数学21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系精品练习题

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1已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是( B )


A．0 B．2 C．－2 D．4


2．[2013·湘潭]一元二次方程x2＋x－2＝0的解为x1，x2，则x1·x2＝( D )


A．1 B．－1 C．2 D．－2


3．[2013·包头]已知方程x2－2x－1＝0，则此方程( C )


A．无实数根


B．两根之和为－2


C．两根之积为－1


D．有一根为－1＋eq \r(2)


4．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为( C )


A．2 B．3 C．4 D．8


5．已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为( D )


A．－7 B．－3 C．7 D．3


【解析】 由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2＝2，所以x1＋x2－x1x2＝5－2＝3.


6．[2012·攀枝花]已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2＋x1x22的值为( A )


A．－3 B．3 C．－6 D．6


【解析】 ∵一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，∴x1＋x2＝3，x1x2＝－1，∴x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－1×3＝－3.


7．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)的值为( B )


A．5 B．－5


C．1 D．－1


8．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，则x12＋x22＝__3__．


【解析】 由根与系数的关系得x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，所以x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－1)2－2×(－1)＝3.


9．已知m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝__－eq \f(5,3)__．


【解析】 ∵m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，


∴m＋n＝－eq \f(－5,2)＝eq \f(5,2)，mn＝－eq \f(3,2)，∴eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(m＋n,mn)＝eq \f(\f(5,2),－\f(3,2))＝－eq \f(5,3).


10．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，试求下列代数式的值：(1)x12＋x22；(2)eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)；


(3)(x1＋1)(x2＋1)．


解：由根与系数的关系得x1＋x2＝－6，x1x2＝3.


(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6)2－2×3


＝36－6＝30；


(2)eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)＝eq \f(x22＋x12,x1x2)＝eq \f(30,3)＝10；


(3)(x1＋1)(x2＋1)


＝x1x2＋(x1＋x2)＋1


＝3－6＋1＝－2.


11．已知2－eq \r(5)是关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，求方程的另一个根．


解：设方程的另一个根为x1，由x1＋2－eq \r(5)＝4，得x1＝2＋eq \r(5).


12．已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值．


解： ∵x1＋x2＝2，∴m＝2.


∴原方程为x2－2x－3＝0，即(x－3)(x＋1)＝0，


解得x1＝3，x2＝－1或x1＝－1，x2＝3.





13．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x12＋x22＝7，则(x1－x2)2的值是( C )


A．1 B．12


C．13 D．25


【解析】 由根与系数的关系知：x1＋x2＝m，x1x2＝2m－1，


∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝m2－2(2m－1)＝m2－4m＋2，


∴m2－4m＋2＝7，


∴m2－4m－5＝0，


解得m＝5或m＝－1.


当m＝5时，原方程为x2－5x＋9＝0，


Δ＝(－5)2－4×1×9＝25－36＝－11<0，此时方程无实根．


当m＝－1时，原方程为x2＋x－3＝0，方程有实根，


∴当m＝－1时，x1＋x2＝－1，x1x2＝－3，


∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2


＝(－1)2－4×(－3)＝1＋12＝13，故选C.


14．设a，b是方程x2＋x－2 012＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( A )


A．2 011 B．2 012


C．2 013 D．2 014


【解析】 ∵a是方程x2＋x－2 012＝0的根，∴a2＋a－2 012＝0，∴a2＋a＝2 012.又由根与系数的关系得a＋b＝－1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋(a＋b)＝2 012－1＝2 011，故选A.


15．已知m，n是方程x2＋2eq \r(2)x＋1＝0的两根，则代数式eq \r(m2＋n2＋3mn)的值为( C )


A．9 B．4 C．3 D．5


16．已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋6＝0的两根为x1，x2，且x1＋x2＝－2，则m＝__－2__．


【解析】 ∵x1＋x2＝－eq \f(－4,m)＝eq \f(4,m)，∴－2＝eq \f(4,m)，∴m＝－2.


17．设α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝__4__．


【解析】 因为α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋3α－7＝0，α＋β＝－3，α2＋4α＋β＝α2＋3α＋α＋β＝4.


18．关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2.


(1)求m的取值范围；


(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．


解：(1)∵原方程有两个实数根，


∴Δ＝9－4(m－1)≥0，解得m≤eq \f(13,4).


(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1，


∴2×(－3)＋(m－1)＋10＝0，解得m＝－3，符合题意．





19．已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0.


(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；


(2)若此方程有两个实数根x1，x2，且│x1－x2│＝2，求k的值．


解：(1)证明：Δ＝[－(3k－1)]2－4k·2(k－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，


所以无论k为何实数，方程总有实数根；


(2)由根与系数关系，得x1＋x2＝eq \f(3k－1,k)，x1x2＝eq \f(2（k－1）,k)，


∵│x1－x2│＝2，


∴(x1－x2)2＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝4，


故(eq \f(3k－1,k))2－eq \f(8（k－1）,k)＝4，整理，得3k2－2k－1＝0.


解得k1＝1，k2＝－eq \f(1,3).


经检验，k1＝1，k2＝－eq \f(1,3)都是原分式方程的解，


∴k1＝1，k2＝－eq \f(1,3).