人教版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系达标测试

这是一份人教版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系达标测试，共50页。试卷主要包含了利用一元二次方程解决增长率问题，利用一元二次方程解决传播问题，利用一元二次方程解决营销问题等内容，欢迎下载使用。

类型一、利用一元二次方程解决增长率问题
例1．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？
【变式1-1】在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了．
(1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表：
(2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率．
【变式1-2】某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【变式1-3】为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室．2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率；
(2)2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元．2025年为提高微型图书阅览室品质，每个社区建设费用增加25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？
类型二、利用一元二次方程解决传播问题
例2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？
【变式2-1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．
(1)问每轮传染中平均个人传染了几个人？
(2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？
【变式2-2】据最新监测数据显示，2024年流感疫情在全球范围内呈现出一定的波动，但总体趋势以甲型流感（A型流感）为主．特别是A（H1N1）pdm09亚型流感病毒，成为当前最主要的流行毒株．某兴趣小组，通过收集数据，发现最开始如果有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81人患了流感，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【变式2-3】在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次；
(2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数；
(3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论；
(4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值．
类型三、利用一元二次方程解决营销问题
例3．在2024年大满贯比赛期间，买一件文创T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．商店以40元每件的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，四月份的销售量为192件，六月份的销售量为300件．
(1)求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率．
(2)从七月份起，商场决定采用降价销售回馈顾客，经试验，发现该款T恤在六月销售量的基础上，每降1元，月销售量就会增加20件，则七月份的利润能达到8000元吗？请说明理由．
【变式3-1】公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售个，3月份销售个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔每个进价为元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为元时，月销售量为个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少个，在尽量让利消费者的情况下，经销商想获利元，则每个头盔的售价应定为多少元？
【变式3-2】某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件．
(1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率；
(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？
【变式3-3】近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元．
(1)求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率
(2)该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？
类型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题
例4．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．
【变式4-1】如图：利用一面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边为xm，矩形的面积为．
(1)若面积，求的长；
(2)能围成面积为的矩形吗？说明理由．
【变式4-2】如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由．
【变式4-3】如图，小明打算用总长度为的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙长，设的长为．
(1)的长为多少米？（用含的代数式表示）
(2)若矩形花园的面积为，求的长．
(3)矩形花园的面积是否有可能达到？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由．
类型五、利用一元二次方程解决动态几何问题
例5．如图，在矩形中，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，到达B点时停止，点Q以的速度向点D移动．
(1)P，Q两点运动多长时间，点P和点Q的距离是？
(2)P，Q两点运动多长时间，四边形的面积为？
【变式5-1】如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，求经过几秒，
(1)点P，Q之间的距离为？
(2)的面积等于？
【变式5-2】在中，，，．
(1)如图1，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过秒后，的长为______．
(2)在（1）的条件下，经过几秒的面积等于？
(3)如图2，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过几秒的面积等于？
【变式5-3】如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到A即停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为．
(1)当______时，四边形是矩形；
(2)当______时，四边形是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．
一、单选题
1．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
2．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．期图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ）
A．B．C．D．
4．哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价灵石，则列出方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（ ）
A．B．
C．或D．或
二、填空题
6．某工厂生产的笔记本，每本成本10元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1元，则平均每次降低成本的百分率是 ．
7．一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折
8．如图，要利用一面墙（墙长为）建猪圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形猪圈，则猪圈的边长为 m．
9．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学．
10．如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ．
三、解答题
11．据统计，某企业年利润为万元，年利润为万元，该企业年到年利润的年平均增长率都相同．
(1)求该企业利润的年平均增长率；
(2)若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过万元？
12．新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在病毒传播中，若1个人患病，若不加隔离防控每轮传染中平均一个人传染个人，经过两轮传染就共有625人患病．
(1)求出的值；
(2)若在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，按照这样的传染速度，两轮传染后，一共有多少人患病？
13．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．
(1)问该校八年级共有几个班？
(2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？
14．有这么一种核桃，个头不大，外表不类，但平均售价达到22元一斤，这就是赫章核桃．某核桃种植基地到2020年年底已经种植核桃100亩，到2022年年底核桃的种植面积达到196亩．
(1)求该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率．
(2)经市场调查发现，当核桃的售价为22元/斤时，每天能售出200斤，销售单价每降低1元，每天可多售出50斤．为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地核桃的平均成本为14元/斤，若使销售核桃每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？
15．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽．
(3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由．
16．一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和240元采购乙化工原料，发现甲化工原料的桶数是乙化工原料桶数的2倍．
(1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元．
(2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是元，每桶乙化工原料的进价是元，甲、乙售价不变．为了扩大生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少，购买的乙化工原料的数量是第一次的3倍．若供应商第二次共获利368元，求的值．
17．中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．

(1)填空：__________，__________（用含的代数式表示）；
(2)是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求比此时的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在的值，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
18．综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用、两种包装，当前销售的相关信息如下表：
该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋．
根据以上信息解决问题：设包装洗衣粉每袋售价提高元．
(1)问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由．
(2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元．
①求关于的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2126" 典例详解
\l "_Tc13331" 类型一、利用一元二次方程解决增长率问题
\l "_Tc15643" 类型二、利用一元二次方程解决传播问题
\l "_Tc25132" 类型三、利用一元二次方程解决营销问题
\l "_Tc17131" 类型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题
\l "_Tc16259" 类型五、利用一元二次方程解决动态几何问题
\l "_Tc303" 压轴专练
一、增长率问题的基本公式
增长率问题的核心公式为：N= a(1+x)n ，其中：
a 表示初始量（基期量）；
x 表示平均增长率（通常设为未知数）；
n 表示增长次数（如年数、周期数）；
N 表示经过n次增长后的最终量（末期量）。
若为下降率，则公式变为 N = a(1 - x)n ，x为平均下降率。
二、一元二次方程的建立与求解
当增长次数n=2时，公式可转化为一元二次方程： a(1 + x)2 = N 。
步骤：先整理方程为一般形式 ax2+bx+c=0（此处a为系数，与初始量a区分），再用配方法、公式法或因式分解法求解。
注意：解出的 x 需为正数（增长率），且符合实际意义，需舍去不合理的解（如负数解）。
三、实际问题中的关键分析
明确“初始量”和“末期量”：需从题目中准确提取增长前后的具体数值，避免混淆。
区分“累计增长”与“单次增长”：若问题涉及两年的总增长量，需用“第一年增长量 + 第二年增长量 = 总增长量”列式，而非直接套用平方公式。
单位与精度：结果通常需化为百分数，且根据题意保留合适的小数位数（如精确到1%）。
年份
年销售A型汽车总量/万辆
年销售A型汽车单价/万元
年销售A型汽车总额/亿元
2023
①______
2025
②______
一、传播问题的基本模型与公式
传播问题的核心模型基于“每轮传播的数量固定”的规律，其通用公式为： N=akn 。其中：
a 代表初始传播源的数量（如开始感染病毒的人数、初始传播消息的个体数）；
k 表示每个传播源在一轮传播中平均能影响的新个体数量（例如一个人平均能传染给 k 个人）；
n 为传播的轮数；
N 是经过 n 轮传播后的总数量（包含初始源和新增个体）。当 n = 2 时，公式变为一元二次方程 a(1 + k)2=N ，此为解决两轮传播问题的常用表达式。
二、一元二次方程的构建与求解要点
在传播问题中建立方程时，需依据题目描述确定 a 、 k 、 N 的具体数值 。
三、实际应用中的关键分析
区分“传播后总数”与“新增数量”：题目可能要求计算新增个体数量，需用传播后的总数减去初始源数量。如上述例子中，第二轮新增感染人数为121 - 1 - 1×10=110人。
挖掘隐含条件：部分题目未直接给出轮数，需根据时间、事件发展阶段等条件推断。例如“经过两天感染人数达到m人，每天感染人数相同”，可默认一天为一轮传播，从而确定传播轮数n = 2。
注意单位与取值范围：传播数量必须为非负整数，结果需符合实际场景，避免出现小数或负数解。通过以上三点，可系统掌握利用一元二次方程解决传播问题的核心逻辑与解题技巧。
一、利润问题的基本数量关系
营销问题的核心公式为：总利润 = 单件利润×销售数量。其中，单件利润 = 售价 - 进价；售价常通过“原价±价格调整量”表示，销售数量与价格调整存在关联，如价格每降低m元，销量增加n件 。这些关系是构建方程的基础，例如售价为x元，进价为a元，初始销量为b件，价格每降1元多售c件，则总利润y=(x - a)[b + c(原价 - x)]。
二、一元二次方程的建立与求解
根据题目中“总利润目标”或“销量与售价关系”，将上述数量关系转化为一元二次方程。如已知总利润为固定值，代入公式得到形如(x - a)(b + cx)=d的方程，整理为一般式后用合适方法求解。需检验解的合理性，舍去使售价或销量不符合实际（如为负）的解。
三、实际问题中的变量分析
要精准分析价格、销量、成本等变量间的动态联系。例如，考虑价格调整对销量的影响方向（增或减），以及成本是否随销量变化。同时，结合实际经营场景判断最优解，如求最大利润时，可通过二次函数性质或比较方程的解，选择符合市场条件的售价方案。
一、图形面积的基本公式与变形
解决图形问题的基础是掌握常见图形的面积公式，如长方形面积S = 长×宽，正方形面积S = 边长×边长，三角形面积S=12×底×高等。当图形存在边长变化或拼接组合时，需根据条件对公式进行变形。例如，长方形的长和宽分别增加x，则新面积S=(原长 + x)(原宽 + x)，为建立一元二次方程提供依据。
二、一元二次方程的构建与求解
根据图形的面积、周长等条件建立方程。如已知图形变化后的面积为固定值，将边长与面积关系代入公式得到方程，例如(a + x)(b + x)=c，展开整理为一元二次方程的一般形式x2+(a + b)x+ab - c = 0，再通过因式分解法、公式法等求解。需结合图形实际意义，舍去使边长为负或不符合图形逻辑的解。
三、图形问题中的几何关系分析
解题时要挖掘图形的隐含条件，如矩形对边相等、直角三角形的勾股定理等。若涉及拼接、裁剪等操作，需理清边长的等量关系，例如裁剪正方形后剩余图形的面积计算，或拼接图形后周长与面积的变化。同时，注意单位统一，确保计算结果符合图形的尺寸要求和实际场景。
一、动态几何中的变量关系与公式
动态几何问题需用变量表示运动中的线段长度、图形面积等。例如，点在线段上以速度v运动，运动时间为t，则运动的距离为vt；矩形的两边长随时间变化，其面积S = (a + vt)(b - ut)（a、b为初始边长，v、u为边长变化速度）。通过分析运动规律，结合三角形面积、勾股定理等基本公式，建立含变量的等式。
二、一元二次方程的建立与求解策略
根据题目中面积、距离等定量条件，将变量关系转化为一元二次方程。如当三角形面积达到特定值时，代入面积公式得到方程，整理为一般形式后求解。例如，利用勾股定理建立方程(a - vt)2 + (b - ut)2 = c2 。求解后需结合运动范围检验，舍去超出图形边界或时间为负等不符合实际的解。
三、动态过程中的几何性质应用
要充分利用几何图形的特性，如相似三角形对应边成比例、平行四边形对边相等等等量关系。在动点运动过程中，分析图形形状变化，例如从锐角三角形变为直角三角形时，利用勾股定理建立方程；图形重叠部分面积变化时，结合图形关系列出等式，确保方程建立符合几何逻辑和运动规律。
包装规格
含量（千克/袋）
2
1
成本（元/袋）
10
5
售价（元/袋）
25
17
日销量（袋）
60
40
专题02 一元二次方程的应用的五类综合题型
类型一、利用一元二次方程解决增长率问题
例1．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为；
(2)
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数运算的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
∴该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：（个）．
∴预计7月份该品牌头盔销售量是个．
【变式1-1】在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了．
(1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表：
(2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率．
【答案】(1)
(2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为
【知识点】列代数式、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键．
（1）根据题意列代数式即可；
（2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意得，2023年销售型汽车总额为亿元，
2025年销售型汽车总额为亿元，
故答案为：；
（2）解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，
根据题意，得，
解得（舍去），
答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为．
【变式1-2】某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为
(2)最少购进甲种商品40件
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
【变式1-3】为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室．2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率；
(2)2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元．2025年为提高微型图书阅览室品质，每个社区建设费用增加25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？
【答案】(1)
(2)
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）因为2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，故，再解出的值，即可作答．
（2）先理解题意，得，且结合为正整数，即可作答．
【详解】（1）解：设该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为，
依题意，得，
解得（舍去），
∴该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为；
（2）解：设该市在2025年可以给个社区建设微型图书阅览室，
依题意，得，
解得，
∵为正整数，
∴该市在2025年最多可以给个社区建设微型图书阅览室．
类型二、利用一元二次方程解决传播问题
例2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？
【答案】每个支干长出8个小分支
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．
由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个,每个小分支又长出x个分支,则又长出个分支,则共有个分支,即可列方程求得x的值．
【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：，
解得：或（不合题意，应舍去），
∴
答：每支支干长出8个小分支．
【变式2-1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．
(1)问每轮传染中平均个人传染了几个人？
(2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？
【答案】(1)每轮传染中平均个人传染了个人
(2)第三轮传染后共有人患流感
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解答时根据两轮传染后共有121人建立方程是解题的关键．
（1）设每轮传染中平均每人传染了人，一轮后就有人传染，第二轮就应该传染人，将两轮的总人数加起来建立方程求解即可．
（2）根据（1）中求出一个人传染到第三轮时，共患流感人数，再翻倍即为两个人患流感到第三轮时，共患流感人．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均每人传染了人，
根据题意可得：，
解得：或（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了个人．
（2）解：有一个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人），
当两个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人），
答：第三轮传染后共有人患流感．
【变式2-2】据最新监测数据显示，2024年流感疫情在全球范围内呈现出一定的波动，但总体趋势以甲型流感（A型流感）为主．特别是A（H1N1）pdm09亚型流感病毒，成为当前最主要的流行毒株．某兴趣小组，通过收集数据，发现最开始如果有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81人患了流感，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【答案】每轮传染中平均一个人传染了8个人
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意易得方程，然后求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意得：
，
解得：，（不符题意，舍去）；
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．
【变式2-3】在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次；
(2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数；
(3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论；
(4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值．
【答案】(1)3；10；
(2)8人
(3)
(4)10
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、列代数式、传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）将线段数当成人握手次数来解决问题,（4）根据题意列出方程求解即可．
（1）由握手总数=参加聚会的人数参加聚会的人数，即可求出结论；由参加聚会的人数为n（n为正整数），可知每人需跟人握手，即可求出握手总数；
（2）由（1）的结论结合共握手28次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）将线段数当成人握手次数，结合（1）即可得出结论．
（4）根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：，．
解：∵参加聚会的人数为n（n为正整数），
∴每人需跟人握手，
∴共握手次．
故答案为：3；10；
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：参加聚会的人数为8人．
（3）解：∵线段上共有m个点（不含端点A，B），
∴可当成共有个人握手，
∴线段总数为．
（4）解：根据题意得，，
解得．即边数n的值为10．
类型三、利用一元二次方程解决营销问题
例3．在2024年大满贯比赛期间，买一件文创T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．商店以40元每件的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，四月份的销售量为192件，六月份的销售量为300件．
(1)求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率．
(2)从七月份起，商场决定采用降价销售回馈顾客，经试验，发现该款T恤在六月销售量的基础上，每降1元，月销售量就会增加20件，则七月份的利润能达到8000元吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
（1）该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率x，根据销售量列出方程，求解即可；
（2）设降y元，建立一元二次方程，判断方程是否有解，从而确定利润是否能达到目标值．
【详解】（1）解：该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率x，
则，
，（舍），
答：该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设降y元，
则，
，
，
方程无实数解，
答：所以七月份的利润不能达到8000元．
【变式3-1】公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售个，3月份销售个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔每个进价为元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为元时，月销售量为个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少个，在尽量让利消费者的情况下，经销商想获利元，则每个头盔的售价应定为多少元？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)每个头盔的售价应定为元
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据该品牌头盔1月份及3月份的月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每个头盔的售价为x元，则月销售量为个，根据月销售利润每个头盔的销售利润月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
由题意可得，
解得（舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设每个头盔的售价定为元，则销售量为个，
由题意可得，
整理得
解得．
要尽量让利消费者，
．
答：每个头盔的售价应定为60元．
【变式3-2】某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件．
(1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率；
(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？
【答案】(1)平均下降率为
(2)单价应降低27元
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题关键．
（1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解；
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，然后根据题意可列方程，求解即可．
【详解】（1）设平均下降率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为；
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
∵要减少库存，
∴．
答：单价应降低27元．
【变式3-3】近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元．
(1)求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率
(2)该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？
【答案】(1)集体经济收入的年平均增长率为10%
(2)每千克甜瓜应涨价5元
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可；
（2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，
，
解之得(不合题意，舍去)，
答∶集体经济收入的年平均增长率为；
（2）解：设每千克甜瓜应涨价y元，
，
解之得，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答∶每千克甜瓜应涨价5元．
类型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题
例4．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．
【答案】道路的宽为
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设道路的宽为，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设道路的宽为，
根据题意列方程得：，
解得：或（舍去），
答：道路的宽为．
【变式4-1】如图：利用一面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边为xm，矩形的面积为．
(1)若面积，求的长；
(2)能围成面积为的矩形吗？说明理由．
【答案】(1)的长为或．
(2)不能．理由见解析．
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用——几何面积问题，根的判别式等知识点，解决此题的关键是要熟练运用根的判别式．
（1）根据题意得到方程式解题的关键；得到方程后根据解一元二次方程的步骤求解即可；
（2）由第（1）的思路得到方程，要会根据根的判别式判断方程无解：
【详解】（1）解：设与墙垂直的边为，则其对边也为，余下的一条边长为，矩形面积 ．
∴当 S = 48 时，
即
解得或 ，
∴的长为或．
（2）解：不能，理由如下：
由（1）可知
当 时，
可得方程
化简得：
∴
无实数解，故无法围成面积为 58 的矩形．
【变式4-2】如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)宽为5米，长为米
(3)不能，理由见解析
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意列出代数式即可．
（2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
（3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米，
∴另一边的长为米，
故答案为：；
（2）解：∵花圃的面积刚好为平方米，
∴，
化简得：，
解得：，，
∵墙的最大可用长度为米，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米；
（3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下：
设花圃的一边长为米，
则，
根据题意可得：，
整理得：，
∵，
∴方程无解，
∴建成花圃的面积不可能为平方米．
【变式4-3】如图，小明打算用总长度为的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙长，设的长为．
(1)的长为多少米？（用含的代数式表示）
(2)若矩形花园的面积为，求的长．
(3)矩形花园的面积是否有可能达到？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不可能，理由见解析．
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据判别式判断一元二次方程根的情况、列代数式
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式以及根的判别式.解题的关键在于根据题意列一元二次方程并正确求解．
（1）由题意，知，把的长为，代入即可；
（2）由题意知，，即，求出的取值范围，列出方程求解即可；
（3）矩形花园的面积是不可能达到；列出方程，整理后，该方程没有实数根，故不能．
【详解】（1）解：由题意，知，
长为，
的长为；
（2）解：由题意知，，即，
解得，
又，即，
，
由题意，知，即，
整理，得，
解得（不合题意，舍去），，
的长为；
（3）解：不可能，
理由：由题意，得，
整理，得，
，
该方程没有实数根，
矩形花园的面积不可能达到．
类型五、利用一元二次方程解决动态几何问题
例5．如图，在矩形中，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，到达B点时停止，点Q以的速度向点D移动．
(1)P，Q两点运动多长时间，点P和点Q的距离是？
(2)P，Q两点运动多长时间，四边形的面积为？
【答案】(1)P，Q两点运动或时，点P和点Q的距离是
(2)P，Q两点运动时，四边形的面积为
【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用)、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．
（1）过点Q作于点E．设P，Q两点运动到，根据点P和点Q的距离是列出一元二次方程，解方程即可；
（2）设P，Q两点运动时，四边形的面积为．根据面积为列出一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：过点Q作于点E．
设P，Q两点运动到时，
点P和点Q的距离是，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
答：P，Q两点运动或时，点P和点Q的距离是；
（2）设P，Q两点运动时，四边形的面积为．
根据题意，得，
解得．
答：P，Q两点运动时，四边形的面积为．
【变式5-1】如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，求经过几秒，
(1)点P，Q之间的距离为？
(2)的面积等于？
【答案】(1)秒或2秒
(2)2秒或4秒
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，三角形的面积公式．
（1）设经过秒钟，、之间距离等于，根据点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，表示出和的长可列方程求解；
（2）由于的面积等于，利用三角形面积公式列式求解即可．
【详解】（1）解：设经过秒、之间距离等于，由题意可得，，，
可得：，
整理得，
解得：，，
经检验，，均符合题意，
故经过秒或2秒、之间距离等于；
（2）解：设经过秒的面积等于，
由题意可得，，
，
解得：，，
经检验，，均符合题意，
故经过2秒或4秒，的面积等于．
【变式5-2】在中，，，．
(1)如图1，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过秒后，的长为______．
(2)在（1）的条件下，经过几秒的面积等于？
(3)如图2，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过几秒的面积等于？
【答案】(1)
(2)秒或秒
(3)秒
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；
（1）根据含度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求得的长，进而根据路程等于速度乘以时间，再列代数式即可；
（2）根据三角形的面积公式列出方程，求解即可求出答案；
（3）画出图形，根据，求出边上的高，根据面积列方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：．
（2）设经过t秒，的面积等于．
由题意，得，
化简，得，
解得，．
答：经过秒或秒，的面积等于．
（3）如图，连接，过点Q作于点H．
∵，，
∴．
∵，
∴当的面积等于时，，
即，
整理，得，
解得．
答：经过秒，的面积等于．
【变式5-3】如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到A即停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为．
(1)当______时，四边形是矩形；
(2)当______时，四边形是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．
【答案】(1)当时，四边形为矩形；
(2)当时，四边形为菱形；
(3)不存在某一时刻使得，理由见解析
(4)当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
【知识点】用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用)、证明四边形是菱形、矩形与折叠问题
【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得的值；
（2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间；
（3）过作，交于，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案；
（4）根据折叠的性质得出，进而在中，，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：由已知可得，，，
在矩形中，， ，，
当时，四边形为矩形，
∴，
解得：，
故当时，四边形为矩形；
（2）解：，，
∴，
即，
∵，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，，
∴此时，
解得，
故当时，四边形为菱形；
（3）解：不存在；理由如下：
过作，交于，如图所示：
则，
∵，
四边形是矩形，
，，
，
矩形中，
∴为直角三角形，
，
，
，
即：
，
，
此方程无实数根，
不存在某一时刻使得；
（4）解：如图所示，
根据折叠可知：
，，
在矩形中，
，
，
，
，
∵，
∴在中，根据勾股定理得：
，
，
即：，
解得：，
答：当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题．
一、单选题
1．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可．
【详解】解：设九（1）班共有x名学生，
由题意得：，
故选：B．
2．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续降价问题．
设两年前的价格为，每年降价率为，根据今年价格是两年前的一半，列出方程，即可解答．
【详解】解：设两年前的价格为()，每年降价的百分率为．依题意，得
即．
故选C．
3．期图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为．
故选：B．
4．哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价灵石，则列出方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设降价灵石，则每个迷你风火轮的利润为元，销售量为个，再根据总利润为4000灵石列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：B．
5．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，，则，由勾股定理得到，则，则由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
在中，，，，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或，
故选：C．
二、填空题
6．某工厂生产的笔记本，每本成本10元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1元，则平均每次降低成本的百分率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
设平均每次降低成本的百分率为，则由题意得，，计算满足要求的的值即可．
【详解】解：设平均每次降低成本的百分率为，
则由题意得，，
解得，或（不合题意，舍去），
∵，
∴平均每次降低成本的百分率为，
故答案为：．
7．一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折
【答案】9
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设每次打了折，根据题意列出方程，解出的值即可解答．
【详解】解：设每次打了折，
由题意得，，
解得：，（舍去），
每次打了9折．
故答案为：9．
8．如图，要利用一面墙（墙长为）建猪圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形猪圈，则猪圈的边长为 m．
【答案】20
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设的长度为，则的长度为．然后根据矩形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：设的长度为，则的长度为．
根据题意，得，
解得，
则或．
，
舍去，
．
所以，猪圈的边长为是．
故答案为：20．
9．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学．
【答案】6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
设一个人每节课手把手教会了��名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于��的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得，
解得（不合题意，舍去），
∴1人每次能手把手教会6名同学．
故答案为：6．
10．如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ．
【答案】0.5或5
【分析】本题考查动点问题应用，注意分类思想应用，平行四边形的性质，掌握速度时间与路程的关系，以及分类思想应用是解题关键．平行四边形的长宽之比为，分两种情况，当时，，，，利用求出t，求出的长，利用求解即可．
【详解】解：平行四边形的长宽之比为，
当时，，
∴，
∵点的速度为，
∴秒，
设Q的速度为，
∴，解得，
当，
∴，
∴秒，
∴，
∴，
∴Q点运动的速度或5cm/秒．
三、解答题
11．据统计，某企业年利润为万元，年利润为万元，该企业年到年利润的年平均增长率都相同．
(1)求该企业利润的年平均增长率；
(2)若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过万元？
【答案】(1)
(2)不能
【分析】（）该企业利润的年平均增长率为，根据题意列出方程解答即可；
（）根据题意列出算式计算即可判断求解；
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：该企业利润的年平均增长率为，
由题意得，，
解得，（不合，舍去），
答：该企业利润的年平均增长率为；
（2）解：∵，
∴该企业年的利润不能超过万元．
12．新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在病毒传播中，若1个人患病，若不加隔离防控每轮传染中平均一个人传染个人，经过两轮传染就共有625人患病．
(1)求出的值；
(2)若在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，按照这样的传染速度，两轮传染后，一共有多少人患病？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）首先求出经过第一轮传染后，共有人感染，然后根据题意列式求解即可．
【详解】（1）根据题意可得，
解得或（舍去）；
（2）∵1个人患病，每轮传染中平均一个人传染24个人，
∴经过第一轮传染后，共有人感染，
∵在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，
∴．
∴两轮传染后，一共有385人患病．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
13．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．
(1)问该校八年级共有几个班？
(2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？
【答案】(1)10个班
(2)5场
【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：该校八年级共有个班，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该校八年级共有10个班；
（2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为5．
答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
14．有这么一种核桃，个头不大，外表不类，但平均售价达到22元一斤，这就是赫章核桃．某核桃种植基地到2020年年底已经种植核桃100亩，到2022年年底核桃的种植面积达到196亩．
(1)求该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率．
(2)经市场调查发现，当核桃的售价为22元/斤时，每天能售出200斤，销售单价每降低1元，每天可多售出50斤．为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地核桃的平均成本为14元/斤，若使销售核桃每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？
【答案】(1)该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为
(2)销售单价应降低3元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底核桃的种植面积该基地2020年年底核桃的种植面积该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设销售单价应降低y元，则每斤的销售利润为元，每天能售出斤，利用总利润每斤的销售利润日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论．
【详解】（1）解：设该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为；
（2）销售单价应降低y元，则每斤的销售利润为元，
根据题意得：，
解得：，．
又∵要尽快减少库存，
∴．
答：销售单价应降低3元．
15．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽．
(3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)花圃的长与宽边分别为9米和5米
(3)建成花圃的面积不可能为60平方米
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；
（1）设花圃的宽长为x米，则米；
（2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案；
（3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案．
【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为x米，
∴另一边的长为米，
故答案为：；
（2）解：∵花圃的面积刚好为平方米，
∴，
化简得：，
解得：，，
∵墙的最大可用长度为14米，
∴，
∴，
∴，
∴，，
答：此时花圃的长与宽边分别为9米和5米；
（3）解：建成花圃的面积不可能为60平方米，理由如下：
∵花圃的面积刚好为平方米，
∴，
化简得：，
∴，
∴方程无解，
∴建成花圃的面积不可能为60平方米．
16．一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和240元采购乙化工原料，发现甲化工原料的桶数是乙化工原料桶数的2倍．
(1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元．
(2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是元，每桶乙化工原料的进价是元，甲、乙售价不变．为了扩大生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少，购买的乙化工原料的数量是第一次的3倍．若供应商第二次共获利368元，求的值．
【答案】(1)每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元
(2)a的值为6
【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的分式方程和一元二次方程是解题的关键．
（1）设每桶甲化工原料的售价为x元，则每桶乙化工原料的售价为元，根据花费800元采购甲化工原料的桶数是花费240元采购乙化工原料桶数的2倍．列出分式方程，求解并检验即可得到答案；
（2）先求出第一次购买甲、乙化工原料的桶数，根据供应商第二次共获利368元，列出一元二次方程，解方程选取符合实际的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：设每桶甲化工原料的售价为x元，则每桶乙化工原料的售价为元，
根据题意：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则（元），
答：每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元；
（2）解：第一次购买甲化工原料（桶），第一次购买乙化工原料（桶），
由题意得，，
整理得：，
解得：或（舍去，不符合题意），
答：a的值为．
17．中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．

(1)填空：__________，__________（用含的代数式表示）；
(2)是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求比此时的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在的值，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或2
【分析】本题属于三角形综合题，考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
（1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值．
（2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值．
（3）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值．
【详解】（1）由题意，得
，．
故答案为：，．
（2）由题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，的面积等于．
（3）在中，由勾股定理，得
，
解得：，．
或2时，．
18．综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用、两种包装，当前销售的相关信息如下表：
该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋．
根据以上信息解决问题：设包装洗衣粉每袋售价提高元．
(1)问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由．
(2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元．
①求关于的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
【答案】(1)能，A包装洗衣粉的售价为30或35元
(2)①；②见解析，达不到1450元
【分析】本题主要考查一元二次方程，一次函数的运用．
（1）由题意设包装洗衣粉每袋售价提高元（），则每袋的利润为（元），日销售量为袋，由此列方程求解即可；
（2）①厂家每日定额产销150千克洗衣粉，包装洗衣粉提价元后的日销售量为袋，每袋量2千克，包装洗衣粉日销量为袋，降低元后的销量为，每袋含量为1千克，由此列式求解即可；
②包装洗衣粉提价后的利润为（元），包装洗衣粉降低元后的利润为（元），由此列式求解即可．
【详解】（1）解：能，理由如下，
由题意设包装洗衣粉每袋售价提高元（），则每袋的利润为（元），日销售量为袋，
∴，
解，得，
∴（元）或（元），
包装洗衣粉的售价为30或35元；
（2）解：①厂家每日定额产销150千克洗衣粉，包装洗衣粉提价元后的日销售量为袋，每袋量2千克，包装洗衣粉日销量为袋，降低元后的销量为，每袋含量为1千克，
∴，
化简，得；
②包装洗衣粉提价后的利润为（元），包装洗衣粉降低元后的利润为（元），
∴日总利润为
，
∴，
此时，
∴达不到1450元．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2126" 典例详解
\l "_Tc13331" 类型一、利用一元二次方程解决增长率问题
\l "_Tc15643" 类型二、利用一元二次方程解决传播问题
\l "_Tc25132" 类型三、利用一元二次方程解决营销问题
\l "_Tc17131" 类型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题
\l "_Tc16259" 类型五、利用一元二次方程解决动态几何问题
\l "_Tc303" 压轴专练
一、增长率问题的基本公式
增长率问题的核心公式为：N= a(1+x)n ，其中：
a 表示初始量（基期量）；
x 表示平均增长率（通常设为未知数）；
n 表示增长次数（如年数、周期数）；
N 表示经过n次增长后的最终量（末期量）。
若为下降率，则公式变为 N = a(1 - x)n ，x为平均下降率。
二、一元二次方程的建立与求解
当增长次数n=2时，公式可转化为一元二次方程： a(1 + x)2 = N 。
步骤：先整理方程为一般形式 ax2+bx+c=0（此处a为系数，与初始量a区分），再用配方法、公式法或因式分解法求解。
注意：解出的 x 需为正数（增长率），且符合实际意义，需舍去不合理的解（如负数解）。
三、实际问题中的关键分析
明确“初始量”和“末期量”：需从题目中准确提取增长前后的具体数值，避免混淆。
区分“累计增长”与“单次增长”：若问题涉及两年的总增长量，需用“第一年增长量 + 第二年增长量 = 总增长量”列式，而非直接套用平方公式。
单位与精度：结果通常需化为百分数，且根据题意保留合适的小数位数（如精确到1%）。
年份
年销售A型汽车总量/万辆
年销售A型汽车单价/万元
年销售A型汽车总额/亿元
2023
①______
2025
②______
一、传播问题的基本模型与公式
传播问题的核心模型基于“每轮传播的数量固定”的规律，其通用公式为： N=akn 。其中：
a 代表初始传播源的数量（如开始感染病毒的人数、初始传播消息的个体数）；
k 表示每个传播源在一轮传播中平均能影响的新个体数量（例如一个人平均能传染给 k 个人）；
n 为传播的轮数；
N 是经过 n 轮传播后的总数量（包含初始源和新增个体）。当 n = 2 时，公式变为一元二次方程 a(1 + k)2=N ，此为解决两轮传播问题的常用表达式。
二、一元二次方程的构建与求解要点
在传播问题中建立方程时，需依据题目描述确定 a 、 k 、 N 的具体数值 。
三、实际应用中的关键分析
区分“传播后总数”与“新增数量”：题目可能要求计算新增个体数量，需用传播后的总数减去初始源数量。如上述例子中，第二轮新增感染人数为121 - 1 - 1×10=110人。
挖掘隐含条件：部分题目未直接给出轮数，需根据时间、事件发展阶段等条件推断。例如“经过两天感染人数达到m人，每天感染人数相同”，可默认一天为一轮传播，从而确定传播轮数n = 2。
注意单位与取值范围：传播数量必须为非负整数，结果需符合实际场景，避免出现小数或负数解。通过以上三点，可系统掌握利用一元二次方程解决传播问题的核心逻辑与解题技巧。
一、利润问题的基本数量关系
营销问题的核心公式为：总利润 = 单件利润×销售数量。其中，单件利润 = 售价 - 进价；售价常通过“原价±价格调整量”表示，销售数量与价格调整存在关联，如价格每降低m元，销量增加n件 。这些关系是构建方程的基础，例如售价为x元，进价为a元，初始销量为b件，价格每降1元多售c件，则总利润y=(x - a)[b + c(原价 - x)]。
二、一元二次方程的建立与求解
根据题目中“总利润目标”或“销量与售价关系”，将上述数量关系转化为一元二次方程。如已知总利润为固定值，代入公式得到形如(x - a)(b + cx)=d的方程，整理为一般式后用合适方法求解。需检验解的合理性，舍去使售价或销量不符合实际（如为负）的解。
三、实际问题中的变量分析
要精准分析价格、销量、成本等变量间的动态联系。例如，考虑价格调整对销量的影响方向（增或减），以及成本是否随销量变化。同时，结合实际经营场景判断最优解，如求最大利润时，可通过二次函数性质或比较方程的解，选择符合市场条件的售价方案。
一、图形面积的基本公式与变形
解决图形问题的基础是掌握常见图形的面积公式，如长方形面积S = 长×宽，正方形面积S = 边长×边长，三角形面积S=12×底×高等。当图形存在边长变化或拼接组合时，需根据条件对公式进行变形。例如，长方形的长和宽分别增加x，则新面积S=(原长 + x)(原宽 + x)，为建立一元二次方程提供依据。
二、一元二次方程的构建与求解
根据图形的面积、周长等条件建立方程。如已知图形变化后的面积为固定值，将边长与面积关系代入公式得到方程，例如(a + x)(b + x)=c，展开整理为一元二次方程的一般形式x2+(a + b)x+ab - c = 0，再通过因式分解法、公式法等求解。需结合图形实际意义，舍去使边长为负或不符合图形逻辑的解。
三、图形问题中的几何关系分析
解题时要挖掘图形的隐含条件，如矩形对边相等、直角三角形的勾股定理等。若涉及拼接、裁剪等操作，需理清边长的等量关系，例如裁剪正方形后剩余图形的面积计算，或拼接图形后周长与面积的变化。同时，注意单位统一，确保计算结果符合图形的尺寸要求和实际场景。
一、动态几何中的变量关系与公式
动态几何问题需用变量表示运动中的线段长度、图形面积等。例如，点在线段上以速度v运动，运动时间为t，则运动的距离为vt；矩形的两边长随时间变化，其面积S = (a + vt)(b - ut)（a、b为初始边长，v、u为边长变化速度）。通过分析运动规律，结合三角形面积、勾股定理等基本公式，建立含变量的等式。
二、一元二次方程的建立与求解策略
根据题目中面积、距离等定量条件，将变量关系转化为一元二次方程。如当三角形面积达到特定值时，代入面积公式得到方程，整理为一般形式后求解。例如，利用勾股定理建立方程(a - vt)2 + (b - ut)2 = c2 。求解后需结合运动范围检验，舍去超出图形边界或时间为负等不符合实际的解。
三、动态过程中的几何性质应用
要充分利用几何图形的特性，如相似三角形对应边成比例、平行四边形对边相等等等量关系。在动点运动过程中，分析图形形状变化，例如从锐角三角形变为直角三角形时，利用勾股定理建立方程；图形重叠部分面积变化时，结合图形关系列出等式，确保方程建立符合几何逻辑和运动规律。
包装规格
含量（千克/袋）
2
1
成本（元/袋）
10
5
售价（元/袋）
25
17
日销量（袋）
60
40