高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的倾斜角与斜率优质课教学设计

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掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念；
了解倾斜角和斜率概念的形成过程，感受分类讨论的数学方法、从特殊到一般的探究思路，理解其分别从形和数两个角度刻画直线的倾斜程度，体会数形结合的思想；
掌握过两点的直线斜率公式，会用斜率表示直线的方向向量，会用向量方法导出斜率定义的过程.（难点）
教学重难点
重点：①掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念；
②掌握过两点的直线斜率公式．
难点：会用向量方法导出斜率定义的过程.
学情分析与教材分析
学情分析：
有利因素：学生之前学习过正切函数和坡度的概念，对斜率的学习有正迁移作用，部分同学已经具备分析问题和解决问题的能力，还具备一些自学能力，大多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。
不利因素：学生缺乏对倾斜角范围的认识，分类讨论的意识淡薄对理解倾斜角和斜率的关系会有困难。不同学生之间存在较大的差距，对数学概念及思维认知的水平还需要较大的提高，自主探究能力，合作交流的意识等方面还不够均衡。
教材分析：
课标分析：本节课是（人教A版）第二章第一节第一课，数学课程标准强调把学生的“学”作为教师“教”的基础。从教材分析、教学目标、学情分析、重点、难点、教学方法、教学过程、板书设计、设计意图等方面入手设计，目的是为了突出重点，突破难点，使学生更好的掌握《直线的倾斜角与斜率》这堂课的内容。同时给学生一个自行探索的空间和机会，让学生在自我中发现，在自我发展中成长。
核心素养与课程思政分析：通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的教学素养；通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养。通过多媒体教学、学生之间的合作交流、自主学习、独立完成的方式，培养学生在思想政治上的情感体验，提升学生解决问题的能力以及遇到问题冷静处理的态度。在教学过程中，问题的形式，逐步涉入，让学生感知由易到难的事物规律，培养学生坚持不放弃的精神。
地位与作用分析：本节内容是解析几何的起始课，本节课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想方法。倾斜角作为一个几何概念，主要是为后面的斜率、直线与直线的平行和垂直的判定知识做铺垫。斜率则是以代数方法研究图形的几何性质的重要概念，是确定直线方程的重要因素。本节课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。
教学过程
复习回顾，引入新知
引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念.在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡儿、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化.这是解析几何的创始.
我们知道，点是构成直线的基本元素．在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来．
问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？
学生：学生平面几何知识，得出答案：点、线、面.对研究方法表述不全面.
教师：由此引入解析几何的相关数学文化的输入与教学。
我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对象对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的.
师生：教师引导学生回顾平面几何中的研究对象、研究方法的基础上，指出本章要用坐标法对这些对象进行再研究，并说明坐标法与综合法的异同，特别要强调坐标法实现了对图形性质的定量化研究.
设计意图：通过回顾，明确解析几何学的研究对象，使学生对坐标法形成初步印象，并引出本节的研究内容.
新课探究
回顾：我们学过函数y=kx+b，它的图象是什么？
学生：一条直线.
问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？
学生：学生独立思考并回答.学生的最常见的回答是“两点确定一条直线”.
追问：还有没有其他确定一条直线的方法？如何利用坐标系确定它的位置？
学生：一点和一个方向也可以确定一条直线．设，为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线．
追问：经过一点P有多少条直线？
学生：在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束．
追问：它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？
学生：无数条直线方向不同、直线的倾斜程度不同，也就是直线与x轴所成的角不同．
设计意图：引导学生在两点确定一条直线的基础上，认识到“一点和一个方向”也可以唯一确定一条直线，方向是直线的一个重要几何要素.在上述探究过程中，学生的第一反应是与x轴的夹角.教师要做好引导，说明方向与夹角之间的关系，两者都描述了直线的倾斜程度.
问题3：怎样描述这种“倾斜程度”的不同?
师生活动：在学生充分讨论的基础上，教师可以引导学生思考，以平面直角坐标系中坐标轴为基准规定直线的方向，并用直线与x轴形成的角刻画直线的方向，在此基础上引入倾斜角的概念.
设计意图：让学生通过观察过同一点的不同位置的直线，并强调以直角坐标系为参照系，探究区分不同位置直线的方法，引导学生感受在直角坐标系中利用倾斜角刻画直线方向的合理性.
问题4:你认为直线的倾斜角在什么范围内变化？
当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．图2.1-2中直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角．当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为．因此，直线的倾斜角的取值范围为，
这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．
师生活动：教师可通过信息技术演示直线与轴平行或重合时开始绕一个点旋转的过程，让学生感受直线的倾斜角的变化范围是使学生确认范围内的角能表示所有直线的方向.
设计意图：借助信息技术的直观，引导学生讨论在直角坐标系中直线的倾斜角取值的各种情况，进一步确认用倾斜角刻画一条直线倾斜程度的合理性.
小试牛刀：判断下列结论是否正确
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角. √
方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等. √
方向不同的直线，倾斜角可能相等. ×
可以用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向 √
小结：任何一条直线都有唯一确定的倾斜角与它对应
问题5：直线的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢?
我们知道，直线可由其上任意两点，唯一确定，可以推断，直线的倾斜角一定与两点的坐标有内在联系．到底具有怎样的联系？
下面我们利用向量来研究这个问题.在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为．
（1）已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？
（2）类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？
师生活动：教师提出问题，引导学生体会向量法的优势，以及为什么要用正切函数来建立角a与给定两点坐标之间的联系（作为比较，必要时可以引导学生分析用正弦函数或余弦函数的弊端）
追问：你能将上述方法进行一般性的推广吗？
师生活动：学生通过独立思考，将问题推广到一般情形，并自主探究解答.当的方向不同时，教师要引导学生讨论倾斜角与，两点坐标的关系，得到计算公式后追问下面的问题.
一般地，如果直线经过两点，，那么与，的坐标有怎样的关系？
下面我们利用向量法探究上述问题
对于问题(1)，如图2.1-3(1)，向量，且直线的倾斜角为．由正切函数的定义，有
对于问题(2)，如图2.1-3(2)，．平移向量到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是．由正切函数的定义，有
．
一般地，如图2.1-4，当向量的方向向上时，，平移向量到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是，由正切函数的定义，有
．
同样，当向量的方向向上时，如图2.1-5，，也有
．
问题6：当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
学生：当直线与轴平行或重合时，直线倾斜角为0，，又此时，，所以当直线与轴平行或重合时，上述式子成立.
教师：综上可知，直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系：
． ①
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示，即
②
注释：日常生活中常用坡度表示倾斜面的倾斜程度：．当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的．
师生活动：学生在观察与分析中能发现公式对垂直于x轴的直线不适用，其他都适用；并能在讨论交流中认识到该公式是通过点的坐标刻画倾斜角，也就是直线的方向，这正是我们最希望得到的一个量——用点的坐标表示直线的方向.从而引导学生将其命名为斜率（顾名思义，就是倾斜程度的一个比值），并用小写字母表示，即.最后引导学生回忆日常生活中坡度的计算方法：，感知直线的斜率与坡度有相似的地方.
设计意图：通过对特殊问题一般化的抽象得到倾斜角的正切值，即斜率的计算公式，并通过师生对该公式意义的分析，发现它正是我们寻求的刻画直线方向的代数表达.这种形式能直接参与代数运算，实现用代数方法处理几何问题的目的.
问题7：当直线的倾斜角由逐渐增大到时，其斜率如何变化？为什么？
师生活动：教师引导学生利用数形结合的思想，引导学生通过正切函数的概念以及单调性回答，可以画出正切函数的图象，帮助学生理解其中的变化情况和特殊点的取值.
由学生总结出相应的结论，师生共研。
① α为锐角时，α越大，斜率越大，k由0变化到+∞；
② α为钝角时，α越大，斜率越大，k由-∞变化到0；
③ 倾斜角不同，斜率不同，从而斜率可以表示不等于90°的直线的倾斜程度。
④ 刻画直线倾斜程度：从形的角度：倾斜角不同，倾斜程度不同；从数的角度：斜率不同，倾斜程度不同，
设计意图：结合正切函数的概念及其单调性，帮助学生认识随着倾斜角的变化，斜率的变化情况，理解其中斜率不存在的情况，使得学生对倾斜角和斜率的概念有更清晰的认识.
问题7：（1）已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序有关吗？
（2）当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
学生：（1）已知直线上的两点，，则
所以，计算直线的斜率时，与两点的顺序无关.
（2）直线与y轴平行或重合，
① 倾斜角为90°，斜率不存在； ② x1=x2，斜率公式中分母为0;
所以，不适用于以上斜率公式。
问题8：你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？
我们知道，直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量．直线的方向向量的坐标为．
当直线与轴不垂直时，，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标为，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则．
师生活动：教师引导学生建立直线的方向向量与其斜率之间的关系，利用直线的方向向量
设计意图：利用斜率公式和直线的方向向量的坐标表示，建立二者之间的联系，为今后相关问题的解决奠定基础.
应用新知
牛刀小试：（1）完成下列表格
2.(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( BC ).
A．30°B．60°C．120°D．150°
例1如图2.1-6，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解：直线的斜率，直线的斜率，
直线的斜率，
由>及可知，直线与的倾斜角均为锐角；由可知，直线的倾斜角为钝角．
总结：1、利用两点坐标求斜率应该注意什么？
① 先判断两点的横坐标是否相等：相等则斜率不存在，不相等则用斜率公式求斜率；
② 先用斜率公式计算斜率，注意坐标相减的方向，切勿出现以下错误：
2、如何用斜率正负判断倾斜角是锐角还是钝角？
斜率大于0，倾斜角为锐角；斜率小于0，倾斜角为钝角；
跟踪练习： 已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解：直线的斜率，直线的斜率，
直线的斜率，
由>及可知，直线与的倾斜角均为钝角；由可知，直线的倾斜角为锐角．
师生活动：例1由学生自己完成，可以请一位同学上讲台板书解题过程；思考题为备选题,
视学生学情而定，可以师生共同分析完成.
设计意图：通过例1帮助学生巩固掌握斜率公式，熟悉斜率大小与倾斜角的关系；思考题是为基础比较好的班级学生设计的，也可以留作学生课后思考讨论.例1分为两步，第一步是根据两点的坐标，直接求经过两点的直线的斜率，是过两点的直线斜率公式的直接应用，目的是让学生了解公式的结构；第二步由斜率的正负以及正切函数的取值规律，可以得到直线的倾斜角是锐角或钝角，它是由斜率判断倾斜角，目的是让学生进一步认识倾斜角与斜率的关系.教学时，要适当复习正切函数的概念和性质，包括自变量的取值范围，函数值的取值规律，区间上的单调性，等等.至于角度是用角度制，还是用弧度制，没有特别的要求，两种度量值都可以.
能力提升
题型一：利用斜率相等求参数值
过、两点的直线的倾斜角为，那么 ．
【解答】解：过、两点的直线的倾斜角为，则，
又．故答案为：1．
方法总结：利用同一直线或者平行直线的斜率相等，建立方程，解方程求解参数值
题型二：利用直线的方向向量求斜率
若直线的一个方向向量，则直线的斜率为：______
【解答】解：由直线的方向向量，可得直线的斜率.
方法总结：若直线的一个方向向量，则直线的斜.
题型三：已知倾斜角的范围求斜率的范围
(1)若直线l的倾斜角α满足45°