人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念精品导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念精品导学案及答案，共10页。

1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.
[知识点讲解]
知识点一 复数的引入
在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为虚数单位.
思考 (1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.
(2)虚数单位i有哪些性质？
答案 (1)在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5).
在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)
＝(x2＋5)(x＋eq \r(5))(x－eq \r(5)).
在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)
＝(x2＋5)(x＋eq \r(5))(x－eq \r(5))
＝(x＋eq \r(5)i)(x－eq \r(5)i)(x＋eq \r(5))(x－eq \r(5)).
(2)虚数单位i有如下几个性质：
①i的平方等于－1，即i2＝－1；
②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；
③i的乘方：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).
知识点二 复数的概念、分类
1.复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.
(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.
(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.
2.复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0))))
(2)集合表示：
思考 (1)两个复数一定能比较大小吗？
(2)复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？
答案 (1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.
(2)不一定，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部才是a，虚部才是b.
知识点三 复数相等
复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.即它们的实部与虚部分别对应相等.
思考 (1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R).z＝0，则a＋b的值为多少？
(2)若复数z1，z2为z1＝3＋ai(a∈R)，z2＝b＋i(b∈R)，且z1＝z2，则a＋b的值为多少？
答案 (1)0；(2)4.
[题型讲解]
题型一 复数的概念
例1 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.
①2＋3i；②－3＋eq \f(1,2)i；③eq \r(2)＋i；④π；⑤－eq \r(3)i；⑥0.
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为eq \f(1,2)，是虚数；③的实部为eq \r(2)，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－eq \r(3)，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.
反思与感悟 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.
跟踪训练1 下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 A
解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.
题型二 复数的分类
例2 设z＝ (m－1)＋ilg2(5－m)(m∈R).
(1)若z是虚数，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值.
解 (1)因为z是虚数，故其虚部lg2(5－m)≠0，
m应满足的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( m－1＞0，,5－m＞0，,5－m≠1，))解得1＜m＜5，且m≠4.
(2)因为z是纯虚数，故其实部(m－1)＝0，虚部lg2(5－m)≠0，
m应满足的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1＝1，,5－m＞0，,5－m≠1，))解得m＝2.
反思与感悟 将复数化成代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的分类：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；特别地，当b≠0，a＝0时，z为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题.
跟踪训练2 实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.
解 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.
(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
(3)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2－3k－4＝0，,k2－5k－6≠0))时，z是纯虚数，解得k＝4.
(4)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2－3k－4＝0，,k2－5k－6＝0))时，z＝0，解得k＝－1.
题型三 两个复数相等
例3 (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.
(2)关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.
解 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.))
(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为
3m2－eq \f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))
解得a＝11或a＝－eq \f(71,5).
反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.
跟踪训练3 已知复数z＝eq \r(3x－1)－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数x的值.
解 ∵z＞0，∴z∈R，∴x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3.
∵z＞0，∴eq \r(3x－1)－x＞0，且x2－4x＋3＝0.
对于不等式eq \r(3x－1)－x＞0，x＝1满足，x＝3不满足，故x＝1.
课堂练习：
1.若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( )
A.{－1} B.{1} C.{1，－1} D.∅
答案 C
解析 因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以A＝{i，－1，－i,1}，又B＝{1，－1}，故A∩B＝{1，－1}.
2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.eq \r(2)，1 B.eq \r(2)，5
C.±eq \r(2)，5 D.±eq \r(2)，1
答案 C
解析 令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝2，,－2＋b＝3，))得a＝±eq \r(2)，b＝5.
3.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )
A.±1 B.±i
C.±eq \r(2)i D.±2i
答案 C
4.已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，则实数m的值为 .
答案 1或2
解析 ∵M∪N＝N，∴M⊆N，
∴m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.
由复数相等的充要条件，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4，))
解得m＝1或m＝2.故实数m的值是1或2.
5.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝ .
答案 1
解析 关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，可得n2－(2＋i)n＋1＋mi＝0.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2－2n＋1＝0，,m－n＝0.))所以m＝n＝1.
小结：
1.复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)是解决问题的基础，明确其实部、虚部.
2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.
课时精练：
一、选择题
1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
A.－i B.i C.－1 D.1
答案 A
解析 ∵i2＝－1，∴－i2＝i·(－i)＝1，∴z＝－i.
2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
答案 B
解析 若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件.
3.以－eq \r(5)＋2i的虚部为实部，以eq \r(5)i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A.2－2i B.－eq \r(5)＋eq \r(5)i
C.2＋i D.eq \r(5)＋eq \r(5)i
答案 A
解析 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－eq \r(5)＋2i的虚部为2；复数eq \r(5)i＋2i2＝eq \r(5)i＋2×(－1)＝－2＋eq \r(5)i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
4.若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A.eq \f(1,2) B.2
C.0 D.1
答案 D
解析 由复数相等的充要条件知，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
5.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A.1 B.0
C.－1 D.－1或1
答案 B
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mm＋1＝0，,m2－1≠0，))∴m＝0.
6.若sin 2θ－1＋i(eq \r(2)cs θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A.2kπ－eq \f(π,4)(k∈Z) B.2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)
C.2kπ±eq \f(π,4)(k∈Z) D.eq \f(k,2)π＋eq \f(π,4)(k∈Z)
答案 B
解析 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin 2θ－1＝0，,\r(2)cs θ＋1≠0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(θ＝kπ＋\f(π,4),θ≠2kπ±\f(3π,4)))(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z.
二、填空题
7.若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是 .
答案 1
解析 因为实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，所以x＋xi＋y－yi＝2，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,x－y＝0，))所以x＝y＝1，所以xy＝1.
8.若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为 .
答案 3
解析 依题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－3≥0，,m2－9＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥3，,m＝－3或3，))即m＝3.
9.已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为 .
答案 {0}
解析 由z1＞z2，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a2＋3a＝0，,a2＋a＝0，,－4a＋1＞2a，))解得a＝0，
故a的取值集合为{0}.
10.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为 .
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根.
答案 1
解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错.
三、解答题
11.当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋eq \f(m2－7m＋12,m＋3)是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－6＝0，,m＋3≠0，))得m＝2.
∴当m＝2时，z是实数.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－6≠0，,m＋3≠0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠2且m≠－3，,m≠－3，))即m≠2且m≠－3.
∴当m≠2且m≠－3时，z是虚数.
(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－6≠0，,m＋3≠0，,m2－7m＋12＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠2且m≠－3，,m≠－3，,m＝3或m＝4，))即m＝3或m＝4.
∴当m＝3或m＝4时，z是纯虚数.
12.已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cs θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，z1＝z2，求λ的取值范围.
解 由z1＝z2，λ，m∈R，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2cs θ，,4－m2＝λ＋3sin θ.))
整理，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－\f(3,8)))2－eq \f(9,16).
∵θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin θ∈[0,1]，∴λ∈[－eq \f(9,16)，1].
13.已知关于m的一元二次方程m2＋m＋2mi－eq \f(1,2)xy＋(x＋y)i＝0(x，y∈R).当方程有实根时，试确定点(x，y)所形成的轨迹.
解 不妨设方程的实根为m，
则m2＋m＋2mi＝eq \f(1,2)xy－(x＋y)i.
∵x，y，m∈R，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m＝\f(1,2)xy， ①,2m＝－x＋y. ②))
由②，得m＝－eq \f(x＋y,2).
代入①，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2－eq \f(x＋y,2)＝eq \f(1,2)xy，
∴(x－1)2＋(y－1)2＝2，
∴点(x，y)的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2，其轨迹是以(1,1)为圆心，eq \r(2)为半径的圆.