高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的垂直课后测评

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难点：会求任意两条直线所成的角。
一、两条直线所成的角
1、平面内两条直线所成的角
平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）.
2、异面直线所成角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
（2）角的范围：异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.
（3）当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
3、判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．
二、求两异面直线所成的角的步骤
1、作角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
2、证角：证明作出的角就是要求的角，即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行
3、计算：求角的值，常利用解三角形得出。
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.
4、结论：若求出的角时锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；
若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角。
三、证明异面直线垂直的步骤：
1、作出两异面直线所成的角；
2、求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊在三角形中说明垂直关系；
3、得出结论，
题型一 判断异面直线
【例1】已知三条直线，，满足且，则与（ ）
A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面
【变式1-1】正方体中，与对角线成异面直线的棱有（ ）
A．3条 B．4条 C．6条 D．8条
【变式1-2】如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线与直线共面 B．直线与直线异面
C．直线与直线共面 D．直线与直线异面
题型二 求异面直线所成角
【例2】在正方体 中，、分别是面和的中心， 则和所成的角是______________．
【变式2-1】空间四边形的两对边，、分别是、上的点，且，，则与所成角大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【变式2-2】如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】如图所示，圆锥SO的底面圆半径，母线.
（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；
（2）过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的余弦值
题型三 直线与直线垂直
【例3】如图，在长方体的各条棱所在直线中，
（1）与直线AB垂直的直线有__________条；
（2）与直线AB异面且垂直的直线有__________条；
（3）与直线AB和都垂直的直线有__________条；
（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线__________．
【变式3-1】如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
【变式3-2】空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：.
【变式3-3】如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：.
8.6.1 直线与直线垂直
【题型1 判断异面直线】
1、（多选）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有（ ）
A． B． C． D．
2、如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有______条.
3、在正方体中，直线与直线的位置关系为（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
4、如图，在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．异面
5、如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条.
6、如图，已知点在四边形所在平面外，如果把两条异面直线看成一对，那么与四边形的四个顶点的连线以及此四边形的四条边所在的直线共8条直线中，异面直线共有______对．
【题型2 求异面直线所成角】
1、如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________．
2、已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是______．
3、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）AC和DD1所成的角是________；
（2）AC和D1C1所成的角是________；
（3）AC和B1D1所成的角是________；
（4）AC和A1B所成的角是________.
4、如图，已知圆锥的正视图是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______．
5、如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小.
【题型3 直线与直线垂直】
1、在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（ ）条．
A．2 B．4 C．6 D．8
2、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______．
3、设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
4、如图，正方体中，
①与平行；②与垂直；③与垂直．
以上三个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③ D．①②③
5、如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.