数学必修 第一册两角和与差的正弦、余弦和正切学案及答案

这是一份数学必修 第一册两角和与差的正弦、余弦和正切学案及答案，共12页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。
1.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．
2.能够灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、求值、证明.
【学习重难点】
重点：二倍角公式的推导、.二倍角公式及变形公式的应用．
难点：二倍角变形公式的应用.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P220～223，思考并完成以下问题
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？
(2)S2α，C2α，T2α中角α的取值范围分别是什么？
预习任务二：简单题型通关
1.eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)的值等于( )
A．－eq \f(\r(2),4) B. eq \f(\r(2),4)
C. eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),2)
2．1－2sin2750°＝________.
3.eq \f(2tan 150°,1－tan2150°)＝________.
二、新知精讲
二倍角公式
[点睛] (1)二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是eq \f(α,2)的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．
(2)对于S2α和C2α，α∈R，但是在使用T2α时，要保证分母1－tan2α≠0且tan α有意义，即α≠kπ＋eq \f(π,4)且α≠kπ－eq \f(π,4)且α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．当α＝kπ＋eq \f(π,4)及α＝kπ－eq \f(π,4)(k∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求tan 2α.
(3)倍角公式的逆用更能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如sin 3αcs 3α＝eq \f(1,2)sin 6α.
三、题型探究
题型一 给角求值问题
[例1] 求下列各式的值：
(1)sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)； (2)1－2sin2750°；
(3)eq \f(2tan 150°,1－tan2150°)； (4)cs 20°cs 40°cs 80°.
[归纳总结]
此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单．而(4)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．
[活学活用]
1、求下列各式的值．
(1)sineq \f(π,8)sineq \f(3π,8)； (2)cs215°－cs275°；
(3)2cs2eq \f(5π,12)－1； (4)eq \f(tan 30°,1－tan230°).
题型三 化简问题
[例2] 化简：(1)eq \f(1,1－tan θ)－eq \f(1,1＋tan θ)；
(2)eq \f(2cs2α－1,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))).
[归纳总结]
(1)化简三角函数式的常用方法：
①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次．
(2)化简三角函数式的常用技巧：
①特殊角的三角函数与特殊值的互化；
②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；
③对于二次根式，注意倍角公式的逆用；
④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；
⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cs2α＝1等．
[活学活用]
2. 化简：(1)eq \r(1＋sin 20°)＋eq \r(1－sin 20°)；
(2)eq \f(1＋sin 4α＋cs 4α,1＋sin 4α－cs 4α).
题型三 给值求值问题
[例3] 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α