数学第三章 函数概念与性质3.3 幂函数优秀学案设计

课时3.3 幂函数

01考点梳理

1．幂函数的概念

一般地，函数　　　叫做幂函数，其中　是自变量，　是常数．

2．幂函数的图象

在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象如图所示：

3．幂函数的性质

答案：y＝xα  x  α  [0，＋∞)  {x|x≠0}  [0，＋∞)  {y|y≠0}  奇  非奇非偶  奇  增 减  增  增  减

02考点解读

题型一  幂函数的定义域和值域 

1．已知幂函数在上单调递增.

（1）求的值；

（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）0；（2）

【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.

当时，在上单调递增，满足题意.

当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.

∴.

（2）由（1）知，.

∵在上单调递增，∴.

∵，，∴，∴解得.

故实数的取值范围为.

题型二  幂函数的图像问题 

2．若幂函数（且互素）的图象如下图所示，则下列说法中正确的是（    ）

A．0< B．m是偶数，n是奇数

C．m是偶数，n是奇数，且 D．m、n是偶数，且

【答案】ABC

【解析】图象在右侧上升但上升幅度比小，，A正确；

图象关于轴对称，函数为偶函数，是偶数，是奇数，B正确；

则C也正确，D错误．

故选：ABC．

题型三  幂函数的单调性及应用 

3．已知幂函数满足：

（1）在区间上为增函数

（2）对任意的，都有，

求同时满足（1）（2）的幂函数的解析式，并求当时，的值域．

【答案】；值域是．

【解析】因为函数在上递增，

所以，解得，

因为，，所以，，或．

又因为，所以是偶函数，

所以为偶数．

当时，满足题意；

当时，不满足题意，

所以,

又因为在上递增．

所以，，

故函数的值域是 ．

题型四  幂函数的奇偶性及应用 

4．已知幂函数为奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）求函数的值域．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵函数为幂函数，

，解得或5，

当时，，为奇函数，

当时，，为偶函数，

函数为奇函数，；

（2）由（1）可知，，则，，

令，则，，

则，，

函数为开口向下，对称轴为的抛物线，

当时，函数，

当，函数取得最大值为1，

的值域为，故函数的值域为．

03题组训练

1．若幂函数的图象经过原点，则m的值为（    ）

A．1或2 B．2 C．1 D．不存在

【答案】D

【解析】解：由幂函数的定义得，则或.

当时，，定义域为，图象不过原点；

当时，，其图象也不过原点，故不存在这样的.

故选：

2．已知幂函数的图象经过点（3，9），则的值为（    ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】C

【解析】解：设，由函数过点，，解得，

，.

故选：.

3．如图是幂函数的部分图像，已知取这四个值，则于曲线相对应的依次为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】令，分别代入，，，，

得到，，，，

根据图象可知相对应的依次为：

故选：A

4．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，则的值（     ）

A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断

【答案】A

【解析】 由已知函数是幂函数，

可得，解得或，

当时，，当时，，

对任意的，且，满足，

函数是单调增函数，所以，此时，

又，可知异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，

则恒大于，故选A.

5．若幂函数的图象过点，则该函数的解析式为_____.

【答案】.

【解析】解：设，其图象过点，则，所以，即函数解析式为.

故答案为：.

6．若，试求的取值范围.

【答案】

【解析】∵，∴或或解得或.故的取值范围是.

7．已知幂函数在上单调递增.

（1）求实数k的值，并写出相应的函数的解析式；

（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使得函数在区间[0,1]上的最大值为5, 若存在, 求出m的值; 若不存在, 请说明理由.

【答案】（1）k=1,（2）

【解析】(1)∵

      ∴k=1 ∴

    (2)

①，即

  ∴

  又(舍)

②

  ∴