高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的平行课堂检测

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1．如图，在正方体中，分别是棱的中点，求证：∥平面．
2．如图所示，四棱锥中，点分别是棱上共面的四点，∥平面．证明．
3．已知直线，则直线与平面的位置关系是？
4．在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为中点．求证：平面∥平面．
5．已知平面，直线，结论是正确的吗？
类型一：忽略线面平行的判定定理的条件
【错因解读】线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈．面面平行的判定定理易把条件错误地记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大．
【典例引导】如图，在正方体中，分别是棱的中点，求证：∥平面．
【错误解法】连接，并延长至点，使，连接．
在中，是中点，是的中点，
∴，而平面，平面，故∥平面．
【正确解法】连接，并延长交的延长线于，连接．
∵是的中点，
∴是的中点．
在中，是的中点，是的中点，
∴．
而平面，平面．
∴∥平面．
【补救措施】本题的错误在于平面这一结论没有根据，只是主观认为在平面内，说明同学们在利用线面平行的判定定理时，对两直线平行比较关注，而对另外两个条件（一直线在平面内，另一直线在平面外）容易忽视，大多数情况下这两个条件在作图（添加辅助线）时就可以清楚地表达出，一般不需单独证明，而本题作图过程看不出面的理论依据，而且题设条件是的中点没有用到，而没有这一条件，结论会成立吗？比如把点移至点，显然结论不成立．
总结：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，应用时注意不要混淆．
【再练一个】
1．如图，在三棱锥中，O，M分别为AB，VA的中点．求证：平面MOC．
类型二：线面平行性质定理理解错误
【错因解读】对线面平行性质定理理解不透彻，出现误解，导致使用性质定理造成解答出错．
【典例引导】如图所示，四棱锥中，点分别是棱上共面的四点，平面．证明．
【错误解法】证明：∵平面，平面，
∴．
同理可证，因此．
【正确解法】证明：∵平面，平面，且平面平面，∴．
同理可证，因此．
【补救措施】本题的错误在于把线面平行的性质定理错误地理解为“若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的所有直线”而致误．
总结：直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．注意这是由线面平行到线线平行的一种转化，是证明线线平行的重要方法．
【再练一个】
2．如图，已知三棱锥中，为正三角形，，D，E分别为，的中点，经过的平面与分别交于点G，F，且．求证：四边形是平行四边形；
类型三：对平行关系理解有误
【错因解读】混淆定义与判定定理，忽略关键条件：
①线面平行定义需满足：直线不在平面内且与平面无公共点（漏掉"直线在平面外"）；
②面面平行定义需满足：两平面无公共点（漏掉"排除相交"）．
【典例引导】已知直线，则直线与平面的位置关系是？
【错误解法】由题意，
由且，直接得出．
【正确解法】由题意，
若，则；
若，则在平面内．
【补救措施】本题的错误在于本题错误在于将线面平行的判定定理（）与定义混淆，忽略了定义中＂直线不在平面内＂的前提．
总结：定义是位置关系的描述，判定定理是推理工具；用定义时务必检查遗漏条件（如线在面外、面无交点）．
【再练一个】
3．设，为两个不同的平面，则“”是“内有无数条直线与平行”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
类型四：面面平行判定定理理解错误
【错因解读】面面平行的判定定理容易出现两个错误：一种只证明一组线面平行；另一种是忽略线线相交．
【典例引导】在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为中点．求证：平面平面．
【错误解法】证明：
∵为中点，为中点，
∴，
∵底面为平行四边形，
∴，
∴，
∵平面平面，
∴平面．
∵平面．
∴平面平面．
【正确解法】证明：
∵为中点，为中点，
∴，
∵底面为平行四边形，
∴，
∴，
∵平面平面，
∴平面．
同理可证，
∴平面．
∵且平面，
∴平面平面．
【补救措施】本题的错误在于仅用单一线面平行推导面面平行，未满足"两条相交直线都平行于另一平面"的判定定理条件．
总结：面面平行的判定定理的核心是：两组线面平行和线线相交．
【再练一个】
4．三棱柱中，分别为中点．若过的平面交于,且平面，则平面平面成立吗？
类型五：面面平行性质定理理解错误
【错因解读】误以为面面平行是分别在两个面内的线均平行，或者不能把面面平行转化为线面平行．
【典例引导】已知平面，直线，结论是正确的吗？
【错误解法】由题意，
结论正确．理由："两平面平行，则其中直线必平行"．
【正确解法】由题意，
结论错误．理由：当与不平行于两平面交线方向时，可能为异面直线．
【补救措施】本题的错误在于
总结：面面平行的性质定理，要注意以下几点：
1．其中一个面内任一条线均平行于另一个面；
2．与同一个面的交线平行．
【再练一个】
5．在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且平面，则P点的轨迹长度为 .
（易错点：对平行关系理解有误）
6．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则．
其中正确的命题是（ ）
A．（1）（3）B．（2）（4）C．（3）（4）D．（1）（2）
（易错点：面面平行性质定理理解错误）
7．如图所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AE⊥CD，且E为CD的中点，M、N分别是AD、BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列所有正确说法的序号是 ．
①不论D折至何位置（不在平面ABC上），都有MN∥平面CDE；
②不论D折至何位置（不在平面ABC上），都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置（不在平面ABC上），都有；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使CE⊥AD．
（易错点：面面平行判定定理理解错误）
8．下列命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线平面，直线，则；④是异面直线，则存在唯一的平面，使它与都平行且与距离相等，其中所有正确的命题序号为 ．
（易错点：线面平行性质定理理解错误）
9．刍（chú）甍（méng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术曰：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形为长方形，平面，和是全等的等边三角形.求证：∥；
（易错点：忽略线面平行的判定定理的条件）
10．自古以来，斗笠是一个防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种叫做棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录．现测量如图中一顶斗笠，得到图中圆锥模型，经测量底面圆的直径，母线，若点在上，且，为的中点．证明：平面；
《8.4 空间直线、平面的平行【错题档案】（我的错题本）人教A必修二》参考答案：
1．证明见解析
【分析】利用三角形中位线定理证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论.
【详解】证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以,
又因为平面MOC，平面MOC，所以平面MOC．
2．证明见解析
【分析】根据线面平行的性质可得，即可证得，证明平面，再根据线面平行的性质可得，即可得证.
【详解】证明：平面，平面PAC，平面，平面，
，，
D，E分别为，的中点，，
又平面，平面，平面，
，平面，，
四边形是平行四边形.
3．A
【分析】根据面面平行性质以及线面平行性质判断即可.
【详解】易知当“”时，一定满足“内有无数条直线与平行”，因此充分性成立；
若“内有无数条直线与平行”，此时可能相交，有无数条直线与两平面的交线平行，即必要性不成立；
所以“”是“内有无数条直线与平行”成立的充分不必要条件.
故选：A
4．成立
【分析】连接交于点,连接,由平面推得，由线线平行可得平面，结合条件可得平面，由线面平行可证得面面平行.
【详解】

如图，连接交于点,连接,因平面，平面,
平面平面,故,又因平面，平面，
则平面，又分别为中点,则 ,
因平面，平面，则平面，又平面,
故平面平面.
故结论成立．
5．##
【分析】根据正四面体的性质可得线线平行，进而得平面平面，故点的轨迹为线段，即可利用三角形边角关系求解长度得解.
【详解】如图：补全正四面体，连接,
取分别为大正四面体棱的中点，连接,
由于均为大四面体的棱的三等分点，故.
平面，平面，平面，平面，
故平面, 平面.
且平面，
故平面平面，
由于平面，因此平面，
故点的轨迹为线段，
由于,
故点的轨迹长度为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据平面平面，可得点的轨迹为线段.
6．C
【分析】根据线线，线面位置关系，数形结合解决即可.
【详解】对于（1），，则可能平行，也可能相交，参照正方体同一顶点处相邻的三个面即可，故（1）错误；
对于（2），当时，就不能得出，如图，故（2）错误；
对于（3），若，则平面与平面无公共点，又，所以直线与平面也没有公共点，所以，故（3）正确；
对于（4），因为，由得，又，所以，同理，所以，故（4）正确.
故选：C
7．①②④
【分析】由面面平行的判断及线面垂直的判断进行求解．
【详解】折起后，如图：
取线段的中点Q，连接，
因为分别为的中点，则，
而平面平面，得平面，
同理平面且都在面内，
得平面平面，而平面，
得平面，故①正确；
因为且都在面内，得平面，
而平面，得，故②正确；
由图知，与为异面直线，故③错误；
当时，而且都在面内，得平面，
而平面，得，故④正确，
故答案为：①②④
8．②④
【分析】举出反例即可判断①③；利用面面平行的性质定理与线面平行的判定定理即可判断②；设是异面直线的公垂线段，为的中点，过作，由此即可判断④.
【详解】对于①，当直线在平面内时，直线上有两点到平面的距离相等，故①错误；
对于②，如图，平面且分别为的中点，
过点作交平面于，连接，
设是的中点，则，
又，所以，
因为，所以，
又平面，
所以平面平面，
又，所以平面平面，
又平面，所以，
即夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面，故②正确；
对于③，若直线平面，直线，则或，故③错误；
对于④，如图，设是异面直线的公垂线段，为的中点，
过作，
则确定的平面即为与都平行且与距离相等的平面，并且它是唯一确定的，
故④正确.
故答案为：②④.
9．证明见解析
【分析】利用线面平行的性质结合已知可证得结论
【详解】五面体中，因为平面，
平面，平面平面，
所以.
10．证明见解析
【分析】根据三角形中位线证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论.
【详解】证明：如图连接，
因为底面圆的直径，所以为的中点，
因为点为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.