必修 第一册3.3 幂函数优秀学案设计

这是一份必修 第一册3.3 幂函数优秀学案设计，共13页。学案主要包含了幂函数的概念，幂函数的图象及应用，比较幂值的大小等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3))的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．








知识点一 幂函数的概念


一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．


知识点二 五个幂函数的图象与性质


1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．





2．五个幂函数的性质





知识点三 一般幂函数的图象特征


1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．


2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．


3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．


4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．


5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．


预习小测 自我检验


1．下列函数中不是幂函数的是________．


①y＝x0； ②y＝x3；


③y＝2x； ④y＝x－1.


答案 ③


2．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________．


答案 1,3


解析 当幂函数为奇函数时，α＝－1,1,3，


又函数的定义域为R，


所以α≠－1，所以α＝1,3.


3．当x∈(0,1)时，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)


答案 >


4．已知幂函数f(x)＝xα图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，则f(4)＝________.


答案 eq \f(1,2)





一、幂函数的概念


例1 (1)下列函数：


①y＝x3；②y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为( )


A．1 B．2 C．3 D．4


答案 B


解析 幂函数有①⑥两个．


(2)已知是幂函数，求m，n的值．


考点 幂函数的概念


题点 由幂函数定义求参数值


解 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝\f(3,2).))


所以m＝－3或1，n＝eq \f(3,2).


反思感悟 判断函数为幂函数的方法


(1)自变量x前的系数为1.


(2)底数为自变量x.


(3)指数为常数．


跟踪训练1 (1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于( )


A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2


答案 C


解析 由幂函数的定义知k＝1.


又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(\r(2),2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝eq \f(\r(2),2)，


解得α＝eq \f(1,2)，从而k＋α＝eq \f(3,2).


(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于( )


A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D．0


答案 A


解析 因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，


所以a＝1，－b＋1＝0，


即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.


二、幂函数的图象及应用


例2 (1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．


解 因为f(x)＝xα的图象过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，


所以f(2)＝eq \f(1,4)，即2α＝eq \f(1,4)，


得α＝－2，即f(x)＝x－2，


f(x)的图象如图所示，





定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．


(2)下列关于函数y＝xα与y＝αxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，2，3))))的图象正确的是( )





答案 C


反思感悟 (1)幂函数图象的画法


①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．


②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．


(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法


首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．


跟踪训练2 (1)如图所示，C1，C2，C3为幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取( )





A.eq \f(4,3)，－2，eq \f(3,4)


B．－2，eq \f(3,4)，eq \f(4,3)


C．－2，eq \f(4,3)，eq \f(3,4)


D.eq \f(3,4)，eq \f(4,3)，－2


答案 C


(2)在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq \f(1,a)的图象可能是( )





考点 幂函数的图象


题点 幂函数有关的知图选式问题


答案 C


解析 选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－eq \f(1,a)应为减函数，A错误；


选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－eq \f(1,a)应为增函数，B错误；


选项D中，幂函数的指数a<0，则－eq \f(1,a)>0，直线y＝ax－eq \f(1,a)在y轴上的截距为正，D错误．


三、比较幂值的大小


例3 比较下列各组数的大小．


(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5；


(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1；


(3)与.


解 (1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，


又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5.


(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，


又－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1.


(3)因为在(0，＋∞)上是单调递增的，


所以＝1，


又在(0，＋∞)上是单调递增的，


所以＝1，所以.


反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．


跟踪训练3 比较下列各组数的大小：


(1)和；


(2)，和.


解 (1)函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，


又3<3.1，所以.


(2)


所以





幂函数性质的应用


典例 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足


的a的取值范围．


考点 幂函数的性质


题点 利用幂函数的性质解不等式


解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，


解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.


因为函数的图象关于y轴对称，


所以3m－9为偶数，故m＝1.


则原不等式可化为


因为在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，


所以a＋1>3－2a>0或3－2a

解得eq \f(2,3)

故a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－1或\f(2,3)))

[素养提升] 通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．








1．以下结论正确的是( )


A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线


B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点


C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大


D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限


考点 幂函数的综合问题


题点 幂函数的综合问题


答案 D


2．下列不等式成立的是( )


A. B.


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2 D．


答案 A


3．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．


答案 －eq \f(1,8)


解析 因为函数y＝x－3＝eq \f(1,x3)在(－∞，0)上单调递减，


所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝eq \f(1,－23)＝－eq \f(1,8).


4．若幂函数在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.


答案 2


解析 令m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.


当m＝2时，m2－2m－3＝－3符合要求．


当m＝－1时，m2－2m－3＝0不符合要求．


故m＝2.


5．先分析函数的性质，再画出其图象．


解 ，定义域为R，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：








1．知识清单：


(1)幂函数的定义．


(2)几个常见幂函数的图象．


(3)幂函数的性质．


2．方法归纳：


(1)运用待定系数法求幂函数的解析式．


(2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想．


3．常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)为幂函数，其它形式都不是幂函数．








1．下列函数中是幂函数的是( )


A．y＝x4＋x2 B．y＝10x


C．y＝eq \f(1,x3) D．y＝x＋1


考点 幂函数的概念


题点 判断函数是否为幂函数


答案 C


解析 根据幂函数的定义知，y＝eq \f(1,x3)是幂函数，


y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．


2．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )


A．y＝x－2 B．y＝x－1


C．y＝x2 D．y＝


答案 A


解析 其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝不是偶函数，故排除选项B，D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.


3．已知f(x)＝，若0

A．f(a)

B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))

C．f(a)

D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))

考点 比较幂值的大小


题点 利用单调性比较大小


答案 C


解析 因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，


又0

4．已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为( )


A．－3 B．2 C．－3或2 D．3


考点 幂函数的性质


题点 幂函数的单调性


答案 A


解析 由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m<0.故m＝－3.


5.如图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±eq \f(1,2)四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为( )





A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2


B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2


C．－eq \f(1,2)，－2,2，eq \f(1,2)


D．2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)


答案 B


解析 要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2.


6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．


答案 α<0


解析 因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，


所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．故α<0.


7．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则m与n的大小关系为________．


答案 m

解析 设f(x)＝x－1，已知a≠0，


则a2＋3>3>0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，


则f(a2＋3)

故m

8．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．


考点 幂函数的性质


题点 幂函数的单调性


答案 1


解析 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，


解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．


9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．


解 (1)若函数f(x)为正比例函数，则


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.


(2)若函数f(x)为反比例函数，则


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.


(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，


∴m＝－1±eq \r(2).


10．点(eq \r(3)，3)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)

解 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.


因为(eq \r(3))α＝3，(－2)β＝－eq \f(1,2)，


所以α＝2，β＝－1，


所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.


分别作出它们的图象，如图所示．





由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；


当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)




11．已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m等于( )


A．1 B．2 C．1或2 D．3


答案 B


解析 因为f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是减函数，


所以m－3<0.


所以m<3.


又因为m∈N*，


所以m＝1,2.


又因为f(x)＝xm－3是奇函数，


所以m－3是奇数，


所以m＝2.


12．函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )





答案 B


解析 y＝－1的定义域为[0，＋∞)且为增函数，所以函数图象是上升的，所以y＝－1关于x轴对称的图象是下降的，故选B.


13．若<，则a的取值范围是________．


答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3)))


解析 函数y＝在[0，＋∞)上是增函数，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1<3－2a，))解得－1≤a

14．已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝________，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))的定义域为________．


答案 eq \f(\r(2),2) (0,1]


解析 令f(x)＝xα，∵f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝eq \f(1,2)，


故f(x)＝＝eq \r(x)，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(\r(2),2).


令eq \f(1,x)－1≥0解得0

故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))的定义域为(0,1]．





15．已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于( )


A．1 B．0,2 C．－1,1,3 D．0,1,2


答案 C


解析 ∵幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，


∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，


由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，


∴m＝－1,0,1,2,3.


当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；


当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；


当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；


当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；


当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．


综上所述，m＝－1,1,3.





16．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．


(1)求f(x)的解析式；


(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．


解 (1)由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3，


又f(x)为偶函数，则m＝3，


所以f(x)＝x2.


(2)g(x)＝x2－ax－3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))2－3－eq \f(a2,4)在[1,3]上不单调，


则对称轴x＝eq \f(a,2)满足1

即2

所以，实数a的取值范围为(2,6)．y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上增，


在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞)上减，


在(－∞，0)上减