人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率获奖课件ppt

课题

直线的倾斜角与斜率

教学目标

1.理解直线的倾斜角与斜率的定义，并会用斜率公式计算斜率与倾斜角，正确应用它们之间的关系，提升数学运算素养。

2.会用直线的斜率公式解决三点共线问题，求参问题，提升数学抽象素养，建立转化与化归思想。

教学重点

斜率公式的推导及灵活应用。

教学难点

斜率的取值范围与其相对应的倾斜角的取值范围之间的准确转化。

教学准备

教师准备：PPT课件。

学生准备：预习课本P51—P55。

教学过程

一、导入新课：

怎么衡量楼梯的倾斜程度 ？

老师通过PPT向学生展示现实生活中的倾斜问题，提出问题，引起悬念，从而导出新课，进一步启发学生用倾斜角与斜率学习这节课的内容。

二、知识梳理：

       通过上面的图示，提出问题，引起悬念，进一步带领学生探究现实生活中的倾斜问题以及解决此类问题的方法。阅读课本P51-P55，回答下列问题：

1.经过原点的直线有多少条？彼此间的位置关系是什么？

答案：经过原点的直线有无数条。它们都相交于一点（原点）。

2.与x轴正方向所成的角为600的直线有多少条？彼此间的位置关系是什么？

  答案：与x轴正方向所成的角为600的直线有无数条；它互相平行.

3.经过原点且与x轴正方向所成的角为600的直线有多少条？

  答案：这样的直线有且只有一条.

4.平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件确定?

  答案：第一类，两点确定一条直线。

       第二类，可以利用一个点和直线的一个方向来确定一条直线。

5.直线的倾斜角的定义：

当直线 与轴相交时，我们以轴作为基准， 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角α 叫做直线 的倾斜角。

  规定：当直线和轴平行或重合时，它的倾斜角为0°

  直线的倾斜角的取值范围为：

  思考：直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？

      （1）平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角；

      （2）倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角；

      （3）倾斜程度相同的直线其倾斜角相同。        

探究新知：

已知直线上两点的坐标与其倾斜角，它们之间有关系吗？

（1）如图锐角时             如图， α为钝角时

设 )      则tan

（2）当向量的方向向上时，如图：设（）， （）

设 )     则tan

（3）当直线 与 轴平行或重合时，

则          所以     tan= =0

（4）当直线轴平行或重合时，

则        所以tan= =

综上可知：直线上两点（）， （）()
              的坐标与其倾斜角之间的关系为：

tan=

（6）直线的斜率

     我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.

斜率常用小写字母表示, 即=tanα

讨论：， =0       时， 不存在

        为锐角时， 0    为钝角时， 0

（7）.斜率的计算公式：

      已知直线上两点（）， （）()的坐标与其倾斜角则：k=tan=

    学以致用是每个人必备的思维模型，特别是学生，更要会化解知识体系，故请看下面的练习。

三、跟踪练习：

概念辨析：

1.判断下列说法正确与否？

  （1）任意一条直线都有唯一确定的倾斜角与它对应.

  （2）每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线.

  （3）任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率.

  （4）直线的倾斜角越大，斜率也越大.

答案：   （1）√        （2）×       （3）×        （4）×

公式应用：

2.求过已知两点的直线的斜率：

（1）直线PQ过点P（2，3），Q（6，5）；

（2）直线AB过点A（-3，5），B（4，-2）.

答案： （1）        （2）-1

倾斜角与斜率之间的关系：

3.已知:A(3,2), B(－4,1), C(0,－1),  求直线AB,  BC,  CA

    的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

解:  直线AB的斜率    >0

     直线BC的斜率    <0

     直线CA的斜率   

     由上可知：直线AB,  CA的倾斜角为锐角，直线BC的倾斜角为钝角。

拓展和提升本节课的数学知识和思维方法是数学学习中必不可少的一个重要环节，请学习下一个环节。

四、课堂互动：

互动一：

1. 已知：A(,２），Ｂ（５，１），Ｃ（-４，２）三点在同一直线上，

求的值.

  解：由已知，得 =         

     解之，得   =2    或   =

互动二：

2.已知：直线的倾斜角为=，直线与的交点为A，直线和向上的方向之间所成的角为，求:直线的斜率

  思路探索：画出图像，求得直线的倾斜角，再利用公式k=tan求得斜率

解：设直线的倾斜角为，如图可知= + +=

     直线的斜率-1

互动三：

3.已知两点A(-3，4),    B(3，2）,过点P(1，0）的直线与线段AB有公共点.(1)求直线的斜率的取值范围.

(2)求直线的倾斜角的取值范围.

解：如图，由题意可得-1          1

    (1)要使直线与线段AB有公共点，则直线的斜率

      故的取值范围是

   （2）由题意可知，直线的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间

又直线PB的倾斜角为，直线 PA的倾斜角是

的取值范围是

互动四：

4.求经过A(m,3）,B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角的取值范围.

  思维突破：由于含有参数m，故需要讨论m的取值情况.

  解：    

   （1）当m=1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为

（2）       当m>1时，直线的倾斜角的取值范围为（）.

（3）    当m<1时，直线的倾斜角的取值范围为

（9，）.

数学核心素养价值观的形成是当今数学课改中必不可少的，请回答下列问题

五、素养形成  

1若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为________，斜率为_ _______．

答案：倾斜角为 30° 或 150°     斜率为 或－ 

2．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为

   解：（1）当点在轴上时，设  

                     解之得

       (2）当点在y轴上时，设  

                     解之得b

       综上可得， 或

3.设直线过原点，其倾斜角为α，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线的倾斜角为(　　)．

解析：要注意倾斜角的取值范围

答案：当0°≤α＜135°时，为α＋45°；

      当135°≤α＜180°时，为α－135°。

及时总结，归纳概括，是学习中必须学会的思维模式，进一步提升和拓展，请看：

六、课堂总结：

1.知识清单：（1）直线的倾斜角与斜率的定义.

（2）直线斜率的计算公式：k=tan=

2.解题技巧：（1）灵活应用直线的斜率计算公式解决有关直线的倾斜角与斜率的数学问题。

（2）数形结合思想的进一步深化与应用。

课后作业

课本P55：   练习   1、2、3、4、5.

课本P57-58：习题2.1       1、2、3、4.

板书设计

1.经过原点的直线有多少条？                       跟踪练习：1.                          

彼此间的位置关系是什么？                           2.

2.与x轴正方向所成的角为600的直线有多少条？                 3.

彼此间的位置关系是什么？                 课堂互动：1.

3.经过原点且与x轴正方向所成的角为600的直线                 2.

有多少条？                                         3.

4.平面直角坐标系内的一条直线它的位置                     4.

由哪些条件确定?                          素养训练：1

5.直线的倾斜角的定义                                 2.

6.直线的斜率：                                       3.

7.斜率的计算公式  

教学反思

1.借助于图像研究平面几何问题是解析几何的核心内容，故从本节课开始从最简单的直线入手，研究它在平面直角坐标系中的位置。

2.倾斜角的定义的准确理解要引起重视。

3.灵活应用斜率的计算公式要加强训练。