人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的倾斜角与斜率优秀教学设计

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题组一 由斜率判断两条直线平行
【例题1】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行.
（1）直线经过点，直线经过点；
（2）直线平行于y轴，直线经过点，；
（3）直线经过点，直线经过点.
【答案】（1）不平行；（2）平行；（3）不平行.
【分析】（1），所以直线与不平行；
（2）直线与y轴重合，所以直线与平行；
（3）E，F，G，H四点共线，直线与重合.故直线与不平行.
【详解】解：（1）直线的斜率，直线的斜率，显然，所以直线与不平行.
（2）直线与y轴重合，所以直线与平行.
（3）直线的斜率，直线的斜率，所以，又，所以E，F，G，H四点共线，直线与重合.故直线与不平行.
题组二 由斜率判断两条直线垂直
【例题2】设平面内四点，，，，证明：（1），（2）.
【答案】证明见解析
【分析】求相应直线的斜率，结合垂直关系即可证明.
【详解】由题意可得：，，，，
（1）因为，所以，
（2）因为，所以.
题组三 已知直线平行求参数
【例题3】已知直线的倾斜角为，直线的斜率为，若∥，则的值为 ．
【答案】/2或/或2
【分析】由直线倾斜角由斜率的关系可知直线的斜率为，再由两直线平行，斜率相等列出等式，即可求出答案.
【详解】由题意知，解得.
故答案为：
题组四 已知直线垂直求参数
【例题4】若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用斜率公式表示出；再根据两直线垂直列出关系式求解即可.
【详解】由题意得，直线l的斜率必存在，且(a≠0).
因为直线l与斜率为的直线垂直
所以，解得.
故选：A.
题组五 直线平行、垂直的判定在几何中的应用
【例题5】（1）已知ΔABC的三个顶点分别是，，，点在边的高所在的直线上，则实数 .
【答案】3
【分析】根据可知，则，利用两点连线斜率公式可构造方程求得结果.
【详解】由题意得：
又 ，解得：
故答案为：
（2）已知点，，，，试判定四边形的形状．
【答案】直角梯形
【分析】根据题意求直线的斜率，利用斜率结合平行、垂直关系分析判断.
【详解】由斜率公式可得：，，，，
因为，可知，
因为，可知与BC不平行，
又因为，可知，
所以四边形ABCD是直角梯形．
基础达标
1．下列说法中正确的有（ ）
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于
【答案】C
【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可.
【详解】对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误；
对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行或重合，所以B错误；
对于C，若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直，故C正确；
对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于，故D错误；
故选：C
2．若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ．
【答案】平行或重合
【分析】求得直线与的斜率，进而可得结论.
【详解】直线的倾斜角为135°，故斜率．
由经过点，，得，
所以，所以直线与平行或重合．
故答案为：平行或重合．
3．已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（ ）
A．－1B．－2
C．－1或2D．－2或1
【答案】C
【分析】利用直线的斜率公式求解.
【详解】由题意得，
因为，所以，即，
化简得，
所以或，
又由得＝－1或2，
故选:C.
4．两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（ ）
A．垂直B．斜交
C．平行D．重合
【答案】A
【分析】由题意利用根与系数的关系可得两直线的斜率乘积为，从而可判断出两直线的位置关系.
【详解】设两直线的斜率分别为，，
因为，是方程的两根，
所以利用根与系数的关系得，
所以两直线的位置关系是垂直．
故选：A．
5．已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（ ）
A．－8B．0C．2D．10
【答案】A
【分析】由两点的斜率公式表示出直线的斜率，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案.
【详解】由题意可知，，解得．
故选：A
6．若经过点和的直线l与斜率为的直线互相垂直，则m的值是 ．
【答案】
【分析】根据斜率公式和直线的垂直与斜率的关系求解.
【详解】由题意可知，又因为，
所以，解得．
故答案为: ．
7．过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直
【答案】B
【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系.
【详解】由题意，点和点，可得，所以的方程为，
又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行.
故选：B．
8．以，，为顶点的三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以点为直角顶点的直角三角形
D．以点为直角顶点的直角三角形
【答案】C
【分析】求出、的斜率，即可判断.
【详解】因为，，
所以，，
∴，∴，
∴是以点为直角顶点的直角三角形.
故选：C
9．已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.
【答案】，证明见解析.
【分析】根据两条直线的斜率求得正确答案.
【详解】由已知可得直线的斜率，
直线的斜率，因为，
由图可知：直线.
10．判断下列各题中直线与是否平行或垂直．
(1)经过点，经过点；
(2)经过点，经过点.
(3)经过点，经过点；
(4)经过点，经过点.
【答案】(1)既不平行也不垂直
(2)平行
(3)既不平行也不垂直
(4)垂直
【分析】根据点的坐标，先判断直线是否与坐标轴垂直，若垂直则易判断两直线位置关系；若不垂直，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为，斜率相等时注意是否重合.
【详解】（1）两直线斜率都存在，
由，.
由，得与既不平行也不垂直．
（2）与都与x轴垂直，且与不重合，所以与平行.
（3），，
由，得与既不平行也不垂直．
（4）与x轴垂直，与轴垂直，得与垂直．
能力提升
1．已知，不重合，过点和点的直线与直线平行，直线的斜率为，直线的斜率为，若，，则实数的值为 .
【答案】
【分析】由题，根据两直线平行和垂直的斜率关系，分别列式求得m，n的值，可得的值．
【详解】由题意可得，直线的斜率，直线的斜率，直线的斜率，
，
，即，
解得，
又，
，即，
解得，
.
故答案为：.
2．（多选）已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】BD
【分析】分为和，两种情形，根据两直线垂直和斜率的关系可得结果.
【详解】当时，由知，.故B可能正确；
当时，的斜率不存在，故D可能成立.
故选：BD
3．已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，根据平行、垂直关系列式求解即可.
【详解】由题意可知：，，
若，，可知直线的斜率存在，
设，则，，
则，即，解得，即．
故选：D.
4．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（ ）
A．的倾斜角为，的斜率为
B．的斜率为，经过点，
C．经过点，，经过点，
D．的方向向量为，的方向向量为
【答案】BCD
【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D.
【详解】对A，，，，所以A不正确；
对B，，，故B正确；
对C，，，，故C正确；
对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确.
故选：BCD
5．已知两条直线的斜率分别为和，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为 ．
【答案】
【分析】由题意可得，利用二次函数的性质可求最大值.
【详解】因为两条直线互相平行，所以，所以，
当且仅当时取等号，故实数a的最大值为．
故答案为：．
6．在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为O0,0、、、，其中．试判断四边形的形状．
【答案】四边形OPQR为矩形.
【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式计算判断即可.
【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率，
直线的斜率，直线的斜率，
显然，，在四边形中，，，
因此四边形为平行四边形，又，则，
所以四边形为矩形.
直击高考
阅读材料：若直线l方程为，则直线l的斜率，根据该材料完成下列各题：
1．（2024·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】借助垂直直线斜率的关系计算即可得.
【详解】由题意可得，解得.
故选：A.
2．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.
【详解】当时，直线，则，
当时，，解得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
3．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】当时，，
即，则，即；
当时，，解得.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
4．（2023·辽宁丹东·二模）直线与直线平行，则（ ）
A．-2B．1C．-2或1D．-1或2
【答案】A
【分析】由两直线平行即可得出的值.
【详解】由题意，
直线与直线平行，
∴由，得或．
当时，，，．
当时，l1:x+y−3=0，，与重合．
故选：A.
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据直线垂直的条件得，根据基本不等式得，从而可得结果.
【详解】因为，
即，当且仅当时取等号，
，即的最大值为.
故答案为：.