高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数优秀学案设计

第三章 函数的概念与性质

3.3幂函数

【课程标准】

1．            了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式

2．            掌握常见幂函数的图像

3．            利用幂函数的单调性比较指数式大小

【知识要点归纳】

1. 幂函数的概念

一般地，函数       叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.

2. 幂函数的图象

幂函数在第一象限内指数变化规律：

在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.

3.幂函数的性质

(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.

(2)如果α＞0，则幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.

(3)如果α＜0，则幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.

【经典例题】

例1 (1)在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝中，是幂函数的是(　　)

A．①②④⑤ B．③④⑥

C．①②⑥ D．①②④⑤⑥

(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.

[跟踪训练] 1　若幂函数f(x)满足f(9)＝3，则f(100)＝________.

注意：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.

例2 已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，

（1）画出f(x)的图象。

（2）指出该函数的定义域与单调区间．

（3）判断奇偶性。

[跟踪训练] 2 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)

A.－2，－，，2               B.2，，－，－2

C.－，－2，2，              D.2，，－2，－

（2）如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)

A．－1<n<0<m<1          B．n<－1,0<m<1

C．－1<n<0，m>1         D．n<－1，m>1

注意：解决幂函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：

①在x∈(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在x∈(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).

(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断.

(3)判断奇偶性需将函数化为根式函数，利用奇偶性可以补全函数在其他象限的图像图像

例3　比较下列各组数中两个数的大小：

(1)与；   （2）与

[跟踪训练] 3 比较下列各组数中两个数的大小

(1)与；  （2）与0.3

例4

注意：构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小．

[跟踪训练] 4 已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．

比较幂值大小的方法：

(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．

(2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解（以后可以借助于指数函数）．

(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．已知幂函数，则使得为奇函数，且在上单调递增的的个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．无数个

2．幂函数满足（4）（2），则等于　　

A． B．3 C． D．

3．已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是　　

A．是偶函数 B．奇函数 

C．在定义域上为减函数 D．的定义域为，

4．记，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

二．填空题（共3小题）

5．幂函数的图象经过，则该函数的解析式　　．

6．幂函数的图象不经过坐标原点，则实数的值为　　．

7．若幂函数的图象关于原点对称，则的取值为　　．

三．解答题（共2小题）

8．幂函数过点．

（1）求的值，并证明在，是增函数；

（2）幂函数是偶函数且在是减函数，请写出的一个表达式．（直接写结果，不需要过程．

9．已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．已知幂函数，则使得为奇函数，且在上单调递增的的个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．无数个

【分析】由幂函数的性质推导出，且，由此能求出满足条件的的个数．

【解答】解：幂函数为奇函数，且在上单调递增，

，且，

解得，且，

当时，是奇数，满足条件；

当时，是偶数，不满足条件；

当时，是奇数，满足条件．

综上，满足条件的只有2个．

故选：．

【点评】本题考查满足条件的的个数的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．幂函数满足（4）（2），则等于　　

A． B．3 C． D．

【分析】先设代入题设，求出的值，求出函数关系式．把代入函数关系式即可．

【解答】解：设，

又（4）（2），

，

解得：，

．

故选：．

【点评】本题考查幂函数的解析式的求法：待定系数法，属于基础题．

3．已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是　　

A．是偶函数 B．奇函数 

C．在定义域上为减函数 D．的定义域为，

【分析】先利用已知点求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质解题即可．

【解答】解：设幂函数，

幂函数的图象过点，

，，，

的定义域为，且在其定义域上是减函数，故选项错误，选项正确，

函数定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项，错误，

故选：．

【点评】本题主要考查了幂函数的性质，是基础题．

4．记，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【分析】由指数函数和幂函数的单调性，即可判断，，的大小关系．

【解答】解：由是定义域的单调增函数，且，

所以，即；

又是定义域上的单调增函数，且，

所以，即；

所以，，的大小关系为．

故选：．

【点评】本题考查了利用函数的单调性比较大小的应用问题，是基础题．

二．填空题（共3小题）

5．幂函数的图象经过，则该函数的解析式　　．

【分析】设幂函数为常数），再把点的坐标代入求出的值，从而得到函数的解析式．

【解答】解：设幂函数为常数），

幂函数的图象经过，

，

，

．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了幂函数的定义，是基础题．

6．幂函数的图象不经过坐标原点，则实数的值为　2　．

【分析】根据幂函数的定义求出的值，代入检验即可．

【解答】解：由题意得：

，解得：或，

时，，过原点，

时，，不过原点，

故，

故答案为：2．

【点评】本题考查了幂函数的定义及其性质，是一道基础题．

7．若幂函数的图象关于原点对称，则的取值为　1　．

【分析】根据幂函数的定义列方程求出的值，再判断函数的图象是否关于原点对称．

【解答】解：幂函数中，

令，

解得或；

当时，，图象关于原点对称；

当时，，图象不关于原点对称；

所以的取值为1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．

三．解答题（共2小题）

8．幂函数过点．

（1）求的值，并证明在，是增函数；

（2）幂函数是偶函数且在是减函数，请写出的一个表达式．（直接写结果，不需要过程．

【分析】（1）根据待定系数法求出函数的解析式，根据单调性的定义证明即可；

（2）写出满足条件的函数的解析式即可．

【解答】解：（1）将代入，

得：，解得：，

故，

设，，，且，

则，

，，

，

故，即，

故在，递增；

（2）．

【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道常规题．

9．已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．

【分析】先根据幂函数的定义求出的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可．

【解答】解：幂函数经过点，

，

即

．解得或．

又，．

，则函数的定义域为，，并且在定义域上为增函数．

由得解得．

的取值范围为，．

【点评】本题主要考查了幂函数的性质，以及不等式组的解法，属于基础题．