数学人教A版 (2019)7.1 复数的概念教学设计

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第七章 复数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
教学设计
一、 教学目标
1. 在问题情境中了解熟悉的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
2. 理解附属的基本概念及复数相等的充要条件。
3. 了解复数的代数表示法。
二、 教学重难点
1. 教学重点
复数的概念、复数的代数形式。
2. 教学难点
复数相等的条件。
三、 教学过程
1. 新课导入
从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程x2+a=0(a>0)有没有解，进而可归结为方程x2+1=0有没有解。我们知道，方程x2+1=0在实数集中无解。联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？
2. 探索新知
依照已有的数集扩充思想，为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i是方程x2+1=0的解，即使得i2=-1。把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？
依照以上设想，把实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加，结果记作a+bi。注意到所有实数以及i都可以写成a+bi（a,b∈R）的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。
我们把形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所构成的集合C={a+bi | a,b∈R}叫做复数集。这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了.
复数通常用字母z表示，即z=a+bi（a,b∈R）。以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部。
在复数集合C={a+bi | a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我们规定：
a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d。
对于复数a+bi（a,b∈R），当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，
它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数。
实数集R是复数集C的真子集，即R⊊C。这样，复数z=a+bi（a,b∈R）可以分类如下：
复数实数b=0，虚数b≠0当a=0时为纯虚数.
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示。
3. 课堂练习
1．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是( )
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－3
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．1的平方等于i
答案：C
解析 对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D,1的平方仍为1.故选C.
2．i是虚数单位，i＋i2＋i3等于( )
A．－1 B．1 C．－i D．i
答案：A
解析 i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.
3．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
答案：C
解析 易知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，则a＝－1.
4．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
答案：－4
解析：易知解得a＝－4.
5．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
答案：－2
解析：由解得m＝－2.
6. 已知复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)若z是纯虚数，求a的值；
(2)若z是虚数，且z的实部比虚部大，求a的取值范围．
解：复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)若z是纯虚数，可得a2－1＝0，a2－3a＋2≠0，
解得a＝－1.
(2)若z是虚数，且z的实部比虚部大，
可得a2－1>－a2＋3a－2≠0，
解得a>1或a<且a≠2.
所以a的取值范围为∪(1,2)∪(2，＋∞)．
4. 小结作业
小结：本节课学习了数系的扩充和复数的概念。
作业：完成本节课课后习题。
四、 板书设计
7.1.1数系的扩充和复数的概念
复数的概念：形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位。
复数z=a+bi（a,b∈R）可以分类如下：
复数实数b=0，虚数b≠0当a=0时为纯虚数.

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示。