数学必修 第一册幂函数教案及反思

这是一份数学必修 第一册幂函数教案及反思，共6页。
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．五个幂函数的图象与性质
[微思考] 通过对5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．
题型一 幂函数的概念
[典例1] (1)已知幂函数f(x)＝(m2－3)xm在(0，＋∞)上为减函数，则f(3)等于( )
A.eq \f(1,9) B．9 C.eq \f(1,3) D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
[解析] (1)由f(x)为幂函数得m2－3＝1，m＝±2，
又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴m＝－2，故f(x)＝x－2，f(3)＝eq \f(1,9).
(2)因为f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
[答案] (1)A (2)5或－1
[方法技巧]
求幂函数解析式的依据和常用方法
(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
(2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，依据条件求出α.
【对点练清】
1．在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B 因为y＝eq \f(1,x2)＝x－2，所以是幂函数；y＝2x3由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1 的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数y＝1不是幂函数．
2．已知幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)x在(0，＋∞)为增函数，则m的值为( )
A．1或3 B．3 C．2 D．1
解析：选D 由函数f(x)为幂函数，得m2－4m＋4＝1，解得m＝1或m＝3.又幂函数f(x)单调递增，则m2－6m＋8＞0，据此可得，m＝1.
题型二 幂函数的图象及应用
[典例2] 若点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,4)))在幂函数g(x)的图象上，问：当x为何值时，(1)f(x)＞g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)＜g(x)?
[解] 设f(x)＝xα，因为点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(eq \r(2)，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(eq \r(2))α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：
(1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．
[方法技巧]
解决幂函数图象问题的原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．
【对点练清】
1．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
解析：选B y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d＞c＞b＞a
B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b
D．a＞b＞d＞c
解析：选B 令a＝2，b＝eq \f(1,2)，c＝－eq \f(1,3)，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B.
题型三 利用幂函数的单调性比较大小
[典例3] 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) －1与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))).
[解] (1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1.
(3)∵函数y1＝x为(0，＋∞)上的增函数，又eq \f(3,2)＞1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＞1＝1.又∵函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且eq \f(3,4)＜1，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))＜1＝1，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))).
[方法技巧]
1．比较幂的大小的3种基本方法
2.利用幂函数单调性比较大小时的注意点
比较大小的实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．
【对点练清】
1．(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
解析：选D 因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1；因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5c.故选D.
2．比较下列各题中两个幂的值的大小：
(1)1.1，0.9；(2)3，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).
解：(1)因为y＝x在(0，＋∞)上的减函数，又1.1＞0.9，所以1.1＜0.9.
(2)因为3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))，函数y＝x在[0，＋∞)上的增函数，且eq \f(1,3)＜eq \f(1,2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，即3＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).
题型四 幂函数性质的综合应用
[典例4] 已知函数f(x)＝ (m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数图象经过点(2，eq \r(2))，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
[解] (1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴该函数的定义域为[0，＋∞)，
由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增．
(2)∵该函数图象过点(2，eq \r(2))，∴2eq \f(1,m2＋m)＝eq \r(2)，
∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*)．
由f(2－a)>f(a－1)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a≥0，,a－1≥0，,2－a＞a－1，))解得1≤af(a－1)的实数a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
[方法技巧]
解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇偶性等．
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想．
[对点练清]
已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减．
(1)求f(x)；
(2)比较f(－2 025)与f(－2)的大小．
解：(1)由题知幂函数f(x)＝x(m∈N*)在区间(0，＋∞)上单调递减，∴m2－m－3＜0，
解得eq \f(1－\r(13),2)＜m＜eq \f(1＋\r(13),2).
又m∈N*，∴m＝1或m＝2.
当m＝1时，f(x)＝x－3，为奇函数；
当m＝2时，f(x)＝x－1，为奇函数．
故f(x)＝x－3或f(x)＝x－1.
(2)由题知f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(－2 025)＝－f(2 025)，
f(－2)＝－f(2)，且f(2 025)＜f(2)，
∴f(－2 025)＞f(－2)．
明确目标
发展素养
1.通过具体实例，结合y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变换规律．
2.掌握五个幂函数的图象与性质．
3.会画幂函数的图象，并能概括出它们的共性.
1.结合幂函数的图象，培养直观想象素养．
2.借助幂函数的性质，培养逻辑推理素养.
解析式
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \f(1,2)
y＝eq \f(1,x)
图象
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定点
(1,1)
直接法
当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较
转化法
当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小
中间
量法
当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的