高中人教A版 (2019)空间向量基本定理课后测评

这是一份高中人教A版 (2019)空间向量基本定理课后测评，文件包含人教A版选择性必修一高二数学上册同步讲义+达标检测122空间向量基本定理的初步应用原卷版docx、人教A版选择性必修一高二数学上册同步讲义+达标检测122空间向量基本定理的初步应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使p＝xa＋yb.
知识点二 求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
知识点三 求距离(长度)问题
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a) ( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
【题型目录】
题型一、证明平行、共面问题
题型二、证明垂直问题
题型三、求夹角问题
题型四、求距离（长度）问题
题型一、证明平行、共面问题
1．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点．
求证：BF∥ED′.
【详解】证明 eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CC′,\s\up6(——→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DD′,\s\up6(——→))，
eq \(ED′,\s\up6(——→))＝eq \(EA′,\s\up6(——→))＋eq \(A′D′,\s\up6(———→))＝eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(——→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DD′,\s\up6(——→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
∴eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(ED′,\s\up6(——→))，∴eq \(BF,\s\up6(→))∥eq \(ED′,\s\up6(——→))，
∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
2．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，．
(1)用，，表示，；
(2)求证：，，，四点共面．
【详解】(1)，分别是，的中点，则且
所以，，分别是，的中点，则且
(2)，，，
∴，从而，，，四点共面．
题型二、证明垂直问题
3．如图，在四面体中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若，求证：．
【分析】欲证，只要证明，需将用其他向量表示后再进行计算．
【详解】证明：如图，设．
因为P，M分别为OA，BC的中点，所以．
N，Q分别为AC，OB的中点,则
所以．
又因为，所以
所以，所以，即．
4．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．
求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
【分析】设，，，并以它们为基底表示出、、，在面BDD1B1上任意一点P有，结合已知并应用向量数量积的运算律求，即可证结论.
【详解】设，，，则为空间的一个基底且，，.
因为AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，
所以，.
在平面BDD1B1上，取、为基向量，则对于面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得.所以，.
所以是平面BDD1B1的法向量．所以A1C⊥平面BDD1B1.
题型三、求夹角问题
5．如图， 三棱柱 ，为 的中点， ， 设
(1)试用 表示向量 ；
(2)若 ，异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由向量中线定理和三角形法则可得答案；
（2）计算出，，代入，，， 由异面直线向量夹角公式可得答案.
【详解】(1)因为D为中点，所以，
由．所以，所以．
(2)由题意知，，
所以，，，
所以，所以异面直线AE与所成角的余弦值为．
6．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且
(1)用表示；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)由题意；
(2)，
由已知，，
，
又，，
设异面直线与所成角为，则．
题型四、求距离（长度）问题
7．如图所示，在四棱锥中，，且，底面为正方形.
(1)设试用表示向量；
(2)求的长.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）将，代入中化简即可得出答案.
（2）利用，结合向量数量积运算律计算即可.
【详解】(1)∵M是PC的中点，∴.
∵，∴，结合，，，
得.
(2)∵，∴，∵，
∴，，
∴.
∴，即BM的长等于.
8．在三棱锥中，是的中点，在上，且，，，，
（1）试用，，表示向量；
（2）若底面是等腰直角三角形，且，，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)根据给定条件利用空间向量线性运算直接写出并化简计算即可；
(2)利用给定条件借助空间向量的数量积即可计算的长.
【详解】（1）依题意，因是的中点，在上，且，
则
，所以；
（2）因，，，
即，则，，，
由(1)知：，
所以的长是.
9．如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知库底与水坝所成的二面角为120°,测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为,,又已知,则甲、乙两人相距( )
A．50 mB． mC．60 mD．70 m
【答案】D
【分析】把向量拆分为,再平方可得|．
【详解】因为,
所以||2==||2+||2+||2+2()
=302++402+2(0+0+30·40·cs60°)=4900,于是||=70m,故甲、乙两人相距70m.选D.
1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.
【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，
则
，
又，，，
则，，
因此，
.故选：B
2．（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.记，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，以作为基底，按照向量的线性运算和数量积公式，逐项计算即可得解.
【详解】由，故A正确；由为中点，
所以，故B错误；
对C，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，即模长为，夹角为，
，所以，故C正确；，，
又，
所以，故D正确.
故选：ACD.
3．（多选）如图，在四面体P﹣ABC中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若四面体各棱长均为4，分别是的中点，则
C．若在平面上存在一点，使，则
D．若该四面体为正四面体，则二面角的大小为
【答案】AC
【分析】A选项，证明出线面垂直，进而证明线线垂直；B选项，作出辅助线，利用勾股定理求出的长；C选项，利用空间向量基本定理得到；D选项，作出辅助线，得到为二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小.
【详解】因为，所以平面，因为平面，所以，A正确；
连接，因为四面体各棱长均为4，分别是的中点，则由勾股定理得：，所以是等腰三角形，由三线合一可知：，由勾股定理得：
，B错误；
，即，所以，所以，C正确；
取AB中点G，连接PG，CG，因为该四面体为正四面体，所以，则为二面角的平面角，设正四面体棱长为，则则，所以二面角的大小不是60°，D错误.
故选：AC
4．已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________．
【答案】
【分析】由向量的方法计算，将表示成，平方即可.
【详解】由题可知四棱柱为平行六面体，，
所以
，所以.故答案为：.
5．正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为___．
【答案】1
【分析】根据给定条件用空间向量的一个基底表示与，再利用空间向量数量积及运算律计算作答.
【详解】在正四面体ABCD中，令，显然，，，如图：
因点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则，
，
于是得，
所以的值为1.故答案为：1
6．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直.
已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且，求证 .
【分析】设，由空间向量的运算证明，.
【详解】证明：设
则
，
，
，，
，
又，同理可证，
这个四面体相对的棱两两垂直.
7．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．
【分析】利用空间向量的数量积计算得出，可得出，同理可得出，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立.
【详解】设，，，
由于四边形为菱形，则，即，
所以，，同理可得，由题意可得，，
所以，，所以，，同理可证，
因为，因此，平面.
8．如图，三棱柱中，M为AB上靠近于A的三等分点，N为中点，记，，．
(1)试用表示．
(2)若三棱柱各棱长均为6，且，求直线MN与AB所成角的余弦值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据，利用空间向量的运算和基本定理求解；
（2）先利用数量积运算求得，，，设直线MN与AB所成角为，由求解.
【分析】(1)解：，又，
为近A的三等分点，，因为N为中点，，
，，
，.
(2)，∵棱长为6 ，，
，则与所成角为60° ， ，
，，
，
设直线MN与AB所成角为.
9．已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，．
(1)用，，表示及求；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)，；(2).
【分析】（1）根据向量的线性运算可表示出，根据向量数量积的定义和运算律可求得，进而得到；
（2）利用向量数量积的定义和运算律可求得，由向量夹角运算求得，由此可得所求余弦值.
【详解】(1)，
，.
(2)，
，
又，，，
异面直线与所成的角的余弦值是.
1．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可求得结果.
【详解】以点为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，，设异面直线与所成角为，则.故选：B.
2．如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么（ ）．
A．B．
C．D．与不能比较大小
【答案】C
【分析】由题设易得，且，应用向量数量积的运算律化简，进而比较它们的大小关系.
【详解】∵E是BC的中点，，∴，即．不妨设空间四边形的各边和对角线长均为1，又，，两两之间的夹角均为60°，
∴．
故．故选：C
3．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由空间向量的加法可得出，利用空间向量数量积的运算可求得的值.
【详解】依题意，，因为为等边三角形，，，，，
所以，，，，
所以，
.故选：D.
4．已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC，结合充分必要条件的定义即可求解.
【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x，y，使得，所以必要性成立；若存在实数x，y，使得，则共面，则平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立；所以 “存在实数x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分条件，
故选：B
5．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为
【答案】B
【解析】选项，计算得，所以选项不正确；
选项，，所以，所以选项正确；
选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
【详解】选项，由题意可知，则
，∴，所以选项不正确；
选项，，又，
∴，所以选项正确；
选项，，，
∴向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，，，设与所成角的平面角为，
∴，所以选项不正确.
故选：B
6．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定
【答案】A
【分析】根据题意，得到，，进而求出，根据，即可判断B的大小；利用上述方法求得，，即可判断C和D的大小，进而可以判断出三角形的形状.
【详解】，，为锐角，同理：，，D和C都为锐角，
∴为锐角三角形.故选：A.
7．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）．由余弦定理，计算得即可．
【详解】如图，设的中点为，连接、、，
易知即为异面直线与所成的角（或其补角）设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，
则，，，由余弦定理，得故应选B.
8．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小是 （ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
【答案】C
【分析】选出向量的基底，将，用基底表示，求出两个向量的数量积，利用向量垂直的充要条件求出两个向量的夹角．
【详解】设，，，，则，，
，
∴，∴与所成的角的大小是，故选C．
9．（多选）若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（ ）
A．的取值范围是
B．能构成空间的一个基底
C．“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件
D．
【答案】BD
【分析】根据给定条件结合空间向量相关知识逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】因，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则三棱锥是侧棱长为1的正三棱锥，如图，
作平面于点，连接，则，
，，中，由余弦定理得，
于是得，A不正确；
因，，是不共面的，由空间向量基底的意义知，B正确；
假定P，A，B，C四点共面，依题意，存在唯一实数对使得，
即，而，由空间向量基本定理知，此方程组无解，则有P，A，B，C四点不共面，“”是“P，A，B，C四点共面”的不充分不必要条件，C不正确；
，D正确.故选：BD
10．（多选）在三棱锥中，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若G为的重心，则
C．若，，则
D．若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则
【答案】BC
【解析】作出三棱锥直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.
【详解】
对于A ，由已知，即，则，故A错误；
对于B，由G为的重心，得，又，，，，即，故B正确；
对于C，若，，则，即，即，故C正确；
对于D，
，又，，故D错误.故选：BC
11．如图，在四面体ABCD中，AB=CD=3，AC=BD，AD=BC=2，△ABC的重心为O，则DO=___________.
【答案】
【分析】设，延长交于,连接.求出，，，再求出，平方化简即得解.
【详解】解：由条件可得cs∠BCA，
cs∠BCD，cs∠ACD，
设，则||，||=2，||=3，，，，
延长交于,连接.
所以()，
则•••1112+9，
所以||，所以DO.故答案为：.
12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号)
① (＋＋)2＝2()2 ；
②·(－)＝0 ；
③向量与的夹角是60°；
④BD1与AC所成角的余弦值为.
【答案】①②
【分析】根据空间向量数量积的运算律及空间向量基本定理一一计算可得；
【详解】解：因为以为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为，不妨设棱长为，
对于①，，
因为，则，所以，故①正确；
对于②，因为，故②正确；
对于③，因为，显然为等边三角形，则，
所以向量与的夹角为，向量与的夹角为，故③不正确；
对于④，因为，，
则，，
所以，
所以，故④不正确．故答案为：①②．
13．如图所示，已知四面体ABCD的棱长为1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，设=，=，=，{，，}为空间向量的一个基底，计算:
（1）·；
（2）||.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)根据的模与夹角，利用数量积公式先求的值，再根据求得结果；（2）由先平方，再开平方即可.
【详解】（1）由题意得||=||=||=1，·=·=·=，
∵=-=-，=-，∴·=·(-)=-+=.
（2）∵=-=(+)-，
∴==2+2+2+·-·-·=，∴||=.
14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB＝2AD＝2，PA＝2，∠PAB＝∠PAD＝60°．
(1)求PC的长；
(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设由求解；
（2）由求解.
【详解】(1)解：设
∵AB＝2AD＝2，PA＝2，∠PAB＝∠PAD＝60°，
∵，
(2)，且
∴＝
∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为.
15．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.
(1)试用、、表示；
(2)求的长度.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)根据给定条件结合空间向量的线性运算计算作答.
(2)用、、表示出，借助空间向量数量积运算计算作答.
【详解】(1)平行六面体中，，，，因，于是得：
，
所以.
(2)平行六面体中，，，
，
因，且底面是正方形，，，
则有，，同理，，
因此，，
所以的长度是.
16．如图，三棱柱中，分别是上的点，且．设，，．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，求的长．
(3)在（2）的条件下，求与所成角的余弦值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.
（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.
（3）在（2）的条件，利用向量的夹角公式即可求出结果.
【详解】(1)解：（1）=＋＋=＋＋
，又，，，∴．
(2)解：∵，∴．
∵，∴．∵，∴，
∴，∴．
(3)解：∵∴
又∴.