初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程课时训练

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程课时训练，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程一定是一元二次方程的是( )
A. 2x−1=4x+3B. 2x2+y−1=0C. 2x2−1=3D. ax2+bx+c=0
2.一元二次方程3x2−2x=3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( )
A. 3、2、−3B. 3、2、3C. 3、−2、3D. 3、−2、−3
3.将一元二次方程(2x+3)(3x−5)=1化为ax2+bx+c=0(a>0)的形式，其常数项是( )
A. 15B. −15C. 14D. −16
4.已知x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个解，则a的值是( )
A. 3B. 2C. 0D. −3
5.若x=−3是关于x的一元二次方程x2+ax+3b=0的解，则a−b的值为( )
A. 3B. −3C. 9D. −9
6.若关于x的方程(m−1)x|m|+1−3x+4=0是一元二次方程，则m应满足的条件是( )
A. m=−1B. m=1C. m=±1D. m=2
7.若关于x的一元二次方程mx2+nx−2024=0(m≠0)的一个解是x=1，则m+n+1的值是( )
A. 2025B. 2024C. 2023D. 2022
二、填空题：
8.关于x的一元二次方程有一个根是1，写出一个符合条件的一元二次方程______．
9.若(m−1)x2−3x=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是______．
10.一元二次方程(2y−1)(2y+5)=7y−4，化为一元二次方程的一般形式是 ．
11.若关于x的一元二次方程a−1x2−ax+a2=0的一个根为1.则a= ．
12.若关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，则m+n的值是 ．
13.若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是 ．
三、解答题：
14.计算：(12x2−3xy+34y2)(−2x)2．
15.先化简，再求值：(a+1a−1−aa+1)÷3a2+aa2−2a+1−1a，其中a是方程2x2+2x−3=0的根．
16.已知关于x的方程(2k+1)x2−4kx+k−1=0．
(1)当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程？请求出这个一元一次方程的根．
(2)当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
17.已知a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，求2a2+4a的值．
18.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．
(1)若此方程有一个根是1，则a+b+c的值是 ；
(2)已知9a+c=3b，试写出该方程的一个根，并说明理由；
(3)若此方程的两个根分别为1和−3，则关于x的方程a(x−2)2+bx−2=−c的根为 ．
19.已知关于x的一元二次方程x2+k+4x+k+3=0的两根是x1,x2．
(1)证明：无论k为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的一个根为1，求它的另一个根和k的值；
(3)无论k为何值，方程总有一个不变的根为___________．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、2x−1=4x+3，是一元一次方程，不符合题意；
B、2x2+y−1=0，方程中含有两个未知数，不符合题意；
C、2x2−1=3，符合一元二次方程的定义，符合题意；
D、ax2+bx+c=0，当a=0时，该方程中未知数的最高次数不是2，不符合题意；
故选：C．
一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题主要考查了一元二次方程的定义；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
移项，把右边化为0，变为一般式即可得出答案．
【解答】
解：3x2−2x=3，
即3x2−2x−3=0，
即二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、−2、−3．
故选D．
3.【答案】D
【解析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键是熟知一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0a≠0，其中是ax2二次项，bx是一次项，c为常数项．先移项将一元二次方程化为一般式，再找出常数项即可．
【详解】解：(2x+3)(3x−5)=1
∴6x2−10x+9x−15=1
∴6x2−x−16=0
常数项是−16
故选：D．
4.【答案】D
【解析】解：∵x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个解，
∴12+2+a=0，
∴a=−3．
故选D．
5.【答案】A
【解析】解：将x=−3代入原方程可得：9−3a+3b=0，
∴3a−3b=9，
∴a−b=3．
6.【答案】A
7.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx−2024=0(m≠0)的一个解是x=1，
∴m+n−2024=0，
∴m+n=2024，
∴m+n+1=2025，
故选：A．
根据关于x的一元二次方程mx2+nx−2024=0(m≠0)的一个解是x=1，可以得到m+n−2024=0，从而可以得到m+n=2024，进而得到m+n+1=2025．
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立．
8.【答案】x2−2x+1=0(答案不唯一)
【解析】解：设原方程为(x−x1)(x−x2)=0，
当x1=x2=1时，原方程为(x−1)2=0，即x2−2x+1=0，
∴符合条件的一元二次方程可以是x2−2x+1=0．
故答案为：x2−2x+1=0(答案不唯一)．
设原方程为(x−x1)(x−x2)=0，代入x1=x2=1，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
9.【答案】m≠1
【解析】解：若(m−1)x2−3x=0是关于x的一元二次方程，
则m−1≠0，
所以m≠1，
故答案为：m≠1．
根据一元二次方程的定义解答即可．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
10.【答案】4y2+y−1=0
11.【答案】−1
【解析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到a2−1=0，根据题意求解即可．
【详解】解：将x=1代入a−1x2−ax+a2=0得
a−1−a+a2=0，整理得a2−1=0，
解得a=1或a=−1
当a=1时，原方程二次项系数为零，不满足题意，
∴a=−1，
故答案为：−1
12.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
把x=1代入方程mx2+nx−1=0得到m+n−1=0，然后求得m+n的值即可．
【解答】
解：把x=1代入方程mx2+nx−1=0得m+n−1=0，
解得m+n=1．
故答案为：1．
13.【答案】y1=2，y2=−6
【解析】根据关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，令关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0中x=y+1，即可得到y1+1=x1y2+1=x2，解这个方程组即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，
令x=y+1，则y1+1=x1=3或y2+1=x2=−5，解得y1=2，y2=−6，
故答案为：y1=2，y2=−6．
14.【答案】解：原式=(12x2−3xy+34y2)⋅4x2
=12x2⋅4x2−3xy⋅4x2+34y2⋅4x2
=2x4−12x3y+3x2y2．
【解析】根据单项式乘多项式法则以及积的乘方运算即可求出答案．
本题考查单项式乘多项式以及积的乘方运算，本题属于基础题型．
15.【答案】解：(a+1a−1−aa+1)÷3a2+aa2−2a+1−1a
=(a+1)2−a(a−1)(a+1)(a−1)⋅(a−1)2a(3a+1)−1a
=a2+2a+1−a2+aa+1⋅a−1a(3a+1)−1a
=3a+1a+1⋅a−1a(3a+1)−1a
=a−1a(a+1)−1a
=a−1−(a+1)a(a+1)
=a−1−a−1a2+a
=−2a2+a，
∵a是方程2x2+2x−3=0的根，
∴2a2+2a−3=0，
∴2a2+2a=3，
∴a2+a=32，
∴原式=−232=−43．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a是方程2x2+2x−3=0的根，可以得到a2+a的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
16.【答案】【小题1】
当2k+1=0，即k=−12时，该方程是一元一次方程．这个方程的根为x=34
【小题2】
当2k+1≠0，即k≠−12时，该方程是一元二次方程．二次项系数是2k+1，一次项系数是−4k，常数项是k−1
17.【答案】解：∵a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，
∴a2+2a−3=0，∴a2+2a=3，∴2a2+4a=2a2+2a=2×3=6．

18.【答案】【小题1】
0
【小题2】
该方程的一个根为−3.理由如下：
∵9a+c=3b，∴9a−3b+c=0．
将x=−3代入方程，得左边=9a−3b+c=0=右边，∴该方程的一个根为−3；
【小题3】
x=3或x=−1
【解析】1. a+b+c=0
3. 关于x的方程可整理为a(x−2)2+bx−2+c=0．
设x−2=t，则at2+bt+c=0，∴t=1或t=−3，
即x−2=1或x−2=−3，∴x=3或x=−1．
19.【答案】 (2)k=−4，另一个根为−1
(3)x=−1
【解析】【分析】(1)证明方程的根的判别式Δ=b2−4ac=k+42−4×1×k+3≥0即可．
(2)把x=1代入方程x2+k+4x+k+3=0，得到关于k的方程，解答即可．
(3)公式法求得方程根判断即可．
【小问1详解】
∵方程x2+k+4x+k+3=0，a=1,b=k+4,c=k+3，
∴Δ=b2−4ac=k+42−4×1×k+3=k2+4k+4=k+22≥0，
∴无论k为何值，该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
把x=1代入方程x2+k+4x+k+3=0，
得1+k+4+k+3=0，
解得k=−4，
∴方程x2−1=0，
解得x1=1,x2=−1，
故k=−4，另一个根为−1．
【小问3详解】
∵方程x2+k+4x+k+3=0，a=1,b=k+4,c=k+3，
∴Δ=b2−4ac=k+42−4×1×k+3=k2+4k+4=k+22≥0，
∴x=−k+4±k+22
∴x1=−1,x=−k−3，
此时方程总有一个不变的根为x=−1；
故答案为：x=−1．
【点睛】本题考查了根的判别式，公式法解方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．