高中数学人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积随堂练习题

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 圆柱的表面积与体积
题型2：圆锥的表面积与体积
题型3：圆台的表面积与体积
题型4：球的表面积与体积
题型5：外接球问题
题型6：内切球问题
题型7：几何体的表面积（体积）的最值问题
题型8：简单组合体的表面积和体积
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点1：圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱的表面积
①圆柱的侧面积：
圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为.
②圆柱的表面积：
.
（2）圆锥的表面积
①圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为
②圆锥的表面积：
（3）圆台的表面积
①圆台的侧面积：
圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为
②圆台的表面积：
知识点2：圆柱、圆锥、圆台的体积
（1）圆柱的体积：
（2）圆锥的体积：
（3）圆台的体积：
知识点3：球的表面积和体积
（1）球的表面积：
（2）球的体积:
二、重点题型分类研究
题型1: 圆柱的表面积与体积
典型例题
例题1．要制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】解：设圆柱的高为，底面半径为．，
．
当且仅当，即当时取等号．此时．
即当，时取得最小值．
故选：C.
例题2．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.
【答案】2
【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则体积为，体积扩大为原来的4倍，则扩大后的体积为，因为高不变，故体积，即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为，扩大后的圆柱侧面积为，故侧面积扩大为原来的2倍.故答案为：2
例题3．某学生到某工厂进行劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.（取）
【答案】4500
【详解】解：根据题意可知大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高，设小圆柱的底面圆的半径为，则有，即，解得，所以该模型的体积为，所以制作该模型所需原料的质量为.
故答案为：4500.
例题4．一个圆锥的底面半径为，高为，在其内部有一个高为的内接圆柱.
(1)求圆锥的侧面积和体积；
(2)当为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.
【答案】(1)，(2)，
（1）圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积.
圆锥的体积.
（2）设圆柱的底面半径为，由题意，知.
圆柱的侧面积，
当时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为.
同类题型演练
1．一个圆柱的底面半径为，高为，则它的侧面积为___________.
【答案】
【详解】解：圆柱的底面半径为，高为，则它的侧面积为，故答案为：.
2．已知圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面半径为，则该圆柱的表面积为__________．
【答案】
【详解】设圆柱外接球半径为：，圆柱的母线长为：，由圆柱的性质得，外接球球心在上下底面圆心连线的中点处，所以外接球球心到底面的距离为圆柱母线的一半：，所以，又，解得，，所以圆柱的表面积为：.故答案为：.
3．有一根长为hcm，底面半径为rcm的圆柱形铁管，用一段铁丝在该圆柱的侧面上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，若铁丝长度的最小值为40cm，则圆柱侧面积的最大值为______．
【答案】
【详解】若铁丝长度的最小值为40cm，则，所以，所以侧面积为，所以圆柱侧面积的最大值为．故答案为:
4．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的体积为__．
【答案】26000πcm3
【详解】
将相同的两个几何体，对接为圆柱，则所求几何体的体积是新圆柱体积的一半，所求体积为：．故答案为：26000πcm3．
5．一个圆锥的底面半径为，高为，其中有一个高为的内接圆柱.
(1)求圆锥的侧面积；
(2)当为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值.
【答案】(1)(2)当时，圆柱的侧面积最大，最大为
(1)解：圆锥的母线长为，因此，圆锥的侧面积为.
(2)解：设圆柱的底面半径为，则，可得，其中，
所以，圆柱的侧面积为，
当且仅当时，等号成立，故当，圆柱的侧面积最大，最大为.
题型2：圆锥的表面积与体积
典型例题
例题1．在世界文化史上，陀螺的起源甚早，除了南极洲外，在其他大陆都有发现．这样写道：“没有人准确知道人们最初玩陀螺的时间．但古希腊儿童玩过陀螺，而在中国和日本，陀螺成为公众娱乐已有几百年的时间．”已知一陀螺圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，底面圆的直径，这个陀螺的表面积（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得圆锥体的母线长为，所以圆锥体的侧面积为，圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为，
故选:C．
例题2．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（ ）．
A．B．2C．D．
【答案】D
【详解】
如图，由题意知为等腰直角三角形，则，底面圆周长为，
故圆锥的侧面积为.故选：D.
例题3．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
【答案】8π
【详解】如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.
同类题型演练
1．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【详解】设底面半径为，高为，母线为，如图所示：
则圆锥的体积，所以，即，，则，
又，所以，故．故选：C．
2．已知圆锥的顶点为点，高是底面半径的倍，点，是底面圆周上的两点，当是等边三角形时面积为，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：设圆锥的高为h，母线为l，底面半径为r，则由题意得h=r， ，所以，
又，则，所以圆锥的侧面积为，故选；D
3．已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于_______.
【答案】
【详解】如图，设圆锥的母线长为l，高为h，半径为r，则由题意知，所以
所以圆锥的底面周长，所以该圆锥的底面半径，高，所以该圆锥的体积.故答案为：
4．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：
设，在半圆⊙A中，， 弧长，这是圆锥的底面周长，所以，
所以，故圆锥的底面积为；
（2）设圆柱的高，，在中，，
，所以，即，，
，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大，此时.
题型3：圆台的表面积与体积
典型例题
例题1．如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，为线段的四等分点，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设圆台上底面半径为，下底面半径为，则，，解得：，，
圆台上、下底面面积分别为：，，又圆台的侧面积，圆台的表面积.故选：A.
例题2．如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为，则其面积为，得，所以扇环的两个圆弧长分别为和，设圆台的上底半径，下底半径分别为，圆台的高为，
则所以，，又圆台的母线长所以圆台的高为，所以圆台的体积为．故选：D.
例题3．（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【详解】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；
圆台的体积，则选项错误；
圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．故选：AC．
例题4．如图所示的圆锥，顶点为，底面半径是5cm，用一个与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底面半径为2.5cm，这个平面与母线交于点，线段的长为10cm．
(1)求圆台的侧面积；
(2)把一根绳从线段的中点开始沿着侧面绕到点，求这根绳的最短长度；
(3)在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？
【答案】(1)；(2)25cm；(3)2cm
（1）作出圆锥的轴截面和沿OA剪开的侧面展开图，如图所示：
由圆台的下底面半径是5cm，上底面半径是2.5cm，AB的长是10cm，可得，
∴，所以圆台的侧面积；
（2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为，
以为半径的圆周长为，所以刚好占了，所以侧面展开图的圆心角为90°，
在直角三角形中，，所以，所以这根绳的最短长度为25cm；
（3）由侧面展开图可知，当距离最短时，就是点O到直线的距离减OB的长，即，故最短的距离是2cm
同类题型演练
1．已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】易知母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为，易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，所以面积.
故选：C.
2．若一个圆台的高为，母线长为，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为，则圆台的侧面积，可得，又因为圆台的高为，可知，故有，
圆台的体积．故选：B.
3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台的体积为（ ）参考公式：台体的体积公式为.
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设圆台较小的底面的半径为，较大的底面的半径为，母线为，则由得，又因为圆台的侧面积为，所以，即，解得，故，
所以圆台较小的底面面积为，较大的底面面积为，圆台的高，
所以圆台的体积.故选：D.
4．已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为，设圆台的高为h，
如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长，大扇形弧长， 由知道 ，则圆台的侧面积 所以高 ，
圆台的体积 故选：C.
5．如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则该圆台的体积为_________；侧面积为_________．
【答案】
【详解】将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，大小圆锥的顶点为，如图所示，在经过的轴截面上，从点做垂线于，显然且.
∵，，∴，，
又∵∴为的边的中位线，
∵，得则，解得
∴则圆台的体积为圆为底，高为的圆锥体积减去以圆为底，高为的圆锥体积，即
圆台的侧面积.故答案为：；.
题型4：球的表面积与体积
典型例题
例题1．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知，两球的表面积之比为，则，所以两球的体积之比为.故选：C.
例题2．木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）
A．60倍B．倍C．120倍D．倍
【答案】C
【详解】由题意知，木星的体积约是地球体积的倍，
，所以，所以，
即木星的表面积约是地球表面积的倍.故选：C.
例题3．若一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则该球的表面积等于___________.
【答案】
【详解】由题意，设球的半径为，则球心到所截圆面的距离为，则，解得，即该球的表面积，故答案为：.
例题4．如图，“甜筒”状旋转几何体，由一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个组合体的表面积为________.
【答案】
【详解】由题意，这个组合体的表面积为故答案为：
同类题型演练
1．如果两个球的表面积之比为4∶9，那么这两个球的体积之比为（ ）
A．2∶3B．4∶9C．8∶27D．16∶81
【答案】C
【详解】设两球的半径分别为，则，∴，所以两球的体积比为；
故选：C.
2．已知两个球的表面积之差为， 它们的大圆周长之和， 则这两个球的半径之差_______．
【答案】2
【详解】设大小球的半径分别为，因为两个球的表面积之差为，它们的大圆周长之和为，
所以且，整理得：且，两式相除得：，
这两球的半径之差为2．故答案为：2
3．已知球的半径等于1，则该球的体积等于______.
【答案】
【详解】由球的体积公式.故答案为：
4．表面积为的球的体积为______
【答案】
【详解】设球半径为，因为球的表面积为，所以，解得；所以体积为.
故答案为：
题型5：外接球问题
典型例题
例题1．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、、3，则此球的体积为______．
【答案】
【详解】长方体外接球的直径为，所以外接球半径为，所以球的体积为.故答案为：
例题2．已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】若棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上，则球的直径等于正方体的体对角线长，即，（其中是该球的半径），所以，则球的体积．故选：B．
例题3．已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，，，，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
如图，设底面 的外接圆的圆心为 ，外接圆的半径为r，由正弦定理得 ，
过 作底面BCD的垂线，与过AC的中点E作侧面ABC的垂线交于O，则O就是外接球的球心，
并且 ，外接球的半径 ，
球O的体积为 ；故选：D.
例题4．四棱锥中，，则经过，，，的外接球的表面积是__________．
【答案】
【详解】解：因为四棱锥的对棱相等，所以将四棱锥补成如图所示的长方体，则经过A，B，C，D的外接球即为长方体的外接球，所以球的直径为长方体的对角线的长，
设长方体的长、宽、高分别为，因为，
所以，解得，所以球的半径，
所以球的表面积为，故答案为：
例题5．已知的顶点都是球的球面上的点，，，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为___________.
【答案】
【详解】因为，取的中点，则为外接圆的圆心，所以平面，
因为，，，所以，所以，
又由三棱锥的体积为，所以，解得，所以球的半径为，故球的表面积.故答案为：.
同类题型演练
1．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【详解】设球的半径为，则 ，解得 设四棱柱的高为 ，则 ，解得
故选：C
2．已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心
根据直棱柱外接球的性质可知∥，，外接球半径，
∵正△的边长为6，则∴外接球的表面积
故选：C．
3．已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，，，则，所以，
又因为，，，则，所以，
由，，，则,所以，
又由，，，则，所以，
可得为三棱锥的外接球的直径，又由，
所以此三棱锥的外接球半径为，所以球的表面积为.故选：C.
4．设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，因为，所以，，
而，所以(于是是外接圆的半径)，，即，
如图，设分别是和的外接圆圆心，由直棱柱的性质知的中点是三棱柱的外接球球心，，所以外接球为.于是球的表面积为.
故选：C.
5．已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为_________．
【答案】
【详解】设的外心分别为 ,连接，可知外接球的球心为的中点，连接 在，由正弦定理可得的外接圆的半径 ,在直角三角形 中，外接球的半径 ,所以外接球的表面积为 故答案为：
题型6：内切球问题
典型例题
例题1．已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，为切点，设，即由条件可知，，中，，即，解得：，所以圆锥内切球的表面积.
故选：D
例题2．如图所示，已知球为棱长为3的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据题意知，平面是边长为的正三角形，且球与以点为公共点的三个面的切点恰为三角形三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，
则由图得，内切圆的半径是，所以截面圆的面积是.故选：A.
例题3．若正四棱锥内接于球，且底面过球心，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．
【答案】
【详解】因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，球的半径为4，
所以，所以，
所以正四棱锥的表面积为，
正四棱锥的体积为设正四棱锥内切球的半径为，则
，解得，
所以该四棱锥内切球的体积为，故答案为：
同类题型演练
1．已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为三棱锥为正三棱锥，底面边长为6，且侧面与底面所成角的正切值为，所以可得正三棱锥的高，侧面的高；设正三棱锥底面中心为，其外接球的半径为，内切球半径为，
则有，也即，解得：，
正三棱锥的体积，
也即，解得：，所以，故选：B.
2．如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】平面截球的截面为的内切圆，
正方体棱长为1，.内切圆半径.
截面面积为：.故选：C.
3．若正四棱锥内接于球，且底面过球心，则球的半径与正四棱锥内切球的半径之比为__________.
【答案】##
【详解】设外接球半径为R，由题意可知，OA=OB=OC=OD=OP=R，设四棱锥P-ABCD的内切球半径为r，设正方形的边长为，因为底面过球心，所以有，
该正四棱锥的各侧面的高为设该正四棱锥的表面积为，由等体积法可知：，故答案为：
题型7：几何体的表面积（体积）的最值问题
典型例题
例题1．四面体的所有顶点都在同一个球面上，且，若该球的表面积为，则四面体体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为中，，所以，
又因为，解得外接球半径，如图所示
为四面体外接球球心，为外接圆圆心，所以平面，
设面上的高为，所以，又因为在中，，
所以，所以四面体体积的最大值为，故选：A
例题2．已知圆台上、下底面半径分别为1和3，母线长为4，是下底面的直径，若点是下底面圆周上的动点，点是上底面内的动点，则四面体的体积最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图，因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为4，所以圆台高为，所以动点D到圆面的距离为定值．因为动点C到AB的最大距离为3，所以四面体ABCD的体积最大值为．故选：D
例题3．已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为( )
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】如图，
，，，则，设，，则，，
则，∴圆柱侧面积为：
，当时取等号．故选：A．
同类题型演练
1．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”，平面，，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，将四棱锥补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同.
因为长方体外接球的半径，所以该“阳马”外接球的表面积为:.
故选：C.
2．《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为，侧面面积为，其体积的近似公式为，用此π的近似取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．15B．C．D．8
【答案】D
【详解】若圆锥母线长为，底面半径为，则，故，又，故，
而，则，可得，所以，若截面顶角，当截面为轴截面时，此时，又截面面积为，故当时截面面积的最大值为8.故选：D
3．在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，则V的最大值是___________．
【答案】
【详解】球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．先保证截面圆与内切，如图，
记圆O的半径为r，则由等面积法得，
所以，又，，所以，所以．由于三棱柱高为10，故球的最大半径为4，所以．故答案为：
4．在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥的体积的最大值为_______．
【答案】
【详解】设.因为，所以当取得最大值时,三棱锥的体积取得最大值.因为,所以当时,即E,F分别是棱AB,BC的中点时,三棱锥的体积取得最大值 ，此时.故答案为：
题型8：简单组合体的表面积和体积
典型例题
例题1．红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意得：，所以cm，所以cm，所以两个球冠的面积为cm2，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：
cm2，故选：C.
例题2．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，
易得.取的中点O，连接，易得，
∴.
∴多面体的体积
，故选：A.
例题3．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
（1）该几何体的体积；
（2）该几何体的表面积.
【答案】（1）；（2）.
【详解】连接，交于点，取的中点，连接，，
（1），∴
（2）∵，∴，
，
例题4．某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）.现把半径为10cm的圆形蛋皮分成相同的5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的体积（精确到0.1）.
【答案】
【详解】设圆锥底面半径为，高为，因为，得，则，
所以该蛋筒的体积为
同类题型演练
1．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】正方体的体积为，其内切球的体积为，由条件可知牟合方盖的体积为，
故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为.故选：C
2．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为2，若它的内切球的表面积为，外接球表面积为，则的值为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【详解】如图正八面体，连接和交于点，
因为，，所以，，又和为平面内相交直线， 所以平面，所以为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径为，内切球半径为，因为正八面体的棱长为，所以，，，则， ，，设内切球与平面切于点，所以平面，所以即为正八面体内切球半径，
因为，，所以，即，所以.
故选：A.
3．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2），当这种酒杯内壁的表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：设圆柱的高为，则，所以,
酒杯的体积，半球的体积，
因为酒杯的容积不大于半球体积的2倍，所以，解得，
又因，所以，所以.故选：D.
4．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为________．
【答案】
【详解】棱长为的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为.故答案为:
三、高考（模拟）题体验
1．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．
2．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，
所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，所以.故选：C.
3．圆台的上、下底面半径和高的长度之比为，侧面积为，则圆台的母线长是（ ）
A．20B．2C．D．10
【答案】D
【详解】由题知，圆台的上、下底面半径和高的长度之比为，侧面积为，设圆台的上、下底面半径和高分别为母线长为，所以，得，
因为，所以所以．故选：D
4．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，在中，由正弦定理得，即，所以，，
取的中点，连接，则，即为三棱锥外接球的球心，外接球的半径，所以三棱锥外接球的体积为.故选：A.
5．如图，长方体中，，，，点，分别为，的中点，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：在长方体中，连接，，
三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，在中，取中点，连接，则为边的垂直平分线，所以的外心在上，设为点，连接．同理可得的外心，连接，则三棱柱外接球的球心为的中点，设为点．由图可得，，又，，解得，所以，所以.故选：B．
6．已知是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥—ABC外接球体积的最小值为___________
【答案】
【详解】根据题意作图如下：
设底面圆半径为，圆柱高设为，则根据圆柱的侧面积为4π，可得，解得.因为以及均为直角三角形，根据三棱锥—ABC外接球的性质可知，的中点即为球心.则，则，所以外接球的半径.三棱锥—ABC外接球体积为，所以要外接球体积最小，只需要最小即可，又不等式可知，当且仅当时，即时成立.故三棱锥—ABC外接球体积的最小值为.故答案为：.