高中数学两角和与差的正弦、余弦和正切综合训练题

这是一份高中数学两角和与差的正弦、余弦和正切综合训练题，共6页。试卷主要包含了cs=，化简等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1.cs(−15∘)=（ ）
A. 622 B. 264 C. 264 D. 624
2.（2025天津南开中学期末）sin318∘cs162∘+cs(−42∘)cs72∘的值为（ ）
A. −12 B. 12 C. −32 D. 32
3.（2025山东菏泽第一中学月考）sin65∘cs35∘−cs65∘cs55∘=（ ）
A. −12 B. −32 C. 12 D. 32
4.（2024安徽百校大联考）已知α,β∈3π4,π，sin(α+β)=−35，sinβ−π4=1213，则csα+π4=（ ）
A. −513 B. −1265 C. −1665 D. −5665
5.（2025湖北贵阳期末）若tanα+π4=53，则csαsin3α+sinαcs2α+csα=（ ）
A. 58 B. 85 C. 54 D. 45
6.（2023甘肃天水第一中学期中）已知α,β均为锐角，且csα=255，sinβ=31010，则α−β的值为（ ）
A. −π4 B. π4 C. ±π4 D. π3
二、多选题
7.（2025山东青岛期末）下列计算中正确的是（ ）
A. 12sin15∘−32cs15∘=−22 B. sin20∘cs10∘−cs160∘sin10∘=12
C. 32csπ12−12sinπ12=22 D. sin105∘=624
8.（2025浙江海宁高级中学月考）下列各式中，计算结果为1的是（ ）
A. sin75∘cs15∘+cs75∘sin15∘ B. cs43∘cs137∘−sin43∘sin137∘
C. 3tan15∘1+3tan15∘ D. sin220∘+cs2340∘
9.（2024辽宁鞍山联考）已知函数f(x)=|sinx|+csx，则下列说法中正确的是（ ）
A. 2π为f(x)的周期
B. f(x)的最小值为−2
C. 函数f(x)在π4,π上单调递减
D. 对于任意x∈R，函数f(x)都满足f(π+x)=f(π−x)
三、填空题
10.化简：2cs10∘−sin20∘cs20∘=________.
11.（2025吉林BEST合作体期末）已知α为第一象限角，sinα−π4=1717，tanβ+π4=322，则tan(α+β)=________.
12.计算：sin72∘cs42∘−cs72∘sin42∘=；cs20∘cs70∘−sin20∘sin70∘= .
四、解答题
13.已知−π21010≈0.316），锐角余弦递减，故α0），故tan(α−π4)=14。由两角差的正切公式tanα−11+tanα=14，解得tanα=53。第二步求tanβ：tan(β+π4)=322，由两角和的正切公式tanβ+11−tanβ=322，解得tanβ=−1925。第三步求tan(α+β)：tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=53−19251−(53)(−1925)=687517075=25。
12.答案：12；0
解析：第一空：由两角差的正弦公式sin(A−B)=sinAcsB−csAsinB，得sin(72∘−42∘)=sin30∘=12；第二空：由两角和的余弦公式cs(A+B)=csAcsB−sinAsinB，得cs(20∘+70∘)=cs90∘=0。
四、解答题
13.解：
第一步拆分角（角的配凑）：α+β2=π4+α−π4−β2，由两角差的余弦公式得csα+β2=csπ4+αcsπ4−β2+sinπ4+αsinπ4−β2。第二步求各三角函数值：已知csπ4+α=13，由sin2θ+cs2θ=1，且π4+α的余弦为正（假设α∈(−π4,π4)），得sinπ4+α=1−132=223；已知csπ4−β2=33，由−π20），则(133k)2+(9k)2=1，即507k2+81k2=1，解得k=114。故sinθ=133×114=13314，即sinα+π3=13314。
（2）第一步求csα+π3和sin(α+β)：csα+π3=1−sin2α+π3=914（θ∈(π3,π2)，cs>0）；cs(α+β)=1114，α+β∈(0,π)，故sin(α+β)=1−11142=5314。第二步拆分角：β=(α+β)−α+π3+π3，先求cs(α+β)−α+π3，由两角差的余弦公式得cs(α+β)−α+π3=cs(α+β)csα+π3+sin(α+β)sinα+π3，代入数值得1114⋅914+5314⋅13314=99+195196=294196=32。结合α,β为锐角，验证得β=π6。
15.解：第一步利用诱导公式化简已知条件：由3sin2α+2sin2β=1，得3sin2α=1−2sin2β=cs2β（因cs2β=1−2sin2β）；由3sin2α=2sin2β，得sin2β=32sin2α=3sinαcsα（因sin2α=2sinαcsα）。第二步求cs(α+2β)（利用两角和的余弦公式）：cs(α+2β)=csαcs2β−sinαsin2β，代入cs2β=3sin2α和sin2β=3sinαcsα，得cs(α+2β)=csα⋅3sin2α−sinα⋅3sinαcsα=3sin2αcsα−3sin2αcsα=0。第三步确定α+2β的范围：α,β为锐角，故α+2β∈(0,3π2)，又cs(α+2β)=0，故α+2β=π2。