数学必修 第二册复数的概念习题

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难点：1、对复数的代数式进行分类；2、复数相等的充要条件的应用；3、复数的几何意义的理解与应用
一、复数的有关概念
1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是eq \a\vs4\al(a)，虚部是eq \a\vs4\al(b).
2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．
3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．
【注意】复数概念说明：
（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
（2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.
（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
二、复数的分类
对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数=实数b=0 虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).
【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
三、复数相等
在复数集C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a＋bi|a，b∈R))中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
四、复数的几何意义
1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，
原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量OZ的eq \a\vs4\al(模)r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．
五、共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，eq \x\t(z)＝a－bi.
示例：z＝2＋3i的共轭复数是eq \x\t(z)＝2－3i.
【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝eq \x\t(z)，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．
题型一 复数的概念与分类
【例1】(多选)在给出的下列几个命题中错误的是（ ）
A．若x是实数，则x可能不是复数
B．若z是虚数，则z不是实数
C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D．－1没有平方根
【答案】ACD
【解析】因实数是复数，故A错，根据虚数的定义可知B正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C错；因－1的平方根为±i，故D错.故选：ACD
【变式1-1】复数的实部是（ ）
A．2 B． C．2＋ D．0
【答案】A
【解析】由题意，可得复数的实部是，故选：A.
【变式1-2】已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．4
【答案】A
【解析】由是纯虚数，得，解得．故选：A.
【变式1-3】已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，复数和是实数，成立，当时，例如，推不出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A
【变式1-4】求实数的值，使得复数分别是：
（1）实数； （2）纯虚数．
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）由题知，复数为实数当且仅当，即或，
所以当或时，复数为实数.
（2）复数为纯虚数当且仅当，即，
唯一满足此条件的的值是，所以当时，复数为纯虚数.
题型二 复数相等及简单应用
【例2】若，是虚数单位，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，即，，
所以．故选：D．
【变式2-1】已知，，是虚数单位，若，则（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，所以．故选：D.
【变式2-2】已知复数，且，则______．
【答案】或
【解析】由题知，复数，且，
因为，
所以，即，解得或，所以或.
【变式2-3】关于的方程有实根，则实数的值为____．
【答案】
【解析】设为方程的实根，则，所以，
所以，所以，得，所以.
题型三 复数与复平面内的点
【例3】若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由于复数，则z在复平面内对应的点为，该点在第四象限，故选：D
【变式3-1】复数，在复平面内对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】令，则，恒成立；
令，则，恒成立；
对应的点为，
对应的点位于第四象限.故选：D.
【变式3-2】欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由题知，，，
，，在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.
【变式3-3】已知复数在复平面上对应的点为Z，
（1）求点Z在实轴上时，实数m的取值；
（2）求点Z在虚轴上时，实数m的取值；
（3）求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.
【答案】（1）或；（2）或；（3）或.
【解析】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部，解得或.
（2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0，所以，解得或.
（3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0，即，解得或.
题型四 复数与复平面内的向量
【例4】已知复平面内的点A，B分别对应的复数为和，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，故，则向量对应的复数为.故选：D.
【变式4-1】已知平行四边形的三个顶点分别对应的复数为，则第四个顶点对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，，，，设.则，.
因为为平行四边形，所以.由，解得，所以点对应的复数为.故选：D.
【变式4-2】在复平面上向量所对应的复数，与垂直，且，则对应的复数可以为______．
【答案】或
【解析】设，则在复平面上对应的点坐标为，
因为，所以在复平面上对应的点坐标为，
由，得，解得或，
所以或，由，得，
当时，；当时，，
所以或.
【变式4-3】复数z满足，为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限.
（1）求复数z；
（2）复数z，，所对应的向量为，，，已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，则，为纯虚数，
则，且复数z在复平面内对应的点在第一象限，
则，可得，复数
（2）由题意可得，，，
由，得解得：.
题型五 复数的模及简单应用
【例5】若复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得.故选：A.
【变式5-1】已知复数、(i为虚数单位)、在复平面上对应的点分别为A、B、C，若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，则复数的模为（ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】B
【解析】因为复数、(i为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，所以，设，因为为平行四边形，所以，所以，所以，所以，所以，故选：B.
【变式5-2】设复数在复平面内对应的点分别为，则两点之间距离的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】设，因为，所以，因为复数在复平面内对应的点分别为，，所以，所以，故当时，取得最大值，故选：C
【变式5-3】已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【解析】由题意有：，
从而有.∴．故选：C
【变式5-4】已知，复数，，且为纯虚数，，则（ ）
A．0 B．0或-2 C．1 D．1或-2
【答案】B
【解析】因为，所以，因为为纯虚数，，所以，解得或，所以或0.故选：B.
题型六 与复数有关的图形问题
【例6】满足的复数在复平面上对应的点构成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】满足的复数在复平面上对应的点构成的图形为以原点为圆心，半径分别为1和3构成的圆环，所以面积为.故选：C.
【变式6-1】若z是复数，且，则的最大值是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．3
【答案】A
【解析】由已知得
表示复平面内z对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，而表示的是复平面内对应的点到复数对应的点（6，－8）之间的距离，
其最大值为，故选：A.
【变式6-2】已知复数z满足：，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】由复数模的几何意义知满足的对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，的中点为，
的最小值就是原点到直线的距离即为，故选：B．
【变式6-3】已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】若,即,点为圆上的点,，则其几何意义为圆上的点到点之间的距离,则的最大值为故选：C.
7.1 复数的概念
【题型1 复数的概念与分类】
1、给出下列几个命题：①若是实数，则可能不是复数；②若是虚数，则不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④没有平方根．其中真命题的个数为__________．
【答案】1
【解析】对于①，实数集是复数集的子集，故①错误，对于②，虚数都不是实数，②正确，
对于③，复数为纯虚数的充要条件是，故③错误，对于④，的平方根为，故④错误，真命题只有1个
2、已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数和 的值分别是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，复数 的实部和虚部分别为 和 4，因此，解得，所以实数 和 的值分别是.故选：D
3、已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
【答案】C
【解析】依题意，，解得，所以的值为1.故选：C
4、已知z1，z2为复数．若命题p：z1-z2＞0，命题q：z1＞z2，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】设，，若，则，，若，则，，满足，若，则不能比较大小；若，则，，故，
综上：p是q成立的必要不充分条件.故选：B
5、下列关于复数的说法一定正确的是（ ）
A．是虚数 B．存在x使得是纯虚数
C．不是实数 D．实部和虚部均为1
【答案】B
【解析】由复数，当时，为实数，故A、C不正确；当时，，故B正确；由于的取值未知，故D错误；故选：B
【题型2 复数相等及简单应用】
1、若，，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，则，根据复数相等的充要条件得，解得，故．故选：B．
2、（多选）若，且，则等于（ ）
A．4 B． C．2 D．0
【答案】AD
【解析】因为，且，
所以，解得或，所以或0．故选：AD
3、方程的实数解________.
【答案】
【解析】由得：，解得：.故答案为：.
4、已知复数， ，若，则的取值范围为 ____________；
【答案】
【解析】由得：，解得，而，
当时，，当时，，综上，的取值范围为．
5、分别求满足下列条件的实数x，y的值．
（1） ； （2）.
【答案】（1）；（2）x＝3.
【解析】（1）因x，y∈R，，
则有，解得，所以.
（2）因x∈R，，
于是得，解得，所以.
【题型3 复数与复平面内的点】
1、已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】在复平面所对应的点为，位于第二象限.故选：B.
2、在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】依题意，复数，所以复数对应的点在第三象限.故选：C
3、当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】,若，则，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B
4、已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得.故选：D.
5、当实数m取何值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件．
（1）位于虚轴上；
（2）位于第二象限；
（3）位于直线上．
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【解析】（1）因为表示复数的点在虚轴上，故，故或.
（2）因为表示复数的点位于第二象限，故，故.
（3）因为表示复数的点位于位于直线上，
故即故或.
【题型4 复数与复平面内的向量】
1、若向量与对应的复数分别是，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意得，所以，，所以
故与向量对应的复数为故选：B
2、在正方形OMNP中，若对应的复数为，则对应的复数为_____．
【答案】
【解析】因为对应的复数为，所以在正方形OMNP中，
则对应的复数为
3、复平面上给定四个点可以构成一个平行四边形，其中四个点对应的复数分别为，，，则______．
【答案】或或
【解析】因为，，，又因为可以构成一个平行四边形,分情况可得，当为平行四边形,则;
当为平行四边形,则,即
当为平行四边形,则,即
故答案为: 或或
4、设复数，，在复平面的对应的向量分别为､，则向量对应的复数所对应的点的坐标为___________.
【答案】
【解析】依题意，复数，，在复平面的对应的向量分别为､，所以，所以，所以向量对应的复数所对应的点的坐标为.
5、已知复数，m∈R．
（1）若复数z在复平面上对应的点在虚轴上，求m的值．
（2）若复数z在复平面上对应的点Z在第一象限，且与共线，求m的值以及方向的单位向量．
【答案】（1）m＝1或；（2）m＝4，
【解析】（1）依题意得，，解得：m＝1或
（2）∵与共线，则解得：m＝4或
当m＝4时，代入可以得到，满足在第一象限，成立
当时，代入可得到，不满足在第一象限，舍去
∵与共线且反向，则方向的单位向量为
【题型5 复数的模及简单应用】
1、复数满足，则复数对应的点在复平面内表示的图形是（ ）
A．圆 B．点 C．线段 D．直线
【答案】A
【解析】设，则由可得，所以复数对应的点在复平面内表示的图形是圆.故选：A
2、若复数满足条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，，则.故选：A
3、在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由复数的模的定义及，得，解得．又在复平面内，复数z所对应的点位于第四象限，∴，∴，故选：D．
4、已知设，则，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由，可得，可令，
则
（为锐角，且）
由，可得则的最小值为3.故选：A
5、下列关于的说法中正确的有（ ）
A．表示点与点之间的距离 B．表示点与点之间的距离
C．表示点到原点的距离 D．表示坐标为的向量的模
【答案】ACD
【解析】由复数的几何意义知复数、分别对应复平面内的点与点，
所以表示点与点之间的距离，故A正确；
，可表示为点到原点的距离，故C正确；
，故B错误；
与向量一一对应，
则可表示坐标为的向量的模，故D正确.故选：ACD.
【题型6 与复数模有关的图形问题】
1、复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为复数在复平面内对应的点为，且，所以点的集合对应的图形是一个内半径为1，外半径为2的圆环，所以所求面积为，故选：C
2、若复数z满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
【答案】C
【解析】设.则表示复平面点到点的距离为3.
则的最大值为点到的距离加上3.即.故选：C.
3、复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，∵，∴，即.故选：C．
4、若，且，则的最大值是_______．
【答案】
【解析】，则复平面上表示复数的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
表示到点的距离，∵，所以=的最大值为．
5、已知复数z满足，则的最大值为____________．
【答案】
【解析】设，由，可得，
则，即，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而表示复数对应的点到坐标原点的距离，所以的最大值就是.