人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试练习题

第21章 一元二次方程单元训练卷-2021-2022学年度人教版九年级数学上册

一、选择题

1.若关于 的一元二次方程   的一个根是2，则 的值为（   ）           

A. 2                                      B. 3                                  C. 4                                  D. 5

2.一元二次方程 的二次项系数是（   ）           

A.1           B.2       C.-2             D.3

3.若方程 没有实数根，则 的值可以是（   ）           

A. -1                           B.                            C. 1                         D. 

4.若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（   ）           

A.k＞﹣       B.k≥﹣         C.k＜﹣         D.k≤﹣

5.下列配方正确的是（   ）           

A.             B.
C.           D.

6.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（   ）           

A. 5                                   B. 6                                  C. 7                         D. 8

7.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程为（　　）           

A. （1+x）2＝91                 B. 1+x+x2＝91                 C. （1+x）x＝91                  D. 1+x+2x＝91

8.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则（   ）           

A.        B.     C.       D.

9.若x1、x2是方程x2-2x-3=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是（       ）           

A.1          B.-1         C.5          D.-5

10.已知a  ， b是实数，定义：a※b＝ab+a+b ． 若m是常数（mx）＝﹣1，下列说法正确的是（    ）           

A.方程一定有实数根            B.当m取某些值时，方程没有实数根
C.方程一定有两个实数根        D.方程一定有两个不相等的实数根

二、填空题

11.已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为________.   

12.关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ________.   

13.若 是方程 一个根，则代数式 的值为________.   

14.方程 的解是________.   

15.若一元二次方程 有一根为 ，则 ________.   

16.若一元二次方程 （b  ， c为常数）的两根 满足 ，则符合条件的一个方程为________．   

三、解答题

17.解方程：   

（1）4x2＝12x；                     （2）3x2﹣4x﹣2＝0.   

18.已知 .   

（1）当 时，求x的值.   

（2）若 ，求M的值.   

（3）求证： .   

19.已知关于x的一元二次方程 .   

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；   

（2）设此方程的两个根分别为 ， ，若 ，求方程的两个根.   

20.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2021年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同.   

（1）求每年市政府投资的增长率；   

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2021年底共建设了多少万平方米的廉租房？   

21.为了丰富市民的文化生活，我市某景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游，特推出了如下门票收费标准： 

标准一：如果人数不超过20人，门票价格为60元/人；

标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人．

（1）当夜游人数为15人时，人均门票价格为________元；当夜游人数为25人时，人均门票价格为________元；   

（2）若某单位支付门票费用共1232元，则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游？   

22.如图，将一张长方形纸板ABCD剪去四个边角（阴影部分）后制作成一个有盖的长方体纸盒（无缝衔接），在剪去的四个边角中，左侧两个是边长为5cm的正方形，右侧两个是有一边长为5cm的长方形，且AD＝2AB  ， 设AB＝xcm ． 

（1）请用含x的代数式分别表示长方体纸盒底面的长和宽：EH＝________cm  ， EF＝________cm；   

（2）若所制作的长方体纸盒的容积为1500cm3  ， 求长方体纸盒的表面积． 

23.如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B=∠C=∠D=90°，∠A=135°，已知AB=4m，BC=8m，CD=10m，DE=2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖．点F、G、H分别在边AE、BC、CD上。 

（1）求五边形ABCDE的面积；   

（2）若长方形FGCH的面积为35m²，求BG的长。   

（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明。   

24.请阅读下列材料： 

问题：已知方程x²+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。

解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x= 。

把x= 代入已知方程，得（ ）2+ -1=0

化简，得y2+2y-4=0

故所求方程为y2+2y-4=0。

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。

请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）。

（1）已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________。   

（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；   

（3）已知关于x的方程x2-mx+n=0有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方。   

答案

一、选择题

1. 解： 的一个根为2，设另一根为

，解得

又  

故答案为：D

2.解：由一元二次方程 可得二次项系数为1；

故答案为：A.

3.解：由题可知：“△＜0”，

∴ ，

∴ ，

故答案为：D.

4.解：∵关于x的一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根，

， ， ，

∴ ，

∴k＞ .

故答案为：A.

5.解：A. ，故该选项错误；   

B. ，故该选项错误；

C. ，故该选项正确；   

D. ，故该选项错误.

故答案为：C.

6.解：设有x个班级参加比赛，

，

，

解得： （舍），

则共有6个班级参加比赛，

故答案为：B.

7.解：设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，

根据题意得：x2+x+1＝91.

故答案为：B.

8.解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，

∴△=1-m＞0，

∴m＜1，

∵b是方程的一个实数根，

∴ ，

∴4b2-4b+m=0，

∴y=4b2-4b-3m+3=3-4m，

∴m= ，

∴ ＜1，

∴y＞-1，

故答案为：A.

9.解：∵x1、x2是方程x2-2x-3=0的两个根

∴x1+x2=- =2，x1x2= =-3

∴x1+x2+2x1x2=2-3=-1．

故答案为：B.

10.解：∵x※ （mx）=-1
∴mx2+x+mx=-1
∴mx2+（m+1）x+1=0
当m=0时，x+1=0
方程有实数根；
当m≠0时，
b2-4ac=（m+1）2-4m=（m-1）2≥0
∴此方程有实数根.
故答案为：A.
二、填空题

11.解：∵一元二次方程 的两根分别为m，n

∴ ，

∴

故答案为： .

12.解： 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，

且 ＞

由 ＞

可得 ＜

＜

综上： ＜ 且 ，

故答案为：m＜ 且m≠0.

13.解：由题意得： ，即 ，  

当 时，代入原式可得：

原式

，

故答案为：2023.

14.解： ，

，

，

∴x−2＝0或x−1＝0，

∴x1＝2，x2＝1，

故答案为x1＝2，x2＝1.

15.∵一元二次方程 ，有一根为 ，

∴ ，

∴ .

故答案为：2021.

16. 解：∵方程的 两根  满足    ，
∴在范围内任选两个值，比如x1=-2，x2=2，
然后代入方程得
解得
所以方程可以写为x²-4=0

三、解答题

17. （1）解：方程移项得： ， 

分解因式得： ，

可得 或 ，

解得： ， ；

（2）解：方程 ， 

这里 ， ， ，

△ ，

，

解得： ， .

18. （1）解：当 时， 

，

即 ，

， ，

（2）解：若 ， 

则 ，

即 ，

解得 ， ，

（3）证明： ， 

，

，

.

19. （1）解：∵△=（4m）2-4×1×（4m2-9）=16m2-16m2+36=36＞0，

∴已知关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9=0一定有两个不相等的实数根

（2）解：∵x= 2m±3， 

∵ x1=3− x2  ，

∴x1+x2=6，

∵x1+x2=4m，

∴4m=6，

∴m= ，

∴x=2× ±3，

∴x1=6，x2=0.

20. （1）解：设市政府投资的年平均增长率为x，

根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，

整理，得：x2+3x 1.75=0，

解得x1=0.5，x2= 3.5（舍去），

答：每年市政府投资的增长率为50%

（2）解：到2021年底共建廉租房面积=9.5÷ =38（万平方米）.  

21. （1）60；50
（2）解：假设共有x名员工去此景点夜游

∵ ，

则 ，

① ，

∴ ，

解得 .

② ，

，

解得 ，不为整数，舍去.

∴综上所述,共有22名员工去夜游.

（1）由标准一得，当夜游人数为15人时，人均门票价格为60元；
由标准二得60-（25-20）×2=50（元），
故答案为：60,50.
22. （1）x-5；x-10
（2）解：容积为：  ，
解得x1=25；x2=-10（不合题意，舍去），
∴AB=25cm，
∴EF=15cm，EH=20cm，
故表面积为.  

解：（1）∵AB=x，AD=2AB=2x，
又∵四边形EFGH和MNQP为长方形纸盒的上、下底面，
∴EH=FG=MN=PQ，
∴EH=x-5，EF=x-10；
故答案为：x-5；x-10.
23. （1）解：如图，过E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于N，

则∠EAN=∠AEN=45°，

∴AN=EN，

∵MN=AB，EM=CD，

∴EN=EM-MN=DC-AB=10-4=6(m)，

∴AN=6(m)，

∴S五边形ABCDE=S梯形ABME+S长方形EMCD=   (4+10)×6+2×10=62(m2)

（2）解：设BG=xm，则FG=(4+x)m，CG=(8-x)m，

根据题意，得(4+x)(8-x)=35，

解得：x1=1，x2=3

∴BG的长为1m或3m

（3）解：设BG=ym，

由题意，得200×(4+y)(8-y)+100×[62-(4+y)(8-y)]=7300，

化简，得y2-4y-21=0，

解得：y1=7，y2=-3均不合题意，

∴投资7300元不能完成地面铺设

24.设所求方程的根为y，则y=  (x≠0)于，是x=   (y≠0) 

把x=  代入方程ax2+bx+c=0，得a( )2+b· +c=0

去分母，得a+by+cy2=0

若c=0，有ax²+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意，

∴c≠0，

故所求方程为cy2+by+a=0(c≠0)

（3）解：设所求方程的根为y，则y=x2  ， 

所以x=±

①当x= 时，

把x= 代入已知方程，得

( )2-m +n=0， 即y-m +n=0；   

②当x=- 时，

把x=- 代入已知方程，得

(- )2 -m(- ) +n=0， 即y+m +n=0。

所以，所求方程为y-m +n=0或y+m +n=0

解：(1)设所求方程的根为y，则y=-x，

所以x=-y。

把x=-y代入已知方程，得

(-y)2+(-y)-1=0

化简，得y2-y-1=0，

故所求方程为y2-y-1=0