数学必修 第一册基本不等式第2课时当堂达标检测题

这是一份数学必修 第一册基本不等式第2课时当堂达标检测题，共5页。试卷主要包含了eq \r的最大值为等内容，欢迎下载使用。
巩固新知 夯实基础
1.eq \r(（3－a）（a＋6）)(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B.eq \f(9,2) C．3 D.eq \f(3\r(2),2)
2.设x>0，则y＝3－3x－eq \f(1,x)的最大值是( )
A．3 B．3－2eq \r(2) C．3－2eq \r(3) D．－1
3.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
4.已知a>0，b>0，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,6)，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
5.已知y＝4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
6.若a0，且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
11.设x＞0，则函数y＝x＋eq \f(2,2x＋1)－eq \f(3,2)的最小值为( )
A．0 B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \f(3,2)
12.已知x≥eq \f(5,2)，则y＝eq \f(x2－4x＋5,2x－4)有( )
A．最大值eq \f(5,4) B．最小值eq \f(5,4)za C．最大值1 D．最小值1
13.已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
14.若xy是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是( )
A．3 B.eq \f(7,2) C．4 D.eq \f(9,2)
15.若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
16.设x，y是正实数，且x＋y＝1，则eq \f(x2,x＋2)＋eq \f(y2,y＋1)的最小值为________．
17.设a>b>c，且eq \f(1,a－b)＋eq \f(1,b－c)≥eq \f(m,a－c)恒成立，求m的取值范围．
【参考答案】
B 解析：选B.因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，
所以eq \r(（3－a）（a＋6）)≤eq \f(（3－a）＋（a＋6）,2)＝eq \f(9,2).即eq \r(（3－a）（a＋6）)(－6≤a≤3)的最大值为eq \f(9,2).
C 解析：y＝3－3x－eq \f(1,x)＝3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(1,x)))≤3－2 eq \r(3x·\f(1,x))＝3－2eq \r(3)，当且仅当3x＝eq \f(1,x)，即x＝eq \f(\r(3),3)时取等号．
3.B 解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝eq \f(800,x)＋eq \f(x,8)≥2eq \r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20.
当且仅当eq \f(800,x)＝eq \f(x,8)(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.
4.C 解析：可得6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝1，所以2a＋b＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·(2a＋b)＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)))≥6×(5＋4)＝54，当且仅当eq \f(2a,b)＝eq \f(2b,a)时等号成立，所以9m≤54，即m≤6，故选C.
36 解析：y＝4x＋eq \f(a,x)≥2 eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)(x>0，a>0)，当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即x＝eq \f(\r(a),2)时等号成立，此时y取得最小值4eq \r(a). 又由已知x＝3时，y的最小值为4eq \r(a)，所以eq \f(\r(a),2)＝3，即a＝36.
6.大 －1 解析：∵a0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)≥4＋2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，
当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(x,y)时等号成立．故选D.
A 解析：选A.因为x＞0，所以x＋eq \f(1,2)＞0，所以y＝x＋eq \f(2,2x＋1)－eq \f(3,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＋eq \f(1,x＋\f(1,2))－2
≥2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－2＝0，当且仅当x＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq \f(1,2)时等号成立，所以函数的最小值为0.
12. D 解析：y＝eq \f(x2－4x＋5,2x－4)＝eq \f(（x－2）2＋1,2（x－2）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（x－2）＋\f(1,x－2)))，
因为x≥eq \f(5,2)，所以x－2＞0，所以eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（x－2）＋\f(1,x－2)))≥eq \f(1,2)·2eq \r(（x－2）·\f(1,x－2))＝1，
当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时取等号．故y的最小值为1.
B 解析 (x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq \f(ax,y)＋eq \f(y,x)≥1＋a＋2eq \r(a)＝(eq \r(a)＋1)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当\f(y,x)＝\r(a)时取等号)).∵(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，∴(eq \r(a)＋1)2≥9.∴a≥4.
14.C 解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2＝x2＋y2＋eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋\f(1,y2)))＋eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4x2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y2＋\f(1,4y2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)＋\f(y,x)))
≥1＋1＋2＝4.当且仅当x＝y＝eq \f(\r(2),2)或x＝y＝－eq \f(\r(2),2)时取等号．
15.D 解析：由3x＋y＝5xy，得eq \f(3x＋y,xy)＝eq \f(3,y)＋eq \f(1,x)＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·eq \f(1,5)(eq \f(3,y)＋eq \f(1,x))＝eq \f(1,5)(4＋9＋eq \f(3y,x)＋eq \f(12x,y))≥eq \f(1,5)(4＋9＋2eq \r(36))＝5，当且仅当eq \f(3y,x)＝eq \f(12x,y)，即y＝2x时，等号成立，故4x＋3y的最小值为5.
16. eq \f(1,4) 解析：令x＋2＝m，y＋1＝n，则m＋n＝4，且m＞2，n＞1，
所以eq \f(x2,x＋2)＋eq \f(y2,y＋1)＝＝eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)－2＝(eq \f(4,m)＋eq \f(1,n))(eq \f(m,4)＋eq \f(n,4))－2＝eq \f(m,4n)＋eq \f(n,m)－eq \f(3,4)≥2eq \r(\f(m,4n)·\f(n,m))－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m,4n)＝\f(n,m)，,m＋n＝4))即m＝eq \f(8,3)，n＝eq \f(4,3)时取等号．所以eq \f(x2,x＋2)＋eq \f(y2,y＋1)的最小值为eq \f(1,4).
17.解：由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.因此，原不等式等价于eq \f(a－c,a－b)＋eq \f(a－c,b－c)≥m.
要使原不等式恒成立，只需eq \f(a－c,a－b)＋eq \f(a－c,b－c)的最小值不小于m即可．
因为eq \f(a－c,a－b)＋eq \f(a－c,b－c)＝eq \f(a－b＋b－c,a－b)＋eq \f(a－b＋b－c,b－c)＝2＋eq \f(b－c,a－b)＋eq \f(a－b,b－c)≥2＋2 eq \r(\f(b－c,a－b)×\f(a－b,b－c))＝4，
当且仅当eq \f(b－c,a－b)＝eq \f(a－b,b－c)，即2b＝a＋c时，等号成立．所以m≤4，即m∈{m|m≤4}.