人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系获奖ppt课件

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1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2、一元二次方程的求根公式？
( )
一元二次方程的一般形式是：
1、上面三个方程的二次项系数有何特点？
利用公式法求方程的两根：
说明它也有这样的结论。
二次项系数为1时，两根之和等于一次 项系数的相反数，两根之积等于常数项。
猜一猜：通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
满足上述关系的前提条件
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2 – 6x – 15 = 0；
解：这里 a = 1 , b = – 6 , c = – 15 . Δ = b2 - 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = – 15 .
（2）3x2 +7x-9 = 0；
解：这里 a = 3 , b = 7, c = -9.
Δ=b2 − 4ac = 72 – 4 × 3 × (− 9) = 157 > 0，
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
（3） 5x – 1 = 4x2 .
解：方程可化为 4x2 – 5x +1 =0，这里 a =4， b = – 5，c = 1. Δ = b2 − 4ac =( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = .
在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可 .
例2 已知方程5x2+kx−6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以 x1 · x2=2x2= 即 x2= 由于x1+x2=2+ = 得 k=−7.答：方程的另一个根是 ，k=−7.
变式：已知方程3x2−18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以 x1 + x2=1+x2=6， 即 x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得 m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
首先要验证判别式△≥0，才能开始两根的运算！
设x1，x2为方程x2−4x+1=0的两个根，则： (1) x1+x2= ， (2)x1·x2= ， (3) ， (4) .
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
例4 设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4(k − 1)2− 4k2 ≥ 0 即 −8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4， 解得 k1= 0， k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.所以k=0.
根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母应该满足△≥0.
2．【广东中考】已知x1、x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是(　　)A．x1≠x2B．x－2x1＝0C．x1＋x2＝2D．x1·x2＝2
3．【湖北随州中考】已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1、x2.(1)求k的取值范围；(2)若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根．
1．若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为(　　)A．－2B．2C．4D．－3
7.已知方程 3x2 −19x + m=0的一个根是1，求它的另一 个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中 3−19 + m = 0. 解得 m = 16， 设另一个根为x1，则： 1 × x1 = ∴x1 =
8.已知x1, x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4； (1)求k的值； (2)求(x1−x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系得 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得 k=−7.
(2)因为k=−7,所以 则：
9.设x1，x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2)
解：根据根与系数的关系得： (1)(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + (x1 + x2 )+ 1= (2)
10．【易错题】关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为(　　)A．m＝－2B．m＝3C．m＝3或m＝－2D．m＝－3或m＝211．已知m、n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2) (n＋2)的最小值是(　　)A．7B．11C．12D．16
13. 当k为何值时，方程2x2−kx+1=0的两根差为1.
解：设方程两根分别为x1，x2(x1>x2)，则x1−x2=1
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
14.已知关于x的一元二次方程mx2−2mx+m −2=0. (1)若方程有实数根,求实数m的取值范围. (2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|= 1， 求m的值.
解：(1)方程有实数根
∵m≠0，∴m的取值范围为m＞0.
(2)∵方程有实数根x1，x2，
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，
经检验m=8是方程的解．
15．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0.(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)如果k是满足(1)的最大的整数，且方程x2－2x＋k＝0的一个根的相反数是一元二次方程(m－1)x2－3mx－7＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有实数根，∴Δ＝4－4k≥0，解得k≤1，∴k的取值范围是k≤1.　(2)∵k≤1，∴k的最大整数值是1，则关于x的方程x2－2x＋k＝0是x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1.∵方程x2－2x＋k＝0的一个根的相反数是一元二次方程(m－1)x2－3mx－7＝0的一个根，∴当x＝－1时，(m－1)＋3m－7＝0，解得m＝2.这个方程的另一个根为－7÷(－1)＝7.
16．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根是2和4，则方程x2－6x＋8＝0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2－3x＋c＝0是“倍根方程”，求c的值；(2)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“倍根方程”，则a、b、c之间有何关系？(3)若(x－2)(mx－n)＝0(m≠0)是“倍根方程”，求代数式4m2－5mn＋n2的值．
根与系数的关系（韦达定理）
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么