高中数学人教A版 (2019)必修 第一册三角函数的概念同步练习题

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知识点一：三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：
（1）做的正弦，记做，即；
（2） 叫做的余弦，记做，即；
（3）叫做的正切，记做，即．
知识点诠释：
（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，．
（2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积．
知识点二：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
知识点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．
知识点三：诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：
，其中
注意：
利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求（或）范围内角的三角函数值．
知识点四、特殊角的三角函数值
【题型归纳目录】
题型一：三角函数的定义
题型二：判断三角函数值的符号
题型三：确定角所在象限
题型四：诱导公式（一）的应用
题型五：圆上的动点与旋转点
【典型例题】
题型一：三角函数的定义
例1．设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
例2．角的终边上有一点，则（ ）
A．B．C．D．1
例3．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．1或D．或
变式1．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
变式2．已知点是角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
变式3．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
变式4．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
变式6．已知角的终边在函数的图像上，求，的值．
【方法技巧与总结】
利用三角函数的定义求值的策略
（1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便．
（2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
（3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
题型二：判断三角函数值的符号
例4．已知为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
例5．下列各式的符号为正的是（ ）
A．B．
C．D．
例6．的值（ ）
A．大于0B．小于0C．等于0D．不大于0
变式7．设，如果且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆：
“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．
题型三：确定角所在象限
例8．设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
例9．若，且，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
变式8．若且，则角所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
变式9．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点在第四象限，则角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
变式10．坐标平面内点的坐标为，则点位于第（ ）象限.
A．一B．二C．三D．四
【方法技巧与总结】
确定角所在象限的步骤
（1）判断该角的某些三角函数值的符号；
（2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限．
题型四：诱导公式（一）的应用
例10．____________．
例11．_________.
例12．＝______.
变式11．______．
【方法技巧与总结】
利用诱导公式一化简或求值的步骤
（1）将已知角化为（为整数，）或（为整数，）的形式．
（2）将原三角函数值化为角的同名三角函数值．
（3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的．
题型五：圆上的动点与旋转点
例13．在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（ ）
A．B．
C．D．
例15．在平面直角坐标系中，若点P从出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（ ）
A．B．C．D．
变式13．已知单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式14．如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
(2)求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程．
【同步练习】
一、单选题
1．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到的近似值为（取近似值3.14）（ ）
A．0.039B．0.157C．0.314D．0.079
3．如图，角的终边与单位圆O的交点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
5．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为，则sincs的值为（ ）
A．B．C．D．
6．在直角坐标系中，已知，那么角的终边与单位圆坐标为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角B．
C．D．是第三或第四象限角
8．在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作ctα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．
如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、多选题
9．已知是第一象限角，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C．若角的终边上有一点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
11．以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标不可能的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．角的终边上有一点，则的值为______；
15．已知角的终边上有一点，且，则m的值为______．
16．若角是第四象限角，则______．
17．已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则________．
四、解答题
19．已知角的终边经过点，且满足．
(1)若为第二象限角，求值；
(2)求的值．
20．已知，且有意义．
(1)试判断角是第几象限角；
(2)若角的终边上有一点，且（O为坐标原点），求实数m的值及的值．
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
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