人教A版 (2019)空间向量基本定理习题

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知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
知识点二 空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.
像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
【题型目录】
题型一、空间的基底
题型二、用空间基底表示向量
题型一、空间的基底
1．（多选）若向量{，，}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，2B．，，
C．，，D．2，，
2．（多选）已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，两两共面，则，，共面
C．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得
D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
3．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________.
题型二、用空间基底表示向量
4．三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．
(1)证明：、、、四点共面．
(2)若，求．
6．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________.
1．下列结论错误的是( )
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底
D．若eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面
2．已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ）
A．B．
C．D．
4．在四面体O－ABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq \(OE,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))成为空间的一个基底的是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)) B.eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))
C.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(MA,\s\up6(→))＝2eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))
3．如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq \(AO1,\s\up6(—→))，eq \(AO2,\s\up6(—→))，eq \(AO3,\s\up6(—→))}为基底，eq \(AC′,\s\up6(——→))＝xeq \(AO1,\s\up6(—→))＋yeq \(AO2,\s\up6(—→))＋zeq \(AO3,\s\up6(—→))，则( )
A．x＝y＝z＝eq \f(1,2) B．x＝y＝z＝1 C．x＝y＝z＝eq \f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2
5．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D．若，则是钝角
6．如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是______.
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(AD1,\s\up6(—→))作为基向量，则eq \(AC1,\s\up6(—→))＝____________.
8．如图所示，已知PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝1，四边形ABCD为正方形，以{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))}为基底，则eq \(MN,\s\up6(→))＝________.
9．如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．
(1)以为一组基底表示向量；
(2)若，，，求．
10．如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
用向量a，b，c表示向量eq \(GH,\s\up6(→)).