−12≈0.618还可以表示成2sin18°，则t+3sin12°cs12°=( )．
A. 4B.2C. 1D. 12
解：由于t=2sin18°，则t+3sin12°cs12°=2sin18°+3sin12°cs12°=2sin30°−12°+3sin12°cs12°=212cs12°−32sin12°+3sin12°cs12°=1．故选：C．
3.sin35°cs25°+sin55°cs65°= ．
解：sin35°cs25°+sin55°cs65°=sin35°cs25°+sin90°−35°cs90°−25°
=sin35°cs25°+cs35°sin25°=sin35°+25°=sin60°=32．故答案为：32．
4.1+tan2°1+tan43°= ．
解：1+tan2°1+tan43°=1+tan2°+tan43°+tan2°tan43°，∵tan45°=tan2°+43°=tan2°+tan43°1−tan2°tan43°，而tan45°=1，∴tan2°+tan43°1−tan2°tan43°=1，而 tan2°+tan43°=1−tan2°tan43°，∴tan2°+tan43°+tan2°tan43°=1，∴1+tan2°+1+tan43°=1+tan2°+tan43°+tan2°tan43°=1+1=2．故答案为2．
5.cs75°sin135°+sin45°cs15°= ．
解：cs2072°∙cs212°+sin2072°∙sin212°=cs2072°−212°=cs1860°=cs60°=12．故答案为12.
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.