人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第2课时导学案，共13页。学案主要包含了给值求值，给值求角，两角和与差的正弦等内容，欢迎下载使用。


知识点一 两角和与差的余弦公式
思考 利用cs(α－β)推导cs(α＋β)的过程中，利用了什么方法？
答案 推导过程中，利用了角的代换的方法．α＋β＝α－(－β)．
知识点二 两角和与差的正弦公式
1．cs 57°cs 3°－sin 57°sin 3°＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 原式＝cs(57°＋3°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).
2．sin eq \f(7π,12)＝________.
答案 eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
解析 sin eq \f(7π,12)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,4)))
＝sin eq \f(π,3)cs eq \f(π,4)＋cs eq \f(π,3)sin eq \f(π,4)
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
3．若cs α＝－eq \f(3,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝________.
答案 －eq \f(\r(2),10)
解析 ∵cs α＝－eq \f(3,5)，α是第三象限的角，
∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(4,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)sin α－eq \f(\r(2),2)cs α
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))－eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(\r(2),10).
4.eq \f(\r(3),2)sin 15°＋eq \f(1,2)cs 15°＝________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 原式＝sin 15°·cs 30°＋cs 15°·sin 30°＝sin(15°＋30°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).
一、给值(式)求值
例1 (1)eq \f(2sin 40°＋sin 20°,cs 20°)的值是( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(6),2) C．1 D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 原式＝eq \f(2sin60°－20°＋sin 20°,cs 20°)
＝eq \f(2sin 60°cs 20°－2cs 60°sin 20°＋sin 20°,cs 20°)
＝eq \f(2×\f(\r(3),2)cs 20°－2×\f(1,2)sin 20°＋sin 20°,cs 20°)
＝eq \f(\r(3)cs 20°－sin 20°＋sin 20°,cs 20°)＝eq \r(3).
(2)已知eq \f(π,2)<β<α解 ∵eq \f(π,2)<β<α∴－eq \f(3,4)π<－β<－eq \f(π,2).
∴0<α－β∴sin(α－β)＝eq \r(1－cs2α－β)
＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))2)＝eq \f(5,13)，
cs(α＋β)＝－eq \r(1－sin2α＋β)
＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5).
∴cs 2α＝cs[(α－β)＋(α＋β)]
＝cs(α－β)cs(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)
＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))－eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(33,65)，
即cs 2α＝－eq \f(33,65).
(学生留)反思感悟 给值(式)求值的策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
跟踪训练1 (1)化简：eq \f(sin 47°－sin 17°cs 30°,cs 17°)＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 eq \f(sin 47°－sin 17°cs 30°,cs 17°)
＝eq \f(sin17°＋30°－sin 17°cs 30°,cs 17°)
＝eq \f(sin 17°cs 30°＋cs 17°sin 30°－sin 17°cs 30°,cs 17°)
＝eq \f(cs 17°sin 30°,cs 17°)
＝sin 30°＝eq \f(1,2).
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)(α为锐角)，则sin α等于( )
A.eq \f(3\r(3)＋4,10) B.eq \f(3＋4\r(3),10)
C.eq \f(3－4\r(3),10) D.eq \f(3\r(3)－4,10)
答案 D
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)>0，
所以α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))).
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))))
＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(3,5).
所以sin α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(4,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3)－4,10).
二、给值求角
例2 已知cs α＝eq \f(1,7)，sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)，0<α解 因为0<α所以sin α＝eq \f(4\r(3),7).
又因为0<β所以0<α＋β<π.
因为sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)所以cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cs α－cs(α＋β)sin α
＝eq \f(5\r(3),14)×eq \f(1,7)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(\r(3),2).
又因为0<β反思感悟 解决给值(式)求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，选取求正弦值．
跟踪训练2 已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．
解 因为α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，
所以cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10).
所以sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝－eq \f(\r(2),2).
又因为α，β均为锐角，
所以－eq \f(π,2)<α－β三、两角和与差的正弦、余弦公式的应用
例3 (1)(多选)f(x)＝sin 2x－cs 2x，则f(x)在下列区间上递增的是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,8)，－\f(π,8))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(5π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)，\f(π,8)))
答案 BC
解析 f(x)＝sin 2x－cs 2x＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin 2x－\f(\r(2),2)cs 2x))
＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
整理得－eq \f(π,8)＋kπ≤x≤eq \f(3π,8)＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)＋kπ，\f(3π,8)＋kπ))，k∈Z.
经检验B，C正确．
(2)若方程sin x－eq \r(3)cs x＝m－1有解，则m的取值范围是________．
答案 [－1,3]
解析 sin x－eq \r(3)cs x＝m－1，
即2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x－\f(\r(3),2)cs x))＝m－1，
即2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝m－1，
∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))∈[－1,1]．
∴－2≤m－1≤2，
即－1≤m≤3.
反思感悟 对形如sin α±cs α，eq \r(3)sin α±cs α的三角函数式均可利用特殊角的关系，运用和、差角正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式．即y＝Asin(ωx＋φ)的形式．
跟踪训练3 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))的值为( )
A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \f(1,3) D.eq \f(1,3)
答案 B
解析 cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))
＝cs x＋eq \f(1,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x
＝eq \f(3,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x
＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),3).
(2)函数y＝cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的最小值是________，最大值是________．
答案 －eq \r(3) eq \r(3)
解析 y＝cs x＋cs xcs eq \f(π,3)－sin xsin eq \f(π,3)
＝eq \f(3,2)cs x－eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x－\f(1,2)sin x))
＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，
当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝－1时，ymin＝－eq \r(3).
当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝1时，ymax＝eq \r(3).
1．sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°
＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin 30°＝eq \f(1,2).
2．若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A．－eq \f(7\r(2),10) B.eq \f(7\r(2),10) C．－eq \f(\r(2),10) D.eq \f(\r(2),10)
答案 A
3．化简sin(54°－x)cs(36°＋x)＋cs(54°－x)sin(36°＋x)＝________.
答案 1
解析 原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
4．sin 15°－eq \r(3)cs 15°＝________.
答案 －eq \r(2)
解析 sin 15°－eq \r(3)cs 15°＝2sin(15°－60°)＝－2sin 45°＝－eq \r(2).
5．已知锐角α，β满足sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，则α＋β＝________.
答案 eq \f(3π,4)
解析 ∵α，β为锐角，sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，
∴cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10).
∴cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝－eq \f(\r(2),2).
又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝eq \f(3π,4).
1．知识清单：
(1)公式的推导．
(2)给式求值、给值求值、给值求角．
(3)公式的正用、逆用、变形用．
2．方法归纳：构造法．
3．常见误区：求值或求角时忽视角的范围．
1．sin 40°cs 10°－sin 130°sin 10°等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 sin 40°cs 10°－sin 130°sin 10°
＝cs 50°cs 10°－sin 50°sin 10°
＝cs(50°＋10°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)，故选D.
2．(多选)cs α－eq \r(3)sin α化简的结果可以是( )
A.eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)) B．2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))
C.eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)) D．2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
答案 BD
解析 cs α－eq \r(3)sin α＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs α－\f(\r(3),2)sin α))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs αcs\f(π,3)－sin αsin\f(π,3)))
＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)).
3．在△ABC中，A＝eq \f(π,4)，cs B＝eq \f(\r(10),10)，则sin C等于( )
A.eq \f(2\r(5),5) B．－eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(\r(5),5) D．－eq \f(\r(5),5)
答案 A
解析 因为cs B＝eq \f(\r(10),10)且0所以sin B＝eq \f(3\r(10),10).又A＝eq \f(π,4)，
所以sin C＝sin(A＋B)＝sin eq \f(π,4)cs B＋cs eq \f(π,4)sin B
＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(2\r(5),5).
4．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，则f(x)的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案 A
解析 f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＋eq \f(1,2)sin x－eq \f(\r(3),2)cs x＝sin x.
∴f(x)为奇函数．
5．若α是锐角，且满足sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，则cs α的值为( )
A.eq \f(2\r(6)＋1,6) B.eq \f(2\r(6)－1,6) C.eq \f(2\r(3)＋1,4) D.eq \f(2\r(3)－1,4)
答案 B
解析 因为α是锐角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,3)>0，
所以α－eq \f(π,6)也为锐角，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))))＝eq \r(1－\f(1,9))＝eq \f(2\r(2),3)，cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))cs eq \f(π,6)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＝eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(6)－1,6).
6．已知sin α＝－eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，cs β＝－eq \f(4,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则cs(α＋β)＝________，sin(α＋β)＝________.
答案 eq \f(8\r(2)＋3,15) eq \f(4－6\r(2),15)
解析 由题意得cs α＝－eq \f(2\r(2),3)，sin β＝eq \f(3,5)，
所以cs(α＋β)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×eq \f(3,5)＝eq \f(8\r(2)＋3,15)，
sin(α＋β)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)))×eq \f(3,5)＝eq \f(4－6\r(2),15).
7．形如eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))的式子叫做行列式，其运算法则为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc，则行列式eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin 15° \r(2),cs 15° \r(2))) 的值是________．
答案 －1
解析 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin 15° \r(2),cs 15° \r(2)))＝eq \r(2)sin 15°－eq \r(2)cs 15°
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin 15°－\f(\r(2),2)cs 15°))
＝2sin(15°－45°)
＝2sin(－30°)
＝－1.
8．已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
答案 －eq \f(1,2)
解析 ∵sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，
∴sin2α＋cs2β＋2sin αcs β＝1，①
cs2α＋sin2β＋2cs αsin β＝0，②
①②两式相加可得sin2α＋cs2α＋sin2β＋cs2β＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＝1，
∴sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
9．已知sin(α－β)cs α－cs(β－α)sin α＝eq \f(4,5)，β是第三象限角，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))的值．
解 ∵sin(α－β)cs α－cs(β－α)sin α
＝sin(α－β)cs α－cs(α－β)sin α
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝eq \f(4,5)，
∴sin β＝－eq \f(4,5)，又β是第三象限角，
∴cs β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝sin βcs eq \f(π,4)＋cs βsin eq \f(π,4)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
10．已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).求：
(1)cs(2α－β)的值；
(2)β的值．
解 (1)因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
又因为sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)>0，所以0<α－β所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，
cs(α－β)＝eq \r(1－sin2α－β)＝eq \f(3\r(10),10).
所以cs(2α－β)＝cs[α＋(α－β)]＝cs αcs(α－β)－sin αsin(α－β)＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),10).
(2)cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，
因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以β＝eq \f(π,4).
11．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccs B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
答案 C
解析 ∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)，
由已知可得sin(B＋C)＝2sin Ccs B
⇒sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Ccs B
⇒sin Bcs C－cs Bsin C＝0⇒sin(B－C)＝0.
∵0∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．
12．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且tan α＝eq \f(1＋sin β,cs β)，则( )
A．3α－β＝eq \f(π,2) B．3α＋β＝eq \f(π,2)
C．2α－β＝eq \f(π,2) D．2α＋β＝eq \f(π,2)
答案 C
解析 eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1＋sin β,cs β)，
∴sin αcs β＝cs α＋cs αsin β，
∴sin(α－β)＝cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))，
又α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，eq \f(π,2)－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
∴α－β＝eq \f(π,2)－α，即2α－β＝eq \f(π,2).
13．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \f(1,2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))＝eq \f(\r(3),2)，其中eq \f(π,4)<α答案 eq \f(5π,6)
解析 ∵eq \f(π,4)<α∴－eq \f(π,4)∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝eq \f(\r(3),2)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β)))＝－eq \f(1,2)，
∴cs(α＋β)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(\r(3),2)，
又eq \f(π,2)<α＋β<π，∴α＋β＝eq \f(5π,6).
14．计算：(tan 10°－eq \r(3))·eq \f(cs 10°,sin 50°)＝________.
答案 －2
解析 原式＝(tan 10°－tan 60°)·eq \f(cs 10°,sin 50°)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin 10°,cs 10°)－\f(sin 60°,cs 60°)))·eq \f(cs 10°,sin 50°)
＝eq \f(sin 10°cs 60°－sin 60°cs 10°,cs 10°cs 60°)·eq \f(cs 10°,sin 50°)
＝－eq \f(sin60°－10°,cs 10°cs 60°)·eq \f(cs 10°,sin 50°)
＝－eq \f(1,cs 60°)
＝－2.
15．在△ABC中，3sin A＋4cs B＝6,3cs A＋4sin B＝1，则C的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(5,6)π
C.eq \f(π,6)或eq \f(5,6)π D.eq \f(π,3)或eq \f(2,3)π
答案 A
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin A＋4cs B＝6， ①,3cs A＋4sin B＝1， ②))
①2＋②2得9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
则sin(A＋B)＝eq \f(1,2).
∴在△ABC中，sin C＝eq \f(1,2)，
∴C＝eq \f(π,6)或C＝eq \f(5π,6).
若C＝eq \f(5π,6)，则A＋B＝eq \f(π,6)，∴1－3cs A＝4sin B>0.
∴cs Aeq \f(π,3).
此时A＋C>π，不符合题意，∴C≠eq \f(5π,6)，∴C＝eq \f(π,6).
16．已知函数f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，x∈R，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝eq \f(3\r(2),2).
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝eq \r(3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ)).
解 (1)∵f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝eq \f(3\r(2),2)，
∴Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)＋\f(π,3)))＝eq \f(3\r(2),2)，即Asin eq \f(3π,4)＝eq \f(3\r(2),2)，∴A＝3.
(2)由(1)知f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，
∵f(θ)－f(－θ)＝eq \r(3)，
∴3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－θ＋\f(π,3)))＝eq \r(3)，
展开得3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin θ＋\f(\r(3),2)cs θ))－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs θ－\f(1,2)sin θ))＝eq \r(3)，化简得sin θ＝eq \f(\r(3),3).
∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs θ＝eq \f(\r(6),3).
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＋\f(π,3)))
＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝3cs θ＝eq \r(6).名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
α，β∈R
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦公式
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β
α，β∈R
两角差的正弦公式
S(α－β)
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β
α，β∈R