人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教学设计及反思

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教学基本信息
课题
正弦定理、余弦定理的综合运用
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
教材
书名： 普通高中教科书数学必修第二册（A版） 出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年6月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：1．主要通过一些具体例题来引导学生综合运用正弦定理和余弦定理，通过合适的边角转化，研究三角形的性质：判断三角形的形状，求相关几何量，求相关最值问题等；
2．学生在解题过程中体会正弦定理、余弦定理的综合运用，灵活运用定理和公式进行边角转化，从而加深对定理的理解，逐渐熟能生巧．
重点：根据综合运用正弦定理、余弦定理进行边角转化，从而解决问题．
难点：对于条件相对复杂的问题，能够大胆尝试，探索发现题目中隐藏的边角关系，从而找到解题思路．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
首先，我们一起来回顾一下这两个定理相关的知识．
前一节课我们重点研究了两个定理的特点，探究了在解三角形时如何区分、选用合适的定理来解决问题．
这节课，我们一起来研究，正弦定理和余弦定理的综合运用，探究三角形更多的性质，比如：判断三角形的形状，求三角形相关的几何量，求相关的最值问题等等．
判断三角形的形状，一般是指判断三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形．或者判断三角形为某些特殊三角形．比如是等腰三角形还是直角三角形．特别的，有时还会进一步确认是否是等边三角形，或者是等腰直角三角形．
求三角形相关的几何量，一般是指求三角形的边长，内角或者面积，还有求三角形的周长．实际上，求周长的问题可以归结为求边长的问题．另外，有时也会求三角形的有关线段，包括高线，中线，角分线等．实际上，这些线段与三角形的边又重新构成了新的三角形，所以也可以归结为求边长问题．
这样，我们研究求三角形相关几何量的问题，就可以归结为求边，求角，求面积这三类问题．在正弦定理和余弦定理的简单运用一节课中，我们研究过运用正弦定理和余弦定理求三角形的边和角的一些思路和方法，今天我们进一步研究更为复杂情形下求三角形相关几何量的问题．
求三角形相关的最值问题，一般指的是，求相关几何量的最大值或最小值，所以，我们一般研究的范围涉及求三角形的边或角的最大值或最小值，还有求周长和面积的最大值或最小值．
回顾定理的相关知识，厘清知识结构；明确研究范围．
新课
判断三角形形状的问题：我们重点关注判断三角形是哪些特殊三角形．
求三角形相关的几何量：我们就从求周长、求面积这两个角度来研究求三角形相关几何量的问题．
三角形相关的最值问题：我们主要研究三角形周长和面积的最大值或最小值的相关问题．
对所学知进行梳理，明确研究范围及具体内容，提升认识．
例题
例1：在△ABC中，角、、的对边分别是、、，已知sin2A=sinBsinC，2a=b+c，判断△ABC的形状．
【解答】由正弦定理得，又，
所以．可得．所以．
所以△ABC为等边三角形．
小结：运用正弦定理在做边角转化时，可以将边化为角，也可以将角化为边．关键在于等式中边，或者角的正弦值的关系，需要适用正弦定理的公式结构．而选择哪条思路来解题，需要具体问题具体分析．
例2：在△ABC中，角、、的对边分别是、、，已知acsA=bcsB，判断△ABC的形状．
【解答】由正弦定理得．
所以．
所以或．所以，或．
所以△ABC为等腰或直角三角形．
小结：已知边角关系，来判断三角形形状，我们必然要做的工作就是进行边角转化．边角转化通常有两条思路，一个是化为角的关系，将边角关系转化为角的关系，通常要依赖正弦定理，然后，运用三角恒等变换的公式来化简整理角的关系，从而判断三角形的形状．余弦定理更多用于，将边角关系转化为边的关系．然后，通过代数恒等变形，来化简整理边的关系，找到判断三角形形状的依据．
例3：在△ABC中，角、、的对边分别是、、，已知c=acsB，b=asinC，判断△ABC的形状．
【解答】因为，所以．
所以．即．
因为，所以．即．
因为，所以．
因为，所以．所以．
所以△ABC为等腰直角三角形．
当然，也可以用余弦定理来解题．
对比发现，这道题先用余弦定理来将第一个等式化为边的关系，计算量并不大，相比正弦定理有一定的优势。
小结：在已知边角关系时，来判断三角形的形状，关键在于边角转化．而边角转化只有两条思路：化为角的关系，和化为边的关系．通常情况下，化为角的关系，即需要边化角，常常要用正弦定理，而化为边的关系，即需要角化边，常常要用余弦定理．因为正弦定理具备边角互化的能力，所以有时也会用到正弦定理来将角化成边．
例4：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsA=bcsB，c=2，csC=45，求△ABC的面积．
【解答】由正弦定理可得．
所以．所以或．
即或C为直角．
因为，所以C不是直角． 所以．所以．
由余弦定理得．所以．
因为，所以． 所以．
当然，也可以用余弦定理来解题．
例5：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知边长，△ABC的面积为，且，求△ABC的周长．
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得，结合范围，解得，可得的值，由三角形的面积公式可求的值，利用余弦定理解得的值，即可得解△ABC的周长．
【解答】解：，
由正弦定理可得：，
可得：，
，，解得：，．
，
由△ABC的面积为，解得：，
由余弦定理，可得：，
解得：，
所以△ABC的周长．
小结：已知边角关系，求三角形的几何量，边角关系转化是关键，而转化过程，我们依赖的是正弦定理、余弦定理和内角和定理，同时还会结合使用和角公式、倍角公式、面积公式等，在具体问题的解决中，要有意识地观察题目条件，发现这些定理和公式的结构的线索，对应运用相应定理或公式来转化条件，从而寻找解决办法．
例6：△ABC的内角，，所对的边长分别为，，，已知角， ，求△ABC周长的最大值．
【解答】由余弦定理，
可得．所以．
由基本不等式得．
即，所以．
可以知道时，不等式取等号．
所以△ABC周长的最大值为．
小结：已知边角信息来求周长最值，一定需要寻找边的不等关系，那就需要先找到边的关系，再尝试转化，得到不等关系，从而解决问题．而基本不等式是我们学习过的一种处理不等关系的重要工具．
例7：△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，求△ABC面积的最大值．
【分析】根据正弦定理，余弦定理进行化简，结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：，，
即，
即，得，
整理得，，，，
，
当且仅当，即，，时取等号，
，，，
则面积的最大值为．
小结：在已知三角形的边角关系，求周长或者面积的最值时，常常会转化为求某些边或角的最值问题．这就需要寻找边角关系来解决问题，这时候，合适的边角转化就尤为重要．边角转化时，就要灵活地运用正弦定理和余弦定理来解决困难．而在求最值的时候，常常离不开基本不等式的参与．
运用总结的经验来解题，并在解题过程中不断丰富总结的经验，提升认识，提升数学素养．
总结
我们研究了正弦定理和余弦定理的综合运用，探究了判断三角形的形状，求周长和面积，以及求周长和面积的最值这三类问题．求解这三类问题时，不但要灵活运用正弦定理和余弦定理，还常常离不开和角公式、倍角公式、面积公式以及内角和公式等，在解题时要对这几组公式保持敏感性，发现相应结构，从而适当地选择公式来帮助转化条件．
其中，在研究最值问题时，我们使用了基本不等式，基本不等式是我们学习过的研究最值的有效工具，要多多体会其功能和结构特征．在解题中能够及时识别出其结构，并根据需要，适当构造，创造使用条件，从而借助其求解最值问题．
综合运用正弦定理和余弦定理解题时，离不开这几个公式的支持，需要在训练中不断总结经验，灵活运用，逐渐做到熟能生巧．
回顾整节课不断在解题中积累经验的过程，提炼更高层次解题策略和指导思想，获得深层地的理解．
作业
1．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，判断△ABC的形状．
2．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，求△ABC面积的最大值．
巩固练习，检测本节课所获得的知识和经验的落实．