人教版（2024）九年级上册一元二次方程测试题

这是一份人教版（2024）九年级上册一元二次方程测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程一定是一元二次方程的是( )
A. 2x−1=4x+3B. 2x2+y−1=0C. 2x2−1=3D. ax2+bx+c=0
2.方程x(x+5)=0化成一般形式后，它的常数项是( )
A. −5B. 5C. 0D. 1
3.将一元二次方程x(x−1)=2化为一般形式为( )
A. x2−x=2B. x2−x−2=0C. x2−x+2=0D. x2+x+2=0
4.若关于x的一元二次方程(m−2)x2+4x+m2−4=0的常数项为0，则m的值为( )．
A. −2B. 2C. ±2D. 0
5.将一元二次方程(2x+3)(3x−5)=1化为ax2+bx+c=0(a>0)的形式，其常数项是( )
A. 15B. −15C. 14D. −16
6.x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则2a+4b=( )
A. −2B. −3C. −1D. −6
7.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0有一个根为2025，则方程ax+12+bx+1=−5必有一个根为( )
A. 2024B. 2023C. 2022D. 2021
二、填空题：
8.已知关于x的方程x2a−1+x=6是一元二次方程，则a的值为 ．
9.将方程x2+2x=3化为ax2+bx+c=0的形式后，a= ______，b= ______，c= ______．
10.方程2(x−1)2=(x+ 3)(x− 3)化为一般式是______．
11.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2−2)x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
12.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，则a= ．
13.若m是方程2x2+3x−2=0的根，则式子4m2+6m+2025的值为______．
三、解答题：
14.当m分别取何值时，关于x的方程(m2+2)x2+(m−1)x−4=3x2满足下列条件？
(1)是一元二次方程；
(2)是一元一次方程．
15.已知关于x的一元二次方程(x−1)2=2(x+m)−3的一个根为x=−2．
(1)求m的值．
(2)将方程化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正数)，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．
16.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)．
(1)如果方程有一个根是1，那么a，b，c之间有什么数量关系？
(2)如果方程有一个根是−1，那么a，b，c之间有什么数量关系？
(3)如果方程有一个根是0，那么常数项有什么特征？
17.定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
(1)已知关于x的方程x2+x+c=0是常数根一元二次方程，则c的值为______；
(2)如果关于x的方程x2+2mx+m+1=0是常数根一元二次方程，则m的值；
(3)若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中不含零根，求证：关于y的方程acy2+by+1=0是常数根一元二次方程．
18.若m，n为正实数，设k=mn，若t是关于x的方程x2+2mx=n2的一个正实根．
(1)求证：(t+m)2=m2+n2．
(2)若k=12，求tn的值．
(3)用含k的代数式表示tn．
19.(1)(x2−mx+1)(x−2)的积中x的二次项系数为零，求m的值；
(2)若(x2+ax)(x2−3x+b)的乘积中不含x2和x3项，求a，b的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、2x−1=4x+3，是一元一次方程，不符合题意；
B、2x2+y−1=0，方程中含有两个未知数，不符合题意；
C、2x2−1=3，符合一元二次方程的定义，符合题意；
D、ax2+bx+c=0，当a=0时，该方程中未知数的最高次数不是2，不符合题意；
故选：C．
一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题主要考查了一元二次方程的定义；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的一般形式，形式ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式的方程叫一元二次方程的一般形式．根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题．
【解答】
解：∵x(x+5)=0
∴x2+5x=0，
∴方程x(x+5)=0化成一般形式后，它的常数项是0，
故选C．
3.【答案】B
【解析】解：∵x(x−1)=2，
∴x2−x−2=0，
故选：B．
根据一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0(a≠0)，再求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−2)x2+4x+m2−4=0的常数项为0，
∴m2−4=0且m−2≠0．
解得m=−2．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键是熟知一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0a≠0，其中是ax2二次项，bx是一次项，c为常数项．先移项将一元二次方程化为一般式，再找出常数项即可．
【详解】解：(2x+3)(3x−5)=1
∴6x2−10x+9x−15=1
∴6x2−x−16=0
常数项是−16
故选：D．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先把x=1代入方程x2+ax+2b=0得a+2b=−1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．
【解答】
解：把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0，
所以a+2b=−1，
所以2a+4b=2(a+2b)=2×(−1)=−2．
故选A．
7.【答案】A
【解析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0有一个根为2025，可得出关于x+1的一元二次方程ax+12+bx+1=−5有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0有一个根为2025，
∴关于x+1的一元二次方程ax+12+bx+1=−5有一个根为2025，
即x+1=2025，
解得：x=2024，
∴方程ax+12+bx+1=−5必有一个根为2024．
故选：A．
8.【答案】32
9.【答案】1 2 −3
【解析】解：将方程x2+2x=3化为ax2+bx+c=0的形式为x2+2x−3=0，
故a=1，b=2，c=−3．
故答案为：1，2，−3．
根据一元二次方程一般式解答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
10.【答案】x2−4x+5=0
【解析】解：2(x−1)2=(x+ 3)(x− 3)，
则2(x2−2x+1)=x2−3，
∴2x2−4x+2−x2+3=0，
∴x2−4x+5=0，
故答案为：x2−4x+5=0．
根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原方程化为一般形式．
本题考查的是一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．
11.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把x=2代入kx2+(k2−2)x+2k+4=0得4k+2k2−4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可．
【解答】
解：把x=2代入kx2+(k2−2)x+2k+4=0得4k+2k2−4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=−3，
因为k≠0，
所以k的值为−3．
故答案为−3．
12.【答案】−1
【解析】解：把x=0代入(a−1)x2−2x+a2−1=0，得：a2−1=0，
解得：a=±1，
∵a−1≠0，
∴a=−1．
故答案为：−1．
根据一元二次方程的解的定义把x=0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a=±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
13.【答案】2029
【解析】解：∵m是方程2x2+3x−2=0的根，
∴2m2+3m−2=0，
则2m2+3m=2，
原式=2(2m2+3m)+2025
=2×2+2025
=4+2025
=2029，
故答案为：2029．
由一元二次方程解的意义可得2m2+3m−2=0，则2m2+3m=2，将原式变形后整体代入已知数值计算即可．
本题考查一元二次方程的解，代数式求值，理解一元二次方程解的意义是解题的关键．
14.【答案】【小题1】
m≠±1
【小题2】
m=−1
15.【答案】【小题1】
解：把x=−2代入方程(x−1)2=2(x+m)−3得9=2(−2+m)−3，
解得m=8，
即m的值为8；
【小题2】
当m=8时，方程为(x−1)2=2(x+8)−3，
方程化为一般式为x2−4x−12=0，
所以方程的二次项系数为1，一次项系数为−4，常数项为−12．
16.【答案】【小题1】
解：把x=1代入原方程，得a+b+c=0．
【小题2】
把x=−1代入原方程，得a−b+c=0．
【小题3】
把x=0代入原方程，得c=0，即常数项为0
17.【答案】0或−2
【解析】解：(1)∵关于x的方程x2+x+c=0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x=c，
代入方程得，c2+2c=0，
解得c=0或−2；
故答案为：0或−2；
(2)∵关于x的方程x2+2mx+m+1=0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x=m+1，
代入方程得，(m+1)2+2m(m+1)+m+1=0，
整理得，3m2+5m+2=0，
解得m=−23或−1．
(3)∵关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中不含零根，
∴方程的一个根为x=c，且c≠0，
代入方程，得ac2+bc+c=0，即c(ac+b+1)=0，
∵c≠0，
∴ac+b+1=0，
∴把y=1代入方程acy2+by+1=0，得左边=ac+b+1=0=右边，
∴y=1是关于y的方程acy2+by+1=0的一个根，
∴关于y的方程acy2+by+1=0是常数根一元二次方程．
(1)根据常数根一元二次方程的定义，把x=c代入方程，解关于c的方程即可；
(2)根据常数根一元二次方程的定义，把x=m+1代入方程，解关于m的方程即可；
(3)根据常数根一元二次方程的定义，把x=c代入方程，得到ac+b+1=0，因此y=1是关于y的方程acy2+by+1=0的一个根，从而得证结论．
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于c或m的方程．
18.【答案】(1)证明：解关于x的方程x2+2mx=n2：
得x2+2mx+m2=m2+n2，
∴(x+m)2=m2+n2，
∵t是关于x的方程x2+2mx=n2的一正实数根，
∴(t+m)2=m2+n2；
(2)解：∵k=mn=12，
∴m=12n，
∴x2+nx−n2=0，
∵t是关于x的方程x2+2mx=n2的一个正实根，
∴t2+nt−n2=0，
解得t= 5−12n(负值舍去)，
∴tn的值为 5−12；
(3)解：∵k=mn，
∴m=kn，
∴x2+2knx−n2=0，
∵t是关于x的方程x2+2mx=n2的一个正实根，
∴t2+2knt−n2=0，
解得t=−kn+n k2+1(负值舍去)，
∴tn=−k+ k2+1．
【解析】(1)解关于x的方程x2+2mx=n2：得到(x+m)2=m2+n2，由t是关于x的方程x2+2mx=n2的一正实数根，得到(t+m)2=m2+n2；
(2)根据已知条件得到m=12n，解方程t2+nt−n2=0，即可得到结论；
(3)由k=mn，得到m=kn，解方程t2+2knt−n2=0，解得t=−kn+n k2+1(负值舍去)，即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，正确地理解一元二次方程的解是解题的关键．
19.【答案】解：(1)(x2−mx+1)(x−2)
=x3−2x2−mx2+2mx+x−2
=x3+(−2−m)x2+(2m+1)x−2
因为积中x的二次项系数为零，
所以−2−m=0，
解得m=−2，
(2)(x2+ax)(x2−3x+b)
=x4−3x3+bx2+ax3−3ax2+abx
=x4+(−3+a)x3+(b−3a)x2+abx
因为乘积中不含x2和x3项，
所以−3+a=0b−3a=0
由−3+a=0，
解得a=3，
把a=3代入b−3a=0，
得b−3×3=0，
即b−9=0，
解得b=9．