人教A版 (2019)选择性必修 第一册圆的方程精练

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1.掌握圆的定义及标准方程.
2.会用待定系数法求圆的标准方程， 能准确判断点与圆的位置关系．
3.掌握圆的一般方程及其特点.
4.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.
5.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．
知识解读
知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程： .
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是 .
【答案】(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
知识点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
【答案】＝ > 0时，二元二次方程 称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
【答案】x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
跟踪训练
一、单选题
1．已知实数x，y满足，则x的最大值是（ ）
A．3B．2C．1D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】将方程化为圆的标准形式，确定圆心和半径，结合圆的性质求x的最大值.
【详解】由，则圆心为，半径为，
所以x的最大值出现在圆心的正右方，点位置，故最大值是1.
故选：C
2．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法进行求解即可.
【详解】设圆的一般方程为，
因为，，在这个圆上，
所以有，
故选：B
3．已知圆方程的圆心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标；
【详解】解：因为，即，
所以圆心坐标为；
故选：C
4．已知圆的方程为x2+y2=4，那么这个圆的面积等于（ ）
A．2B．3C．πD．4π
【答案】D
【分析】根据圆的半径求得圆的面积.
【详解】圆的半径为，所以面积为.
故选：D
5．与圆C：关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出圆的圆心和半径，再根据对称时对应点的连线与对称轴垂直和其中点再对称轴上列出方程求出圆心坐标即可.
【详解】圆C：的圆心，半径．
设点关于直线的对称点为，
则，
所以圆C关于直线的对称圆的方程为，
故选:C．
6．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
7．已知圆C过点，圆心在x轴上，则圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可.
【详解】设圆的标准方程为 ，
将坐标代入得: ,
解得，故圆的方程为，
故选：C.
8．经过圆的圆心，且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直线方程一般式化为标准方程，找出圆心，根据直线平行假设直线方程，把圆心坐标代入即可求解.
【详解】圆，
，
圆心为，
所求直线与直线平行，
可设直线方程为，
把圆心代入得，
解得，
故所求直线方程为．
故选：A.
二、多选题
9．圆，则（ ）
A．关于点对称B．关于直线对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
【答案】ABC
【分析】由圆的方程可确定圆心，由圆心位置和直线是否过圆心可确定各个选项的正误.
【详解】对于A，由圆的方程知其圆心为，则圆关于点对称，A正确；
对于B，由A知其圆心在轴上，则圆关于轴对称，即关于对称，B正确；
对于C，过圆心，圆关于直线对称，C正确；
对于D，不过圆心，圆不关于直线对称，D错误.
故选：ABC.
10．已知圆的一般方程为，则（ ）
A．圆的圆心为
B．圆经过原点
C．圆的半径为25
D．圆被轴截得的弦长为8
【答案】ABD
【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可判断ABC，再利用弦长公式即可判断D.
【详解】由已知，圆的标准方程为，
所以圆心为，故A正确；
满足圆的方程，故B正确；
圆的半径为5，故C错误；
圆心到x轴的距离为3
圆被轴截得的弦长为，故D正确.
故选：ABD
11．已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为.下列结论中正确的是（ ）
A．实数a的取值范围为B．实数a的取值范围为
C．直线l的方程为D．直线l的方程为
【答案】AD
【分析】根据二元二次方程表示愿得条件，可求得a的范围，结合由弦AB的中点为可得点M在圆内，可得： ，判断A,B．根据圆中的垂径定理以及斜率公式可得直线l的斜率，再由点斜式可得方程，判断C,D.
【详解】圆满足 ，可得 ，
又由题意弦AB的中点为可得点M在圆内，
将点M坐标代入圆的方程可得：，即，故A正确，B错误；
根据圆的性质可得： ，
由圆，
得圆心，而，∴直线l的斜率k为，
由点斜式可得直线l的方程为： ，即，故C错误，D正确；
故选：AD
12．已知的三个顶点的坐标分别为，，，则下列说法正确的有（ ）
A．边上的高所在直线的方程；
B．的外接圆的方程为；
C．过作直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为；
D．的面积为.
【答案】BCD
【分析】对选项，利用直线垂直时斜率的关系可求得高线方程；对选项，用待定系数求圆的方程；对选项，根据直线从点到点的过程中斜率的变化求得；对选项，的面积利用点到直线的距离求得中边的高，然后根据面积公式即可.
【详解】对选项，直线的斜率为：
则边上的高的斜率为：
则高的方程为：，即
故不正确；
对选项，设的外接圆的方程为
则有：
解得：，，
所以△的外接圆的方程为：
故正确；
对选项，，
则过点作直线与线段相交时，则直线斜率的取值范围为：
故正确；
对选项，易知所在直线的方程为：
点到直线的距离为：
又
则的面积为：
故正确
故选：
三、填空题
13．过三点，，的圆的方程是______．
【答案】
【分析】根据圆心经过弦的中垂线可先求得圆心的坐标，再根据圆心到圆上的点的距离为半径求解即可
【详解】由题，设，，，则的中垂线方程为，又和的中点为，且直线的斜率为，故直线的中垂线斜率为1，故直线的中垂线方程为，即，故圆心的坐标为与的交点，半径，故圆的方程为
故答案为：
14．圆关于直线的对称圆的标准方程为_______．
【答案】
【分析】先将已知圆的方程化为标准形式，求得圆心坐标(2,2)和半径2，然后可根据直线的位置直接看出(2,2)点的对称点，进而写出方程.
【详解】圆的标准方程为，
圆心(2,2),半径为2，
圆心(2,2)关于直线的对称点为原点,
所以所求对称圆的标准方程为，
故答案为：
15．过圆的圆心且与直线平行的直线方程为___________.
【答案】
【分析】求出圆心坐标，及直线斜率，再根据给定条件直接求出直线方程作答.
【详解】圆，即的圆心，直线的斜率为，
所以过点与直线平行的直线方程为：，即.
故答案为：
16．已知满足，则的最小值为___________.
【答案】3−22
【分析】先确定的几何意义为圆上的点与原点的距离的平方，然后由圆的性质即可求得最小值.
【详解】设圆的圆心为，半径为，
表示圆上的点与原点的距离的平方，
连接，可得，
线段与圆的交点到原点的距离最小，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知的三个顶点分别为，求：
(1)边中线所在的直线方程
(2)的外接圆的方程
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出中点的坐标，由两点得直线斜率，由点斜式得直线方程并化简；
（2）设出圆的一般方程，代入三点坐标求解．
【详解】(1)设的中点为，则所在直线的斜率为，
则边所在直线的方程为，即．
(2)设的外接圆的方程为，
由，解之可得
故的外接圆的方程为．
18．已知的三个顶点分别为，，，求：
(1)边上中线所在直线的方程；
(2)边的垂直平分线的方程；
(3)的外接圆方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据中点坐标公式可得，又，从而由截距式即可写出直线方程；
（2）由B、C两点坐标可得直线的斜率，进而可得直线的垂直平分线的斜率，然后由点斜式即可写出直线方程；
（3）设的外接圆方程为，将，，代入圆的方程，解方程组即可得答案.
【详解】(1)解：设边的中点的坐标为，则，，
所以边的中线过点，两点，
由截距式得所在直线方程为，即；
(2)解：直线的斜率，则直线的垂直平分线的斜率，
由（1）知，中点的坐标为，
由点斜式得直线的方程为，即；
(3)解：设的外接圆方程为，将，，，
代入方程得，解得，，，
所以的外接圆的方程为．
19．已知圆：.
(1)写出圆的圆心坐标及半径长；
(2)设直线：.
①求证：直线与圆恒相交；
②若直线与圆交于，两点，弦的中点为，求点的轨迹方程，并说明它是什么曲线?
【答案】(1)圆的圆心坐标为，半径长为；(2)见解析
【分析】（1）由圆的标准方程即可得出；
（2）①由直线的定点在在圆内部，得出直线与圆恒相交；②由结合数量积公式得出点的轨迹方程.
【详解】(1)由圆的标准方程可知，圆的圆心坐标为，半径长为
(2)①直线：恒过点
因为，所以在圆内部，即直线与圆恒相交；
②设，因为，
所以，即
故点的轨迹方程为，它表示以为圆心，半径为的圆.
20．在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上.
(1)求圆的方程；
(2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得曲线与两坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求得圆的方程.
（2）利用代入法求得的轨迹方程.
【详解】(1)由，
令，解得或；令，得，
所以圆过.
设圆的方程为，
，解得，
所以圆的方程为.
(2)设，则，
将的坐标代入圆的方程得，
即.
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM| r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM| r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM| r
(x0－a)2＋(y0－b)2