初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系同步达标检测题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系同步达标检测题，共34页。试卷主要包含了下列各式中是一元二次方程的是，下列方程中，一元二次方程的是等内容，欢迎下载使用。
跟踪练习
考点一：一元二次方程的定义
1．下列各式中是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列方程中，一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
4．在①；②；③；④中，是一元二次方程的是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．③和④
考点二：由一元二次方程的解求参数
5．如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ）
A．3B．2C．D．
6．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
7．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
8．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．C．1或D．0
考点三：一元二次方程的解的估算
9．根据下表判断方程的一个解的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（ ）
A．B．C．D．
12．观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（ ）
A．B．C．D．
考点四：由一元二次方程的定义求参数
13．已知是一元二次方程，则实数 ．
14．若方程是关于的一元二次方程，则 ．
15．若是关于的一元二次方程，则的值为 ．
16．写出一个二次项系数为1，一次项系数为，常数项为的一元二次方程是 ．（用一般形式表示）
考点五：用适当方法一元二次方程
17．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．解方程
(1)；
(2)．
19．解下列方程：
(1)
(2)
20．按要求解下列方程：
(1)（公式法）
(2)（配方法）
(3)（因式分解法）
考点六：配方法的应用
21．先阅读内容，再解决问题：
若，求和的值．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
(1)已知，求的值；
(2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由．
22．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，
我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
解：，
当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)若，则________；________．
(2)求代数式的最值；
23．小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是小明给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于_______对称；若关于x的多项式关于对称，求n的值；
(2)若整式关于对称，求实数a的值．
24．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
因为，所以当时，的最小值是
所以
所以当时，的值最小，最小值是
所以的最小值是
依据上述方法，解决下列问题：
(1)当______时，有最小值是______；
(2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值；
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长．
考点七：根与系数的关系
25．已知：关于的一元二次方程（是整数）．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，（其中），设，判断是否为变量的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．
26．已知一元二次方程有一个根为2
(1)求c的值；
(2)求该方程的另一个根．
27．已知关于x的一元二次方程的有两个不相等的实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
28．已知关于的一元二次方程；
(1)求证：不论任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两根为、且满足，求的值．
考点八：传播与增长率问题
29．有一种传染病传染性很强，研究发现，在某地区如果有一个人染上该病，那么经过两轮传染后，理论上就共有121人染上该病，请问该传染病在每轮传染中平均一个人会传染几个人？如果疫情不能得到有效控制，那么经过三轮传染后将会有多少人染上这种病？
30．冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
31．五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少．据统计，5月1日的游客人数为万人，5月3月的游客人数为万人．
(1)求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率；
(2)5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人？
32．某种商品在某电商平台1月份的销量是5万件，3月份的销量是万件．
(1)若该平台1月份到3月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)某商场销售这种商品，每件进价为40元．市场调研发现：当每件售价为80元时，平均每天能售出20件；而当售价每降低1元时，平均每天就能多售出4件．为尽量减少库存，商场决定降价促销，若想使这种商品的销售利润平均每天达到1400元，每件售价应降低多少元？
考点九：与图形有关的问题
33．为庆祝六一儿童节，某书店推出了一系列优惠活动．为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图），购买此书籍则赠送如图2所示的精致矩形包书纸，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸的面积为（含阴影部分），且正好可以包好图1中的《世界经典童话》这本书，该书的长为，宽为，厚为．请求出该包书纸包这本书时折进去的宽度．
34．利用一面墙（墙的长度为），另三边用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地，求矩形的长和宽．
35．新能源汽车通过激活产业链、技术革新、消费扩张与绿色转型，是国内大循环的核心驱动力之一，电车成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为120米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的长和宽分别减少相等的宽度，减少的这部分区域用于修建充电桩，已知剩余停车场的面积为4500平方米．
(1)求减少的宽度是多少米？
(2)为确保安全，停车场充电桩区域须划分独立防火区，停车场物业公司准备在充电桩区域与非充电桩区域之间修建防火隔离墙．若防火隔离墙的高度为米，则需要修建的防火隔离墙的面积是多少平方米？
36．在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．
(2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案．
考点十：动态几何问题
37．如图，在中，，点P从A点出发，以1的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，运动时间为t秒．
(1)用t表示长为______，长为______；
(2)经过几秒后的面积等于？
38．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．

(1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
39．如图，在矩形中，．动点P，Q分别从A，C同时出发，点以秒的速度向点移动，点以秒的速度向点移动，当点到达点时，两动点同时停止运动．

(1)两动点经过几秒时，四边形的面积是矩形面积的？
(2)连接，两动点经过几秒，是以为腰的等腰三角形？
40．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒．
(1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中，能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由．
考点一：一元二次方程的定义
考点二：由一元二次方程的解求参数
考点三：一元二次方程的解的估算
考点四：由一元二次方程的定义求参数
考点五：用适当方法一元二次方程
考点六：配方法的应用
考点七：根与系数的关系
考点八：传播与增长率问题
考点九：与图形有关的问题
考点十：动态几何问题
…
…
…
…
x
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
0.96
2.25
3.56
x
0
1
2
5
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
《第1章一元二次方程（10大考点汇编与40题跟踪训练）2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：．，整理后，不符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意；
．，当时，不符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意；
．，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意；
．，符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、整理后不含二次项，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，本题根据一元二次方程的定义解答即可．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）整理后二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对各个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、，当时，方程化为，不含二次项，故不是一元二次方程；
B、，含有两个未知数，故不是一元二次方程；
C、，符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程；
D、，是分式方程，故不是一元二次方程；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查一元二次方程的识别．根据只含有一个未知数，且含有未知数的最高项的次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：，不是整式方程，不是一元二次方程，故①不符合题意；
，含有2个未知量，不是一元二次方程，故②不符合题意；
，是一元二次方程，故③符合题意；
，是一元二次方程，故④符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错．
根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值．
【详解】解：由题意，将代入方程，得：
解得．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后整体代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：把代入方程中得：，
∴，
∴
，
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键．
把代入方程得到关于m的方程求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，
∴，解得：．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可．
【详解】解：把 代入，
得到：
∴或
∵ 方程是一元二次方程，
∴ ，
∴，
∴；
故选：B ．
9．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，看0在相对应方程的哪两个值之间，那么近似解就在这两个对应的值对应的x的值之间，据此求解即可．
【详解】解：∵当时，，
当时，，
∴当时，一定有一个x对应的值，使得，
∴一元二次方程的一个解x的取值范围是，
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键．
通过观察代数式值在相邻x值之间的符号变化，确定方程解的区间．
【详解】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解，
根据表格数据：当时，（负数）；
当时，（正数），
由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间，
故选：B．
11．A
【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是．
【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0，
当时，的值小于0，
因此的一个解的取值范围是．
故选：A．
12．C
【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是．
【详解】解：，
由表中数据可知：当时，，
一元二次方程的解是．
故选：C．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
由一元二次方程的定义可得且，解之即可得解．
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴且，
解得，
故答案为：．
14．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．
根据一元二次方程的定义得到，即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
15．3或
【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程．
根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值．
【详解】解：由题意可知，，
解得或．
故答案为：3或．
16．
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式：，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，进行作答即可．
【详解】解：由题意，可得方程为：；
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）用直接开方法解方程即可；
（2）用因式分解法——提公因式法解方程即可；
（3）用配方法解方程即可；
（4）用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
∴；
（2），
，
或，
∴；
（3），
，
，
，
，
∴；
（4）
，
或，
∴．
18．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，解决本题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
或，
解得，；
（2）解：
其中，，，
，
解得，．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）直接运用公式法解一元二次方程即可；
（2）先移项、然后再运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
所以．
（2）解：，
，
，
，
所以．
20．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可解答；
（2）利用配方法解一元二次方程即可解答；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可解答．
【详解】（1）解：，，，
，
∴，
∴，；
（2）解：配方，得，
即
开方，得
∴，；
（3）解：移项，得
则
∴或
∴，．
21．(1)，；
(2)是等腰三角形，理由见解析．
【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键．
（）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出即可；
（）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出，根据等腰三角形的概念解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：是等腰三角形，理由，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴是等腰三角形．
22．(1)，
(2)最小值为，无最大值；
【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键．
（1）依据题意，由配方即可得到本题答案；
（2）依据题意，先提出，再配方即可求最值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
故答案为：2；1．
（2）由题意得，
，
∵，
∴当时，有最小值，无最大值．
23．(1)1；
(2)
【分析】本题考查了配方法的应用．
（1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解；依据题意，由多项式，又多项式关于对称，从而可以得解；
（2）将整式进行配方，然后根据定义可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴多项式关于对称；
由题意得多项式，
∴多项式关于对称，
∵多项式关于对称，
∴，
∴；
故答案为：1，；
（2）解：
，
∴关于对称，
又∵关于对称，
∴．
24．(1)，
(2)大，最值为
(3)
【分析】（）根据题例解答方法解答即可；
（）把多项式转化为，进而由得，即得到，即可求解；
（）由得，即得，，进而求出三角形的周长即可；
本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵对于任意实数都有，
∴当时，的最小值是，
∴，
当时，有最小值是，
故答案为：；；
（2）解：
，
∵对于任意实数都有，
，
，
当时，多项式有最大值，最大值为，
故答案为：大；
（3）解：，
，
，
∴，，
，，
，
的周长．
25．(1)见详解
(2)是；是变量的函数，函数解析式为
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式．熟练掌握一元二次方程根的判别式以及求根公式是解题的关键．
（1）计算根的判别式并判断其正负来证明方程根的情况；
（2）先利用求根公式求出方程的两个根，再根据已知条件确定，，进而得出关于的函数解析式．
【详解】（1）解：是一元二次方程，
，
，
化简得：，
是整数，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根．
（2）解：是
在方程中，
，
当取正号时，，
当取负号时，，
是整数，
，则，
，
，，
，
是变量的函数，函数解析式为：．
26．(1)8
(2)4
【分析】（1）把代入，转化为c的方程求解即可．
（2）设该方程的另一个根为，根据题意，得，解答即可．
本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，根与系数关系定理，转化求解是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得，
故c的值为8．
（2）解：设该方程的另一个根为，根据题意，得，2是一元二次方程的两个根，
故，
解得，
故方程的另一个根是4．
27．(1)
(2)1
【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟记各知识点是解题的关键．
（1）由方程有两个不等的实数根得到，列不等式求解；
（2）根据根与系数的关系得到，代入计算即可．
【详解】（1）解：一元二次方程的有两个不相等的实数根，
，
解得：，
则m的取值范围为；
（2）解：由题意得：，
，
，
，
解得：，
，
，
则m的值为1．
28．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数关系的应用．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．一元二次方程根与系数关系：，．
（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可；
（2）首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用得到关于m的方程，解方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：在方程中，，，，
，
不论m取何值，，
．
不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）知方程总有两个不相等的实数根、，
，，
而，即，
解并检验得
29．1331人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有121人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，再列式计算即可得出结论．
【详解】解：设该传染病在每轮传染中平均一个人会传染个人，则
，
解得（舍），或，
∴经过三轮传染后染上这种病的人数为：
（人）．
答：经过三轮传染后将会有1331人染上这种病．
30．(1)7
(2)512
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．
（1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出；
（2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数．
【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了人，
或(舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；
（2）(人．
答：第三轮感染后，患流感的共有512人．
31．(1)
(2)万人
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为，根据5月1日和5月3日的人数建立方程求解即可；
（2）设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天为人，根据5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为，
由题意得，
解得：，（舍去）
5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为．
（2）解：设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天为人，
由题意得，
解得：，
答：平均每天游客人数最多是万人．
32．(1)
(2)30元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设月平均增长率是x，然后根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，再利用总利润、每件的销售利润和日销售量的关系列出关于y的一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设月平均增长率是x，
由题意可得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：月平均增长率是
（2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽量减少库存，
答：每件售价应降低30元．
33．折叠进去的宽度为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
设折叠进去的宽度为，根据题意分别得到书纸长为，宽为，进而列方程求解即可．
【详解】解：设折叠进去的宽度为，
则，
整理得，
或（不合题意，舍去），
答：折叠进去的宽度为
34．矩形长为50米时，宽为4米
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握题干中的已知信息列出方程并求解是解此题的关键．设垂直于墙的一边为x米，则另一边为米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．
【详解】解：设垂直于墙的一边为x米，则另一边为米，
得：
解得：（大于墙长，不合题意，舍去），，
∴（米）
即矩形长为50米时，宽为4米．
35．(1)减少的长度是30米．
(2)修建的防火隔离墙的面积是平方米
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用；
（1）设减少的长度是x米．根据剩余面积可得，再解方程并检验即可；
（2）由非充电桩区域的长为米，宽为米，进一步列式计算即可.
【详解】（1）解：设减少的长度是x米．
根据题意，得，
解得：（不合题意，舍去），．
答：减少的长度是30米．
（2）解：∵减少的长度是30米，
∴非充电桩区域的长为米，宽为米，
∵停车场物业公司准备在充电桩区域与非充电桩区域之间修建防火隔离墙．
∴修建的防火隔离墙的面积是（平方米）.
36．(1)小芳的方案不符合条件，见解析；
(2)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键．
（1）利用等量关系花园的长花园的宽荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可；
（2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可．
【详解】（1）解：不符合．
设小路宽度均为，
根据题意得：
解这个方程得：，．
但不符合题意，应舍去，
∴小芳的方案不符合条件；
（2）解：答案不唯一．
例如：
左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；
右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半．
37．(1)，
(2)2
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，含的直角三角形．熟练掌握列代数式，一元二次方程的应用，含的直角三角形是解题的关键．
（1）由题意知，，，则，然后作答即可；
（2）由题意知，，如图，作于，则，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：由题意知，，
如图，作于，
∵，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∴经过2秒后的面积等于．
38．(1)当时，点B在的垂直平分线上
(2)当时，的长度等于
(3)存在，当时，使得的面积等于
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
(1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可；
(2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；
(3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒，
，
，
∵B在的垂直平分线上，
，
，
解得，
∴当时，点B在的垂直平分线上；
（2）∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒，
，
，
，
∵四边形是矩形，
，
由勾股定理得，
，
即
解得，，
舍去
∴当时，的长度等于；
（3）由题意得，，
的面积等于，
，
，
化简得
或
舍去，
∴当时，使得的面积等于．
39．(1)两动点经过秒时，使得四边形的面积是矩形面积的
(2)当两动点经过或或4秒时，使得是以为腰的等腰三角形
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解．
（1）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间；
（3）需要分类讨论：和两种情况，再分别根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的，
由题意，得，
，
解得：，
两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的；
（2）解：设两动点经过秒时，使得是以为腰的等腰三角形，
①当时，，
则，
整理得，
解得；
②当时，如图，过点作于点，
，
则，
整理得，解得（与点重合，舍去）．
综上所述，当两动点经过或或4秒时，使得是以为腰的等腰三角形．
40．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定；
（2）设运动秒钟后的面积为，则，， cm，cm，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论.
【详解】（1）解：根据题意可知：，，，
∵四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或；
（2）解：设运动秒钟后的面积为，则 ，，，，
，
，
，
即，
，
方程无实数根，
的面积不能为.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
D
A
C
B
B
B
B
题号
11
12








答案
A
C