初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程课时练习

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程课时练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一元二次方程5x2−4x−1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 5，4，1B. 5，4，−1C. 5，−4，−1D. 5，−4，1
2.下列方程一定是一元二次方程的是( )
A. 2x−1=4x+3B. 2x2+y−1=0C. 2x2−1=3D. ax2+bx+c=0
3.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2−1=0的一个根是0，则a的值为 ( )
A. 1B. −1C. ±1D. 0
4.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根分别为2和−3，则分解因式ax2+bx+c等于( )
A. x−2x+3B. ax−2x+3C. ax−2x+3D. x+2x−3
5.已知m为一元二次方程x2+3x−2023=0的根，那么2m2+6m的值为( )
A. −4046B. −2023C. 0D. 4046
6.已知a是方程x2−2x−2=0的根，则(1−1a+1)÷a3a2+2a+1的值是( )
A. 16B. 12C. 19D. 2
二、填空题：
7.把方程(2x+3)2−3x=1化成一般形式为______．
8.方程2(x−1)2=(x+ 3)(x− 3)化为一般式是______．
9.若关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，则m+n的值是 ．
10.构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为−1.这个一元二次方程可以是 (写出一个即可)．
11.如果关于x的方程(m+3)x|m+1|+4x−2=0是一元二次方程，则m的值是 ．
12.已知关于x的a(x+m)2+b=0(a方程、b、m为常数，a≠0)的解是x1=−3，x2=4，那么方程a(x+m+1)2+b=0的解是___________________________．
三、解答题：
13.已知x=1，x=−3都是方程ax2+bx−3=0的根，求a，b的值和这个一元二次方程的一般形式．
14.若关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+m2−1=0的常数项为0，则m的值是 ．
15.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a−b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
(1)判断一元二次方程3x2+4x+1=0是否为“凤凰方程”，并说明理由；
(2)若关于x的方程x2+mx−5=0是“凤凰方程”，求m的值．
16.已知m是方程3x2−2x−5=0的一个根，求代数式2m+12m−1−m+12的值．
17.“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程，其中a，b，c为常数(且a，c≠0).根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程−4x2+3x+1=0的倒方程是______；
(2)若x=−1是一元二次方程x2−2x+c=0的倒方程的解，求出c的值；
(3)若m是一元二次方程−6x2+x+1=0的倒方程的一个实数根，则m3+m2−6m+2025的值为______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：一元二次方程5x2−4x−1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5、−4、−1.
故选：C.
根据一元二次方程的一般形式即可得二次项系数，一次项，常数项．
此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
【解析】本题考查了一元二次方程根的性质，由题意得出方程ax2+bx+c=0a≠0可以化为ax−2x+3=0，即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根分别为2和−3，
∴方程ax2+bx+c=0a≠0可以化为ax−2x+3=0，
∴ax2+bx+c=ax−2x+3，
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程的解的定义得到m2+3m=2023，再2m2+6m变形为2(m2+3m)，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m为一元二次方程x2+3x−2023=0的一个根．
∴m2+3m=2023，
∴2m2+6m=2m2+3m=2×2023=4046．
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：原式=a+1−1a+1⋅(a+1)2a3
=aa+1⋅(a+1)2a3
=a+1a2，
∵a是方程x2−2x−2=0的根，
∴a2−2a−2=0，
即a2=2a+2=2(a+1)，
∴原式=a+12(a+1)=12．
故选：B．
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=a+1a2，接着利用一元二次方程根的定义得到a2=2(a+1)，然后利用整体代入的方法得到原式=a+12(a+1)，最后约分即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7.【答案】4x2+9x+8=0
【解析】解：(2x+3)2−3x=1，
4x2+12x+9−3x−1=0，
4x2+9x+8=0，
故答案为：4x2+9x+8=0．
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
8.【答案】x2−4x+5=0
【解析】解：2(x−1)2=(x+ 3)(x− 3)，
则2(x2−2x+1)=x2−3，
∴2x2−4x+2−x2+3=0，
∴x2−4x+5=0，
故答案为：x2−4x+5=0．
根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原方程化为一般形式．
本题考查的是一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．
9.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
把x=1代入方程mx2+nx−1=0得到m+n−1=0，然后求得m+n的值即可．
【解答】
解：把x=1代入方程mx2+nx−1=0得m+n−1=0，
解得m+n=1．
故答案为：1．
10.【答案】答案不唯一，如：x2−1=0
11.【答案】1
12.【答案】x1=−4，x2=3
【解析】解：∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−3，x2=4，(a,m,b均为常数，a≠0)，
∴方程a(x+m+1)2+b=0变形为a[(x+1)+m]2+b=0，即此方程中x+1=−3或x+1=4，
解得x=−4或x=3．
13.【答案】解：把x=1，x=−3分别代入方程ax2+bx−3=0， 得a+b−3=0,9a−3b−3=0,方程组化简得a+b=3,3a−b=1, 解得a=1,b=2,这个一元二次方程的一般形式为x2+2x−3=0．
14.【答案】解：一元二次方程m−1x2+2x+m2−1=0的常数项为m2−1=0，
∴m=±1，
又∵二次项系数不为0，m−1≠0，m≠1，
所以m=−1．
【解析】本题考查的是一元二次方程的定义有关知识，根据题意可得m2−1=0求出m，再根据m−1≠0即可解答．
15.【答案】解：(1)一元二次方程3x2+4x+1=0是凤凰方程，
理由：
因为一元二次方程3x2+4x+1=0满足3−4+1=0，
所以一元二次方程3x2+4x+1=0是凤凰方程；
(2)若关于x的方程x2+mx−5=0是“凤凰方程”，
则1−m−5=0，
解得m=−4．
【解析】(1)根据“凤凰方程”的意义判断即可；
(2)根据“凤凰方程”的意义，得出1−m−5=0，求出m即可．
本题考查了一元二次方程的解，理解题意，掌握“凤凰方程”的意义是解决本题的关键．
16.【答案】解：由m是方程 3x2−2x−5=0 的一个根可得 3m2−2m−5=0 ，即 3m2−2m=5.
2m+12m−1−m+12
=4m2−1−m2+2m+1
=4m2−1−m2−2m−1
=3m2−2m−2，
将 3m2−2m=5 代入，可得原式 =5−2=3．

【解析】此题考查了一元二次方程根的含义，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是理解一元二次方程根的含义，正确对代数式进行运算．
由题意，可得3m2−2m−5=0，即3m2−2m=5，根据完全平方公式和平方差公式对代数式进行化简，然后整体代入求解即可．
17.【答案】x2+3x−4=0；
c=−3；
2025．
【解析】解：(1)方程−4x2+3x+1=0的倒方程是：x2+3x−4=0；
故答案为：x2+3x−4=0；
(2)由条件可倒方程为cx2−2x+1=0，
把x=−1代入方程，
得c+2+1=0，
∴c=−3；
(3)由题意得：方程−6x2+x+1=0的倒方程为x2+x−6=0，
∵m是方程x2+x−6=0的一个实数根，
∴m2+m−6=0，
∴m3+m2−6m+2025=m(m2+m−6)+2025=2025．
故答案为：2025．
(1)根据新定义的含义可得答案；
(2)根据题意得到方程x2−2x+c=0的倒方程为cx2−2x+1=0，把x=−1代入即可得到c的值；
(3)根据题意得到方程−6x2+x+1=0的倒方程为x2+x−6=0，再结合方程根的性质进一步解答即可．
此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键．