高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的垂直课后作业题

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难点：能解决简单的线面角问题。
一、直线与平面垂直的定义
1、文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
2、符号语言：l⊥α
3、有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足
4、图形语言：
5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
6、空间距离
①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
二、直线与平面垂直的判定定理
1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
3、图形语言：
4、作用：证明线面垂直
三、直线和平面所成的角
1、有关概念：
（1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A
（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，
过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，
图中斜线PA在平面α上的射影为AO
2、直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.
（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
3、取值范围：[0°，90°]
四、直线与平面垂直的性质定理
1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
2、符号语言：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
3、图形语言：
4、作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
5、推论：
（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/
（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.
五、三心问题结论
设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
（1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．
特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点．
（2）若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．
（3）若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．
题型一 线面垂直的判定定理
【例1】已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】如图，正方体中.，平面，
显然与平面不垂直，故“”不是“”的充分条件；
若，根据线面垂直的性质定理，可知成立，
所以“”是“”的必要条件.
所以，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
【变式1-1】如果直线l，m与平面，，满足：，，和，那么必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，且，，A正确，D错误.直线和平面没有确定关系. 故选：A．
【变式1-2】（多选）下列命题中，不正确的是（ ）
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
【答案】ABD
【解析】当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；
若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.故选：ABD
【变式1-3】设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】B
【解析】A选项，与相交、平行或，
如图1，当时，与相交，故A错误；
B选项，因为，，所以，因为，则由线面垂直的判定定理得，故B正确；
C选项，因为，，所以，因为，所以，故C错误；
D选项，若，，，则与相交、平行或异面，
如图2，满足，，，而与异面，故D错误．故选：B．
题型二 线面垂直的证明
【例2】如图所示，在正方体-中，为的中点，与交于点，求证：⊥平面.
【解析】∵四边形为正方形，∴，
∵平面，，∴，
又∵，且，∴平面，
而，∴，
令正方体的棱长为2，连接，，如下图所示
则有，
∴，∴，
又且，
∴⊥平面.
【变式2-1】如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EAFC，且EA=CF=AB=4，△EBD､△FBD都是正三角形，证明：平面.
【解析】依题意，都是等边三角形，
四边形为正方形，，
所以，所以.
∴，∴，
∵BC∩CD=C，BC､CD⊂平面ABCD，∴平面.
【变式2-2】如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面．
【解析】证明：由已知可知，是圆柱的母线，所以平面，
平面，∴．
∵点是上异于、的点，是的直径，所以．
又，平面∴平面．得知.
【变式2-3】如图，已知四棱柱中，各棱长都为，底面是正方形，顶点在平面上的射影是正方形的中心，求证：平面．
【解析】证明：在正方形中，，则为、的中点，且，
平面，平面，，则，
，，，
在四棱柱中，，，
平面，平面，，
，，、平面，平面，
平面，，
，、平面，因此，平面.
题型三 求直线与平面所成角
【例3】在正方体中，若点是面的中心，则与平面所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取中点，连接
为侧面的中心，平面，
与平面所成角即为，
设正方体棱长为，
则，，，
，
即与平面所成角的余弦值为.故选：C.
【变式3-1】如图，在平面上，OA是的斜线，若，，，求OA与平面所成的角．
【答案】45°
【解析】∵，，
∴，为正三角形，∴．
又，∴为等腰直角三角形．
∵，，∴为等腰直角三角形．
如图所示，取BC的中点H，连接AH，OH，则，，
易得，即有，
∴，，
∴平面，为OA与平面所成的角．
在中，，∴，故．
∴OA与平面所成的角为45°．
【变式3-2】正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，在正四棱锥中，为的中心，
则底面，为边上的中线，，
所以即为侧棱与底面所成角的平面角，
设正四面体的棱长为，则，
在中，，
即正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是.故选：C.
【变式3-3】在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为_______.
【答案】
【解析】因为平面ABCD，平面ABCD，故可得，
又，，平面，故可得平面PAD.连接ED.
故即为所求直线CE与平面PAD所成角.不妨设，
故在直角三角形CDE中，，，
故可得.则.
则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为.
题型四 线面垂直证明线线平行
【例4】在正方体中，直线l（与直线不重合）平面，则有（ ）
A． B． C．与l异面 D．与l相交
【答案】B
【解析】因为平面，且平面，直线l与直线不重合，所以．故选：B.
【变式4-1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【解析】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，
所以AE∥MN.
【变式4-2】如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【解析】证明：在中，，所以，，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
同理可得，在中，，且，
在中，，所以，
因为，，平面，所以平面，
在中，，在中，，则，
因为，平面，所以平面，所以.
【变式4-3】三棱锥的侧棱上分别有E，F，G，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设的面积为，设的面积为，
则，，
又，，∴ ，
过点作平面，过点作平面，
则，∴ 与相似，又，∴ ，
∵，，∴ ，
∴ 三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是.故选：A.
题型五 线面垂直证明线线垂直
【例5】如图，直三棱柱，.证明：
【解析】因为直三棱柱，所以平面，并且平面所以，
又因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
【变式5-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点.证明:PC⊥BE.
【解析】如图，连接PE，EC，
在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA=AB=CD，AE=DE，
所以PE=CE，即△PEC是等腰三角形.
又F是PC的中点，所以EF⊥PC.
又BP==2=BC，F是PC的中点，所以BF⊥PC.
又BF∩EF=F，所以PC⊥平面BEF.
因为BE⊂平面BEF，所以PC⊥BE.
【变式5-2】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.
【解析】因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①
又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD平面ABC，所以AD⊥BB1.②
BC，BB1为平面BB1C1C内两条相交直线，由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以，AD⊥C1E.
【变式5-3】如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，，，．设分别为的中点．证明：.
【解析】四边形和四边形都是直角梯形，
，，
，，，平面，平面，
又平面，，
，，，，
，，
是等边三角形，又为中点，，
又，平面，平面，
平面，.
题型六 求空间中的三种距离
【例6】如图，棱长为2的正方体中，点是的中点，是侧面的中心，则到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，因为是侧面的中心，所以，
因为，由正方体的性质知，
所以，是平行四边形，所以，
因为平面，平面所以平面，
所以，到平面的距离与到平面的距离相等，
设到平面的距离为，中，，，
因为， 所以，，解得所以，到平面的距离为故选：A
【变式6-1】若四棱柱的所有棱长均为2，且，则到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设与交于点，连接，
，，，，
又为的中点，，四边形为菱形，，
又，平面，在平面中，过作，垂足为，则，
又，平面，即到平面的距离为，
由已知：，为等边三角形，，.
和均为等边三角形，，，
在中，由余弦定理，，
，，
在中，.故选：C.
【变式6-2】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，则直线AA1到平面BB1D1D的距离为______.
【答案】
【解析】如图，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴BD⊥AC，
又∵B1B⊥面ABCD，∴B1B⊥AO，又，面BB1D1D， 面BB1D1D，
∴AO⊥面BB1D1D，∵AA1∥平面BB1
∴点A到面BB1D1D距离＝AA1和面BB1D1D的距离即为AO，则AO＝BA×cs45°＝.
【变式6-3】如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面，
又，平面平面，平面，平面，
又平面，，
，在和中，，
，即，又，平面平面．
（2）由题意知，在中，，
又，，平面，平面，平面，
、分别为、的中点，，
又，，平面，平面，平面，
平面，平面，，平面平面．
平面，平面平面，平面，
为平行平面与之间的距离，，
即平面与之间的距离为．
题型七 线面垂直中的动点探究
【例7】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
【答案】点F是CD的中点
【解析】如图，连接A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，
又A1D1∩A1B＝A1，平面A1BCD1.∴AB1⊥平面A1BCD1.
又D1E⊂平面A1BCD1，∴AB1⊥D1E.
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.
连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.
∵ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
【变式7-1】如图，在直三棱柱中，，，，为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点.
（1）证明：平面；
（2）在棱上是否存在点D，使得面?若存在，求出的大小并证明；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】（1）取棱上靠近的三等分点，连接，
又为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点.
，，，且
所以四边形是平行四边形，
又平面，平面，平面；
（2）由直三棱柱的性质及，可知侧面，
又侧面，
由已知，
又，
又，所以
【变式7-2】如图，在四棱锥中，，．
（1）证明：；
（2）在棱VC上是否存在一点P，使得平面PAD？若存在，指出点P的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）证明：取AD中点E，连接EV，EB．因为，所以．
因为，所以．又，所以平面VEB．
因为平面VEB，所以．
（2）假设在棱上存在一点P，使得平面PAD．
因为平面PAD，所以．
又，，所以平面VBC．
因为平面VBC，所以．
在平面ABCD中，因为，，所以，与矛盾．
所以在棱VC上不存在点P，使得平面PAD．
【变式7-3】若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】（1）证明：取中点，连接、.
因为、分别是、的中点，所以且.
在平行四边形中，且，
因为是的中点，所以且.
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）当点为线段的中点时，平面，理由如下：
取的中点，连接、.
因为，，，所以，平面，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，则平面，
又因为平面，，
所以，平面平面，所以，平面.
故当点是线段的中点时，平面，此时，.
8.6.2 直线与平面垂直
【题型1 直线与平面垂直的判定定理】
1、已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】C
【解析】若垂直于内任意直线，显然有，故充分性成立；若，则垂直于平面内任意直线，故必要性成立，故“垂直于内任意直线”是“”的充要条件.故选：.
2、已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（ ）
A．，，， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】对于A，若，，，，当平行时，与平面可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故A错误；
对于B，若，设过的平面与交于，则根据线面平行的性质定理可得，在平面内，作直线,则，而此时在平面内，故B错误；
对于C， 若，设，在平面内作直线，则，由线面平行的判定定理可得，而此时在平面内，故C错误；
对于D，若，则直线与平面内的所有直线都垂直，又，∴与平面内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得，故D正确；
故选：D
3、若一条直线与平面垂直，下列平面中的两条直线与垂直，可以保证直线与平面垂直的是（ ）
①四边形的两边 ②正六边形的两边 ③圆的两条直径 ④三角形的两边
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】D
【解析】对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；
对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直.所以可以保证直线与平面垂直的是③④.故选：D.
4、下列命题中正确的有（ ）
A．过直线l外一点，有且只有一个平面与l垂直
B．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面
C．垂直于角的两边的直线必垂直于该角所在的平面
D．过点A且垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内
【答案】ABD
【解析】过直线l外一点，有且只有一个平面与l垂直，故A正确；
若三条共点直线两两垂直，则其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面，B正确；
垂直于角的两边（角两边不共线）的直线必垂直于该角所在的平面，故C错误；
过点A且垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内，故D正确．
故选:ABD.
5、已知、是两条不同的直线，是一个平面，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【解析】对A：若，，则或，故A错误；
对B：若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误；
对C：若，，则或或或与相交（不垂直），故C错误；
对D：若，，由线面垂直的性质可得，故D正确；故选：D
【题型2 线面垂直的证明】
1、如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，．求证：AC 垂直于平面BDM．
【解析】设AC交BD于点O，连接MO,
因为 ABCD 是菱形，所以,
因为，且，所以，
因为MO、BD 是平面 BDM 上的两条相交直线，
所以 AC 垂直于平面 BDM．
2、在三棱锥中，，，点D为AC的中点，求证：平面．
【解析】如图所示，连接，
因为，，点D为AC的中点，所以，
又是平面内的两条相交直线，所以平面
3、如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点．
（1）求证：平面;
（2）求证：平面．
【解析】（1）证明：由题知D,E分别是的中点,,
平面平面,平面,得证;
（2）证明：由题知,D是的中点,,
平面,平面且,故平面得证.
4、如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．
【解析】∵在中，D是AB的中点，，∴,
∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴，∴，
又，，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴，
又，，平面，平面，∴平面．
5、如图，已知垂直于圆O所在的平面，是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的任意一点，过点A作，垂足为E．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【解析】（1）因为平面，且平面，所以．
因为是圆的直径，所以．
且平面，所以平面．
（2）因为在平面内，由（1）知平面，
所以．因为，且，
平面，所以平面.
【题型3 求直线与平面所成角】
1、已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据长方体性质知：面，故为与面所成的角，
，所以.故选：A
2、已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，
如图，设正三棱锥底面边长为，则侧棱长为∶，
设顶点A在底面的射影为O点，连接并延长交于E，
则E为的中点，则为侧棱与底面所成角，
由于为正三角形，则O为其中心， ， ，在中， ，即侧棱与底面所成角的余弦值等于，故选：A.
3、如图，在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接BD交于，四边形ABCD为正方形，则为中点，
∵G为△ABC的重心，则G在BD上，且，
∴，
∵PD⊥底面ABCD，∴为PG与底面ABCD所成的角，
面ABCD，则，∴，
∴.故选：C
4、在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：过作的平行线，过作该平行线的垂线，垂足为，
则，所以，设正方体的棱长为，则，，所以,当且仅当与重合时，取得等号，所以的最小值是.故选：.
5、如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________．
【答案】
【解析】长方体中，因为，，
所以，，，
因为底面，平面，所以，
所以与平面所成的角为，，
由条件可得，解得，
因此，因为，
所以，与平面所成的角为.
【题型4 线面垂直证明线线平行】
1、已知直线l垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线l，m的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
【答案】A
【解析】根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的直线平行．故选：A．
2、如图，平面，平面，分别为上的点，且.求证：
【解析】平面，平面，；
平面，平面，，；
，平面，平面，
又，，平面，平面，
，.
3、在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．
因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．
又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．
因为l⊥平面PCD，所以l∥AE．
4、如图，已知，于点A，于点B，，，求证：．
【解析】证明：因为，，所以，
又因为，，所以，
又，平面，所以平面，
因为，，所以，
又，，所以平面，所以.
5、如图，正方体中，与异面直线、都垂直相交．
求证：.
【解析】连接，，，，
因为在正方体中，平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，因此；
同理可证：，
又，平面，平面，
所以平面；
因为与异面直线、都垂直相交，即，，
又在正方体中，与平行且相等，
所以四边形为平行四边形，因此，所以，
因为，平面，平面，所以平面；因此.
【题型5 线面垂直证明线线垂直】
1、如图，平面ABCD，，，，．求证：．
【解析】因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为，所以，又，平面，
所以平面，因为平面，所以.
2、如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，.
（1）求圆柱的体积；
（2）求证：
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）设圆柱的底面半径为，因是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，
且，，则，
由勾股定理可得，所以，，
因此，该圆柱的体积为.
（2）证明：因为平面，平面，所以，，
又因为，，、平面，所以平面.
因为平面，所以，.
3、如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：．
【解析】∵，M是BC的中点，∴．
又平面PBC，平面PBC，则，
∵，面，
∴面，而面，∴．
4、在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．
【解析】证明：连接．在三角形中，G是的中点，所以．
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
又因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，所以
所以直线直线GB．
5、在四棱锥中，底面，，,，．证明：.
【解析】证明：在四边形中，作，，垂足分别为、，
因为，，，所以四边形为等腰梯形，
在等腰梯形中，，，则，
又因为，则四边形为矩形，则，
因为，，，
所以，，则，
故，，，
所以，所以，
因为平面，平面，所以，
又，、平面，所以平面，
又因为平面，所以.
【题型6 求空间中的三种距离】
1、在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在正方体中，平面，
而平面，则平面平面，
在平面内过点B作于E，连接BM，如图，
因平面平面，于是得平面，
则BE长即为点B到平面的距离，
点M为棱的中点，在中，，
，即，解得，
所以点B到平面的距离为.故选：D
2、已知正方体的棱长为1，O是的中点，则点O到平面的距离为______．
【答案】
【解析】如图示，连接交于，连接，取的中点，连接.
在正方体中，为正方形，
所以，且.
因为面，面,所以.
因为面，面，，
所以面.因为为的中点，为的中点，所以，且.
所以面.所以即为点O到平面的距离，
即点O到平面的距离为.
3、如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.求点到平面的距离等于_______
【答案】
【解析】因为是直三棱柱，所以平面，而平面，
所以，因为是棱的中点，所以，
由勾股定理可得：，，
因为是等边三角形，是棱的中点.，所以，所以，
因为，所以，因此，
因为平面，平面，
所以平面平面，因为平面平面，
，平面，所以平面，
设点到平面的距离为，由.
4、如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．
【答案】
【解析】连接，因为∥，平面，平面，
所以∥平面EAC，所以到平面EAC的距离等于到平面EAC的距离，
设到平面EAC的距离为，因为正四棱柱的底面边长为2，，
所以，
因为E为的中点，所以，所以，
所以，
,
因为，所以,
所以，解得.
5、如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：
（1）平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.
（2）点D1到直线AC的距离.
（3）直线AB与面A1DCB1的距离.
【答案】（1）2；（2）；（3）
【解析】（1）因为平面ADD1A1与平面BCC1B1平行，
故平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离即
（2）连接，
由题意，，，.
因为为等腰三角形，故，
设点D1到直线AC的距离为 ，则，解得，
即点D1到直线AC的距离为
（3）连接，交于，
因为长方体中，故正方形，故，且平面，
又平面，故，又，故平面，
故直线AB与面A1DCB1的距离为.
【题型7 线面垂直中的动点探究】
1、如图，三棱锥P-ABC中，平面ABC，，，，．
（1）求三棱锥A-PBC的体积；
（2）在线段PC上是否存在一点M，使得?若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）因为AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，所以．
由平面ABC知：PA是三棱锥P-ABC的高，又PA＝1，
所以三棱锥A-PBC的体积．
（2）在线段PC上存在一点M，使得，此时．
如图，在平面PAC内，过M作交AC于N，连接BN，BM．
由平面ABC，平面ABC，故，所以．
由知：，则，
在中，，
所以，即．
由于且面MBN，故平面MBN．
又平面MBN，所以．
2、如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，A1C＝2，AB＝2，∠BAC＝60°.
（1）求三棱锥A1－ABC的表面积；
（2）证明：在线段A1C上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值.
【答案】（1）；（2）证明见解析；.
【解析】（1），
平面，平面，，
，平面，
平面，，，
，，，则表面积；
（2）证明：在平面内，过点B作，垂足为，
过N作交于M，连接，
，，，，∴平面.
又平面，∴.
在直角中，
3、如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．
（1）求证：直线AE⊥直线A1D;
（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG．
【答案】（1）证明见解析；（2）G点即为A1点.
【解析】（1）连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，
又AB∩AD1=A，所以DA1⊥平面ABC1D1，
又AE⊂平面ABC1D1，所以DA1⊥AE．
（2）如图所示，G点即为A1点，
证明如下：由（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，
由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，
可证DF⊥平面AHE，所以DF⊥AE，又DF∩A1D=D，
所以AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG．
4、如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．
（1）求证：BM//平面PAD．
（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；N为AE的中点．
【解析】（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有且，
而且，∴，.
∴四边形ABME是平行四边形，即BM∥AE．
∵AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD．
（2）当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD．
理由如下：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，
又PA＝AD，E是PD的中点，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABME．作MN⊥BE，交AE于点N，
∴MN⊥PD，又PD∩BE＝E，∴MN⊥平面PBD．
易知△BME∽△MEN，而，
∴，即，而，
∴N为AE的中点．
5、如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，分别为，，的中点，，.
（1）设是的中点，证明：平面；
（2）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）4，
【解析】（1）取中点，连接，
由题意可得，故，
又平面，故平面.
又，故，
又平面，故平面.
又，平面，故平面平面.
又平面，故平面
（2）由（1）平面平面，且平面，则平面.
设，在上取一点使得于，如图所示.
由（1），故，
又为中点，故为中点，故.
因为平面平面，
且是以为斜边的等腰直角三角形，故，
又平面平面，故面，
故面，所以.
又，故平面.
又平面，故且共面.
又平面，平面，故，
故四边形为平行四边形，
故到，的距离分别为.
又，在中有，
故，解得，
故点到，的距离分别为4，.