数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.5 三角恒等变换精品第2课时2课时学案设计

这是一份数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.5 三角恒等变换精品第2课时2课时学案设计，共14页。学案主要包含了给角求值，给值求值，给值求角等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦，了解它们的内在联系.2.掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换．





知识点一 两角和与差的余弦公式





思考 利用cs(α－β)推导cs(α＋β)的过程中，利用了什么方法？


答案 推导过程中，利用了角的代换的方法．α－β＝α＋(－β)．


知识点二 两角和与差的正弦公式





预习小测 自我检验


1．cs 57°cs 3°－sin 57°sin 3°＝ .


答案 eq \f(1,2)


解析 原式＝cs(57°＋3°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).


2．sin 45°cs 15°＋cs 225°sin 15°＝ .


答案 eq \f(1,2)


3．若cs α＝－eq \f(3,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝ .


答案 －eq \f(\r(2),10)


解析 ∵cs α＝－eq \f(3,5)，α是第三象限的角，


∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(4,5)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)sin α－eq \f(\r(2),2)cs α


＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))－eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(\r(2),10).


4．已知α是锐角，sin α＝eq \f(3,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝ .


答案 eq \f(\r(2),10)


解析 因为α是锐角，sin α＝eq \f(3,5)，


所以cs α＝eq \f(4,5)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝cs eq \f(π,4)cs α－sin eq \f(π,4)sin α＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(4,5)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(3,5)＝eq \f(\r(2),10).





一、给角求值


例1 计算：


(1)cs 105°；(2)eq \f(sin 47°－sin 17°cs 30°,cs 17°).


解 (1)cs 105°＝cs(60°＋45°)


＝cs 60°cs 45°－sin 60°sin 45°


＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)


＝eq \f(\r(2)－\r(6),4).


(2)eq \f(sin 47°－sin 17°cs 30°,cs 17°)


＝eq \f(sin17°＋30°－sin 17°cs 30°,cs 17°)


＝eq \f(sin 17°cs 30°＋cs 17°sin 30°－sin 17°cs 30°,cs 17°)


＝eq \f(cs 17°sin 30°,cs 17°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).


反思感悟 解决给角求值问题的方法


(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．


(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．


跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°；


(2)sin(54°－x)cs(36°＋x)＋cs(54°－x)sin(36°＋x)．


解 (1)原式＝sin 14°cs 16°＋sin(90°－14°)cs(90°－16°)


＝sin 14°cs 16°＋cs 14°sin 16°


＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).


(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.


二、给值求值


例2 已知eq \f(π,2)<β<α

解 ∵eq \f(π,2)<β<α

∴－eq \f(3,4)π<－β<－eq \f(π,2).


∴0<α－β

∴sin(α－β)＝eq \r(1－cs2α－β)


＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))2)＝eq \f(5,13)，


cs(α＋β)＝－eq \r(1－sin2α＋β)


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5).


∴cs 2α＝cs[(α－β)＋(α＋β)]


＝cs(α－β)cs(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)


＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))－eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(33,65)，


即cs 2α＝－eq \f(33,65).


延伸探究


1．若本例的条件不变，求sin 2α的值．


解 由本例解析知


sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]


＝sin(α－β)cs(α＋β)＋cs(α－β)sin(α＋β)


＝eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(56,65).


2．若本例条件变为：eq \f(π,2)<β<α

解 因为eq \f(π,2)<β<α

所以0<α－β

所以cs(α－β)＝eq \f(12,13)，


cs(α＋β)＝－eq \f(12,13)，


所以sin 2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]


＝sin(α＋β)cs(α－β)－cs(α＋β)sin(α－β)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(12,13)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))×eq \f(5,13)＝0.


反思感悟 给值(式)求值的策略


(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．


(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．


跟踪训练2 已知sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，求eq \f(tan α,tan β)的值．


解 ∵sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，∴sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(1,2).①


∵sin(α－β)＝eq \f(1,3)，∴sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(1,3).②


由①，②解得sin αcs β＝eq \f(5,12)，cs αsin β＝eq \f(1,12)，


∴eq \f(tan α,tan β)＝eq \f(sin αcs β,cs αsin β)＝eq \f(\f(5,12),\f(1,12))＝5.


三、给值求角


例3 已知cs α＝eq \f(1,7)，sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)，0<α

解 因为0<α

所以sin α＝eq \f(4\r(3),7).


又因为0<β

所以0<α＋β<π.


因为sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)

所以cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，


所以sin β＝sin[(α＋β)－α]


＝sin(α＋β)cs α－cs(α＋β)sin α


＝eq \f(5\r(3),14)×eq \f(1,7)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(\r(3),2).


又因为0<β

延伸探究


若把本例中的“0<β

解 因为0<α

所以sin α＝eq \f(4\r(3),7).


又因为eq \f(π,2)<β<π，


所以eq \f(π,2)<α＋β

因为sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)，


所以cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，


所以sin β＝sin[(α＋β)－α]


＝sin(α＋β)cs α－cs(α＋β)sin α


＝eq \f(5\r(3),14)×eq \f(1,7)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(\r(3),2).


又因为eq \f(π,2)<β<π，所以β＝eq \f(2π,3).


反思感悟 解决给值(式)求角问题的方法


解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，选取求正弦值．


跟踪训练3 已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．


解 因为α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，


所以cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10).


所以sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β


＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝－eq \f(\r(2),2).


又因为α，β均为锐角，


所以－eq \f(π,2)<α－β




1．sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°等于( )


A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)


答案 D


解析 sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin 30°＝eq \f(1,2).


2．若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )


A．－eq \f(7\r(2),10) B.eq \f(7\r(2),10) C．－eq \f(\r(2),10) D.eq \f(\r(2),10)


答案 A


3．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)(α为锐角)，则sin α等于( )


A.eq \f(3\r(3)＋4,10) B.eq \f(3＋4\r(3),10) C.eq \f(3－4\r(3),10) D.eq \f(3\r(3)－4,10)


考点 两角和与差的正弦公式


题点 利用和与差的正弦公式求值


答案 D


解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3))).


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(3,5).


所以sin α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＝eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(4,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3)－4,10).


4．已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .


答案 －eq \f(1,2)


解析 ∵sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，


∴sin2α＋cs2β＋2sin αcs β＝1，①


cs2α＋sin2β＋2cs αsin β＝0，②


①②两式相加可得sin2α＋cs2α＋sin2β＋cs2β＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＝1，


∴sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).


5．已知锐角α，β满足sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，则α＋β＝ .


答案 eq \f(3π,4)


解析 ∵α，β为锐角，sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，


∴cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10).


∴cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β


＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝－eq \f(\r(2),2).


又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝eq \f(3π,4).





1．知识清单：


(1)公式的推导；


(2)给角求值、给值求值、给值求角；


(3)公式的正用、逆用、变形用．


2．方法归纳：公式的构造，角的构造．


3．常见误区：求值或求角时忽视角的范围．








1．化简cs(x＋y)sin y－sin(x＋y)cs y等于( )


A．sin(x＋2y) B．－sin(x＋2y)


C．sin x D．－sin x


答案 D


解析 cs(x＋y)sin y－sin(x＋y)cs y


＝sin[y－(x＋y)]＝－sin x.


2．sin 40°cs 10°－sin 130°sin 10°等于( )


A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)


答案 D


解析 sin 40°cs 10°－sin 130°sin 10°


＝cs 50°cs 10°－sin 50°sin 10°


＝cs(50°＋10°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)，故选D.


3．化简sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))等于( )


A．－sin x B．sin x C．－cs x D．cs x


答案 B


解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))


＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＋eq \f(1,2)sin x－eq \f(\r(3),2)cs x＝sin x.


4．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sin Bcs C，则△ABC是( )


A．锐角三角形 B．直角三角形


C．钝角三角形 D．等腰三角形


答案 D


解析 因为sin(B＋C)＝2sin Bcs C，


所以sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Bcs C，


即sin Bcs C－cs Bsin C＝0，所以sin(B－C)＝0，


所以B＝C.所以△ABC是等腰三角形．


5．已知cs α＝eq \f(3,5)，cs(α－β)＝eq \f(7\r(2),10)，且0<β<α

A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3)


答案 C


解析 ∵0<β<α

∴0<α－β

由cs α＝eq \f(3,5)得sin α＝eq \f(4,5)，


由cs(α－β)＝eq \f(7\r(2),10)得sin(α－β)＝eq \f(\r(2),10)，


∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)＝eq \f(4,5)×eq \f(7\r(2),10)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),10)＝eq \f(25\r(2),50)＝eq \f(\r(2),2)，


∴β＝eq \f(π,4).


6．sin 105°的值为 ．


答案 eq \f(\r(2)＋\r(6),4)


解析 sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cs 60°＋cs 45°sin 60°


＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).


7．已知sin α－cs β＝eq \f(1,2)，cs α－sin β＝eq \f(1,3)，则sin(α＋β)＝ .


答案 eq \f(59,72)


解析 由sin α－cs β＝eq \f(1,2)两边平方得


sin2α－2sin αcs β＋cs2β＝eq \f(1,4)，①


由cs α－sin β＝eq \f(1,3)两边平方得


cs2α－2cs αsin β＋sin2β＝eq \f(1,9)，②


①＋②得(sin2α＋cs2α)－2(sin αcs β＋cs αsin β)＋(cs2β＋sin2β)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,9)，


∴1－2sin(α＋β)＋1＝eq \f(13,36).


∴sin(α＋β)＝eq \f(59,72).


8．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(12,13)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)<α<\f(π,2)))，则cs α＝ .


答案 eq \f(12\r(3)－5,26)


解析 由于0<α－eq \f(π,6)

所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(5,13).


所以cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))cs eq \f(π,6)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))sin eq \f(π,6)


＝eq \f(12,13)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(5,13)×eq \f(1,2)＝eq \f(12\r(3)－5,26).


9．已知sin(α－β)cs α－cs(β－α)sin α＝eq \f(4,5)，β是第三象限角，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))的值．


解 ∵sin(α－β)cs α－cs(β－α)sin α＝sin(α－β)cs α－cs(α－β)sin α


＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝eq \f(4,5)，


∴sin β＝－eq \f(4,5)，


又β是第三象限角，


∴cs β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(3,5)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝sin βcs eq \f(π,4)＋cs βsin eq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).


10．已知函数f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，x∈R，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝eq \f(3\r(2),2).


(1)求A的值；


(2)若f(θ)－f(－θ)＝eq \r(3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ)).


考点 两角和与差的正弦公式


题点 两角和与差的正弦公式的综合应用


解 (1)由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)＋\f(π,3)))


＝Asin eq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2)A＝eq \f(3\r(2),2)，可得A＝3.


(2)由(1)知，f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，


又f(θ)－f(－θ)＝eq \r(3)，


则3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ))＝eq \r(3)，


即3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin θ＋\f(\r(3),2)cs θ))－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs θ－\f(1,2)sin θ))＝eq \r(3)，


故sin θ＝eq \f(\r(3),3).


因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs θ＝eq \f(\r(6),3)，


所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ＋\f(π,3)))


＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝3cs θ＝eq \r(6).





11．在△ABC中，已知sin C＝2sin(B＋C)cs B，则△ABC一定是( )


A．等腰直角三角形 B．等腰三角形


C．直角三角形 D．等边三角形


考点 两角和与差的正弦公式


题点 利用两角和与差的正弦公式求角


答案 B


解析 由sin C＝2sin(B＋C)cs B得sin(A＋B)＝2sin Acs B，


所以sin Acs B －cs Asin B＝0，


所以sin(A－B)＝0，即A＝B，


所以△ABC为等腰三角形．


12．形如eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))的式子叫做行列式，其运算法则为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc，则行列式eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3) sin \f(π,6),sin \f(π,3) cs \f(π,6))) 的值是 ．


答案 0


解析 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3) sin \f(π,6),sin \f(π,3) cs \f(π,6)))＝cs eq \f(π,3)cs eq \f(π,6)－sin eq \f(π,3)sin eq \f(π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,6)))＝cs eq \f(π,2)＝0.


13．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \f(1,2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))＝eq \f(\r(3),2)，其中eq \f(π,4)<α

答案 eq \f(5π,6)


解析 ∵eq \f(π,4)<α

∴－eq \f(π,4)

∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝eq \f(\r(3),2)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β)))＝－eq \f(1,2)，


∴cs(α＋β)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(\r(3),2)，


又eq \f(π,2)<α＋β<π，∴α＋β＝eq \f(5π,6).


14．函数y＝cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的最小值是 ，最大值是 ．


答案 －eq \r(3) eq \r(3)


解析 方法一 y＝cs x＋cs xcs eq \f(π,3)－sin xsin eq \f(π,3)


＝eq \f(3,2)cs x－eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x－\f(1,2)sin x))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，


当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝－1时，ymin＝－eq \r(3).


当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝1时，ymax＝eq \r(3).


方法二 y＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))·cs eq \f(π,3)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))sin eq \f(π,3)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))


＝eq \f(3,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))


＝eq \r(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))


＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x－\f(π,3)))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，


所以－eq \r(3)≤y≤eq \r(3).





15．在△ABC中，3sin A＋4cs B＝6,3cs A＋4sin B＝1，则C的大小为( )


A.eq \f(π,6) B.eq \f(5,6)π


C.eq \f(π,6)或eq \f(5,6)π D.eq \f(π,3)或eq \f(2,3)π


答案 A


解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin A＋4cs B＝6，①,3cs A＋4sin B＝1，②))


①2＋②2得9＋16＋24sin(A＋B)＝37.


则sin(A＋B)＝eq \f(1,2).


∴在△ABC中，sin C＝eq \f(1,2)，


∴C＝eq \f(π,6)或C＝eq \f(5,6)π.


若C＝eq \f(5,6)π，则A＋B＝eq \f(π,6)，


∴1－3cs A＝4sin B>0.


∴cs A

又eq \f(1,3)eq \f(π,3).


此时A＋C>π，不符合题意，


∴C≠eq \f(5,6)π，∴C＝eq \f(π,6).


16．已知函数f(x)＝eq \r(3)sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)≤φ<\f(π,2)))的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.


(1)求ω和φ的值；


(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝eq \f(\r(3),4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)<α<\f(2π,3)))，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))的值．


解 (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，


所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝eq \f(2π,T)＝2.


又因为f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，


所以2·eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，


由－eq \f(π,2)≤φ

所以φ＝eq \f(π,2)－eq \f(2π,3)＝－eq \f(π,6).


(2)由(1)得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2·\f(α,2)－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),4)，


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,4).


由eq \f(π,6)<α

所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))))


＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2)＝eq \f(\r(15),4).


因此cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝sin α


＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))sin eq \f(π,6)


＝eq \f(1,4)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(15),4)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3)＋\r(15),8).名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
α，β∈R
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β
α，β∈R
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β
α，β∈R