数学人教A版 (2019)两角和与差的正弦、余弦和正切第2课时课后复习题

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第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：二倍角的正弦、余弦正切公式
①
②；；
③
知识点二：降幂公式
①
②
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：.
故选：D
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
故选：D.
3．已知，则_________.
【答案】
【详解】.
故答案为：.
4．已知，则______.
【答案】
【详解】因为，所以，
则.
故答案为：
5．函数的周期为___________；
【答案】
【详解】,
所以的周期为：
故答案为：.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：利用二倍角公式解决给角求值问题
典型例题
例题1．求值：_______．
【答案】
【详解】由题意得.
故答案为：
例题2．（多选）下列化简结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD.
例题3．的值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：；
故选：A
例题4．求的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】.
故选：D.
同类题型演练
1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由余弦的倍角公式，可得.
故选：D.
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】.
故选：A
3．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】.
故选：B
4．化简的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】原式
.
故选：D.
重点题型二：利用二倍角公式求角
典型例题
例题1．已知，为锐角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，所以.
(2)解：因为，为锐角，且，可得，
所以，
,
又由且，可得，

，
因为，为锐角，可得，所以．
同类题型演练
1．已知，为锐角，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)；(2)；(3).
(1);
(2)因为为锐角，且，所以，，
所以.
(3)由知，，
因为，为锐角，，所以，
，
又，为锐角，∴，故.
重点题型三：利用二倍角公式解决条件求值问题
典型例题
例题1．已知，且是第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，则．
故选：B
例题2．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】,解得
故选：C
例题3．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】两边平方得：
，
解得：
故选：B
例题4.已知，则___________.
【答案】
【详解】.
故答案为：.
例题5．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
（1）因为，，且，
得，，，，，
从而．
（2）．
同类题型演练
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：因为，所以.
故选：C.
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】平方得：，
即，解得：
故选：A
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，显然，故，
故选：A
4．已知，则__________.
【答案】
【详解】根据诱导公式，，即
所以，
故答案为：.
5．知，则______．
【答案】
【详解】因，所以
故答案为：
6．已知
(1)求 ；
(2)求 的值.
【答案】(1)；(2).
（1）由，所以；
（2）
重点题型四：二倍角公式在三角形中的应用
典型例题
例题1．在中，，A．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）由，，则，
所以．
（2）由，则为锐角，
又，所以，
所以
．
例题2．底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶角为36°的黄金三角形被认为是最美的三角形．据此可得的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，为一个黄金三角形，
其中，为的中点，
根据题意可知，
则，
即，
又，
则，
解得，
所以.
故选：B.
同类题型演练
1．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派利用顶角为的等腰三角形研究黄金分割，如图，在中，的角平分线交于，依此图形可求得（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，故，
设，，由，.
故选：D.
重点题型五：二倍角公式与数学文化的结合
典型例题
例题1．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作砖石”，黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，，根据这些信息可得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】取BC的中点D，连接AD，则由三线合一知：，
且，，
由余弦的二倍角公式得：.
故选：A
例题2．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意大正方形边长为5，小正方形边长为1，所以，又，且为锐角，可解得，，
所以．
故选：A．
同类题型演练
1．古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin表示．若实数n满足，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【详解】由题意知，，则，
又，则.
故选：D.
2．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】C
【详解】把代入.
故选：C.
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．已知是角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】是角的终边上一点，由三角函数定义可得
，，
所以.
故选：C.
2．已知，，则__________．
【答案】2
【详解】因为，即，由正余弦的二倍角公式可得，
又，所以，
故，
故答案为：2．
3．已知，则_________.
【答案】##
【详解】解：因为，所以，
所以，即，即，
所以；
故答案为：
4．已知，则__________，__________．
【答案】 ##
【详解】由可得，则，则；
.
故答案为：；.
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时：二倍角的正弦、余弦、正切公式）（精练）
A夯实基础
一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】.
故选：A.
2．若，则（ ）
A．B．C．4D．－4
【答案】A
【详解】.
故选：A.
3．函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，最小正周期为.
故选：A
4．已知角的终边上有一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意，
.
故选：B
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令可得，故，则
故选：C
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：因为，
所以.
故选：A.
7．一个三角形的腰与底边（或底边与腰）的比值等于黄金比，则称此三角形为黄金三角形．黄金三角形有锐角三角形和钝角三角形，其中锐角三角形的顶角，底角，而钝角三角形顶角，底角．如图，在一个锐角黄金中，．根据这些信息，可得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】取的中点，连接，如下图所示：
则，
所以，，
所以，.
故选：A.
8．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】角终边经过点，且，所以角的终边在第三象限，则
，解得
所以，
故选：C
二、多选题
9．若，且，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】因为，所以，解得．
又，所以，从而，于是．
故选：AD.
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象不关于原点对称
B．函数在上的值域为
C．函数在上单调递减
D．函数在上有3个零点
【答案】AD
【详解】的定义域为R．因为，所以，则函数的图象不关于原点对称，故A正确．
，故当，即时，令，，
则问题转化为函数在上的值域，且图象的对称轴方程为，
故函数在上单调递增，最大值为1，最小值为－2，故B错误．
当，在上单调递增，即，时，
函数在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数单调性，故C错误．
令，即，解得或，
当时，或或，故函数在上有3个零点，故D正确．
故选：AD．
三、填空题
11．若，则_______________.
【答案】
【详解】设，则，
故，且.
则.
故答案为：
12．若，则_______________．
【答案】
【详解】

，
由于，所以，
当时，，
原式，
当时，，
原式，
综上，原式．
故答案为：.
四、解答题
13．已知，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)7
(2)
(1)，，则，所以，
∴.
(2)由 ，
.
14．已知,.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
(1)因为,所以,
所以,
所以
.
(2)
.
B能力提升
15．如图所示，在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边作钝角和锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，过分别作轴于点轴于点，线段的长分别为.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
（1）解：因为，所以，
所以；
（2）解：由题可知，
所以，
所以，
由（1）可得，
所以.
16．已知 ，求
(1) 的值;
(2) 的值.
【答案】(1)2;
(2).
(1)，
，解得：.
(2)
.
C综合素养
17．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则的值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【详解】因为，
所以由，
因此，
故选：C
18．明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米（称一指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换、调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意所对直角边长为，相邻直角边长为，则斜边长为，
，，
∴．
故选：C．