（人教A版）必修二高一数学下学期第六章：平面向量及其应用 重点题型复习（2份，原卷版+解析版）

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第六章：平面向量及其应用重点题型复习题型一 平面向量的概念理解【例1】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③（为实数），则必为零；④为实数，若，则与共线；⑤向量的大小与方向有关．其中正确的命题的个数为（ ）A． B． C． D．【变式1-1】下列说法正确的是（ ）A．若，则B．若，则存在唯一实数使得C．若，，则D．与非零向量共线的单位向量为【变式1-2】设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（ ）A． B．或 C． D．【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）A．与 B．与 C．与 D．与【变式1-4】如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（ ）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个题型二 平面向量的共线定理【例2】设，是不共线向量，与共线，则实数为__________．【变式2-1】设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则实数k=___.【变式2-2】两个非零向量，平行的充要条件是（ ）A． B． C． D．存在非零实数k，使【变式2-3】已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）A． B．C． D．【变式2-4】设两个非零向量与不共线．（1）若，，求证三点共线．（2）试确定实数，使和共线．【变式2-5】如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线.题型三 平面向量的线性表示【例3】在如图中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ）A． B． C． D．【变式3-1】如图所示，在平行四边形中，记，，若，于点，则（ ）A． B． C． D．【变式3-2】如图，在平行四边形中，设．试用求表示及．【变式3-3】如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．（1）用，表示；（2）若，，求的值．【变式3-4】如图．在中，是的中点，点在上，且，与交于点．若，求的值．题型四 平面向量的数量积求解【例4】在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（ ）A． B． C． D．【变式4-1】在中，两直角边，，点E，F分别是AB，AC的中点，则（ ）A． B． C．10 D．20【变式4-2】如图中，，，，，且，则__.【变式4-3】若，且，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【变式4-4】在正方形中，为的中点，为的中点，为边上的动点（包括端点），则的取值范围为（ ）A． B． C． D．题型五 平面向量的模长与距离【例5】若平面向量与的夹角为60°， ，，则等于（ ）.A． B． C．4 D．12【变式5-1】若向量，满足，，则（ ）A． B． C． D．【变式5-2】设，向量，且，则等于（ ）A． B． C．3 D．4【变式5-3】已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（ ）A． B． C．2 D．题型六 平面向量的夹角与垂直【例6】已知向量，，若，则向量与夹角的余弦值为_________.【变式6-1】已知向量与的夹角为，，.（1）求；（2）求与的夹角.【变式6-2】已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【变式6-3】已知向量，，．（1）若，求m的值；（2）若，求m的值；（3）若与夹角为锐角，求m的取值范围．【变式6-4】已知，与的夹角是.（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？题型七 平面向量的投影及投影向量【例7】向量在向量上的投影向量为（ ）A． B． C． D．【变式7-1】已知点，，，点P是直线OC上的动点（O为坐标原点），.（1）求的坐标；（2）求在方向上的投影向量.【变式7-2】已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求的值；（2）求向量在向量上的投影向量.【变式7-3】已知向量，满足，，.（1）求与的夹角；（2）求在上的投影向量的模.【变式7-4】已知平面向量，满足：，，.（1）求与的夹角；（2）求向量在向量上的投影.题型八 正、余弦定理解三角形【例8】在中，，，，则满足条件的三角形的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【变式8-1】锐角的外接圆半径为1，边，，且满足，则（ ）A． B． C． D．【变式8-2】在中，若，则的最大值是____．【变式8-3】在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知.（1）求B ；（2）若△ABC的面积，a= 10，求sin AsinC的值.【变式8-4】的内角所对的边分别为.向量与平行.（1）求A；（2）若，求的面积.【变式8-5】在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并作答.（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）在中，角所对的边分别是，（1）求角；（2）若的面积为，求的周长.【变式8-6】在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求证：；（2）若，求的值.题型九 正余弦定理判断三角形形状【例9】若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（ ）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【变式9-1】已知分别为三个内角的对边，且，则是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【变式9-2】已知内角A､B､C所对的边分别为a､b､c面积为S，若，，则的形状是（ ）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【变式9-3】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则当角C取得最大值时，三角形是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【变式9-4】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中错误的是（ ）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是钝角三角形题型十 正、余弦定理实际应用【例10】某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN，现选择点A和另一座山的山顶（点）C作为测量观测点，从A测得点M的仰角∠MAN=45°，点C的仰角∠CAB=30°，测得∠MAC=75°，∠MCA=60°，已知另一座山高米，则山高MN等于（ ）A． B． C．200 D．【变式10-1】如图，三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（ ）A．米 B．米 C．米 D．200米【变式10-2】某兴起小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60°，塔底C处测得A处的俯角为45°．已知山岭高CD为256米，则塔高BC为（ ）A．米 B．米 C． D．米【变式10-3】如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与．现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为______．【变式10-4】如图所示，一辆汽车从点出发沿一条直线公路以50千米/小时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米的点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能赶上那辆汽车，此时他驾驶摩托车行驶了多少千米？【变式10-5】如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和，某日两个观测站都观测到了处出现火情，在点处观测到的方位角为．在点处，观测到的方位角为．B点和点相距25千米，求观测站与火情之间的距离．【变式10-6】如图，某学校前后两座教学楼，的高度分别为12米和17米，从教学楼顶部看教学楼的张角．（1）求两座教学楼和的底部之间的距离；（2）求的正切值．