高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数导学案，共16页。学案主要包含了知识点一，知识点二，例1-1，例1-2，例3-1，例3-2等内容，欢迎下载使用。

导学目标：


通过具体实例，结合y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝eq \r(x)，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.


（预习教材P89~ P96，回答下列问题）


问题一：阅读下列材料，回答问题：


（1）如果张红以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付元，这里是的函数；


（2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数；


（3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积，这里是的函数；


（4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数；


（5）如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度，即，这里是的函数．





以上是我们生活中遇到的几个函数问题，这些函数与我们以前学的函数有什么不同？


请用的形式写出上述四个函数的解析式？


你能发现这几个函数的解析式有什么共同特点吗？











【知识点一】 幂函数的概念


一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．


幂函数的结构要求：


（1）底数是自变量,自变量的系数为1；


（2）指数为常数;幂的系数为1；


（3）解析式等号右边只有1项．





自我检测1：判断下列函数哪些是幂函数？





（1）； （2）； （3）；





（4）； （5）； （6）


问题二：如何利用函数奇偶性作出的图像？








为奇函数 为偶函数


【知识点二】幂函数的图像及性质


（1）作出的图像，完成下表








（2）根据函数图象，试总结：


幂函数的性质：


（1）所有的幂函数在 都有图像，


且都过定点 ；


（2）当时，幂函数的图象通过原点，


并且在区间 上是增函数．


（3）当时，幂函数的图象在区间 上是减函数．


（4）在的右侧作一条垂直于轴的直线，与幂函数的交点中，自下到上


的值 ；


（3）根据以上信息，我们如何作出幂函数的图像


（1）在第一象限内，当时，其图像类似于 ；


当时，其图像类似于 ；


当时，其图像类似于 ；


（2）利用的奇偶性补齐其他象限内的图像；


自我检测2：当时，幂函数的图象不可能经过第_______象限．








自我检测3：求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性．


（1） （2） （3） （4）

















题型一 幂函数的概念


【例1-1】若函数为幂函数且在第一象限为增函数，则的值为


A．1 B．－3


C．－1 D．3








【例1-2】已知幂函数的图象经过点，则_____．








题型二 幂函数的图象


【例2】幂函数，，，的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________．














题型三 幂函数的图象及应用


【例3-1】 比较下列各题中两个幂值的大小．


(1) 与；


(2) 与；


(3) 与．





【例3-2】已知幂函数()的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为( )


A．－3B．1


C．2D．1或2








1．下列结论正确的是( )


A．幂函数图象一定过原点


B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数


C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数


D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数


2．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，\f(1,2)，－1))，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为( )


A．－1,3 B．－1,1


C．1,3 D．－1,1,3


3．在下列四个图形中，的图象大致是( )





4．函数在[－1,1]上是( )


A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数


C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数


5．如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（ ）





A． B．


C． D．








§3.3 幂函数答案


导学目标：


通过具体实例，结合y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝eq \r(x)，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.


（预习教材P89~ P96，回答下列问题）


问题一：阅读下列材料，回答问题：


（1）如果张红以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付元，这里是的函数；


（2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数；


（3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积，这里是的函数；


（4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数；


（5）如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度，即，这里是的函数．





以上是我们生活中遇到的几个函数问题，这些函数与我们以前学的函数有什么不同？


请用的形式写出上述四个函数的解析式？


你能发现这几个函数的解析式有什么共同特点吗？


【答案】．





【知识点一】 幂函数的概念


一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．


幂函数的结构要求：


（1）底数是自变量,自变量的系数为1；


（2）指数为常数;幂的系数为1；


（3）解析式等号右边只有1项．





自我检测1：判断下列函数哪些是幂函数？





（1）； （2）； （3）；





（4）； （5）； （6）


【答案】（2）（3）（5）


问题二：如何利用函数奇偶性作出的图像？








为奇函数 为偶函数


【知识点二】幂函数的图像及性质


（1）作出的图像，完成下表





【答案】





（2）根据函数图象，试总结：


幂函数的性质：


（1）所有的幂函数在 都有图像，


且都过定点 ；


（2）当时，幂函数的图象通过原点，


并且在区间 上是增函数．


（3）当时，幂函数的图象在区间 上是减函数．


（4）在的右侧作一条垂直于轴的直线，与幂函数的交点中，自下到上


的值 ；


（3）根据以上信息，我们如何作出幂函数的图像


（1）在第一象限内，当时，其图像类似于 ；


当时，其图像类似于 ；


当时，其图像类似于 ；


（2）利用的奇偶性补齐其他象限内的图像；


自我检测2：当时，幂函数的图象不可能经过第_______象限．


【答案】四








自我检测3：求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性．


（1） （2） （3） （4）























【答案】（1）定义域，偶函数，单调递减，单调递增；


（2）定义域为，非奇非偶，单调递减；


（3）定义域为，偶函数，单调递增，单调递减；


（4）定义域为，非奇非偶，单调递增．





题型一 幂函数的概念


【例1-1】若函数为幂函数且在第一象限为增函数，则的值为


A．1 B．－3


C．－1 D．3


【例1-2】已知幂函数的图象经过点，则_____．


【答案】


【例1-1】因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,m>0，))所以m＝1．


【例1-2】设f(x)＝xα，所以eq \f(1,9)＝3α，α＝－2，


所以f(4)＝4－2＝eq \f(1,16)．


题型二 幂函数的图象


【例2】幂函数，，，的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________．





【答案】 n







题型三 幂函数的图象及应用


【例3-1】 比较下列各题中两个幂值的大小．


(1) 与；


(2) 与；


(3) 与．


【答案】(1)函数y＝x1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>2.91.3．


(2)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又因为eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))．


而函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且4>3，所以4>3，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))).


(3)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))0＝1；所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))




【例3-2】已知幂函数()的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则的值为( )


A．－3B．1


C．2D．1或2


【答案】B


幂函数f（x）=（n2+2n﹣2）（n∈Z）的图象关于y轴对称，


且在（0，+∞）上是减函数，


∴，解得n=1．





1．下列结论正确的是( )


A．幂函数图象一定过原点


B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数


C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数


D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数


【答案】D


2．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，\f(1,2)，－1))，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为( )


A．－1,3 B．－1,1


C．1,3 D．－1,1,3


【答案】C


3．在下列四个图形中，y＝x的图象大致是( )





【答案】D


4．函数在[－1,1]上是( )


A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数


C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数


【答案】A


5．如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（ ）





A． B．


C． D．


【答案】B





函数









图象












定义域
值域
奇偶性
单调性
过定点
函数









图象












定义域
值域
奇偶性
单调性
过定点