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数学人教A版 (2019)5.2.1 三角函数的概念第1课时教案设计
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这是一份数学人教A版 (2019)5.2.1 三角函数的概念第1课时教案设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时
一、教学目标
1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能准确表述定义内容；
2．会根据角终边上点的坐标，求该角的三角函数值，反之，能根据已知的三角函数值，确定角的终边上的点的坐标的可能情况；
3．掌握特殊角（30°、45°、60°、90°等）的三角函数值；
4．经历从锐角三角函数到任意角三角函数定义的推广过程，体会从特殊到一般、类比等数学思想；
5．通过在单位圆中分析角的终边与点的坐标关系，来构建三角函数的定义，培养学生观察、分析和归纳能力，提高学生的数学运算和逻辑推理能力．
二、教学重难点
重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义．
难点：任意角的三角函数概念的建构过程．
三、教学过程
（一）创设情境
回顾：
在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数，如图所示，在直角三角形中，如何定义锐角的正弦函数、余弦函数和正切函数？
答：sinα=对边斜边，csα=邻边斜边，tanα=对边邻边
思考：该定义中的三个三角函数,对于同样大的一个锐角来说,如果三角形的大小发生了改变，其三角函数值是否也改变呢?
答：不变．
设计意图：通过复习初中所学锐角的三角函数的定义，用类比的方法、联系的观点引入本节新课．建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力．
情境：
在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数.下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题：圆周运动是一种常见的周期性变化现象，如图所示：⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，如何刻画点P的位置变化呢？
不失一般性，先研究单位圆上点的运动.现在的任务是：建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况．
（二）探究新知
任务1：探究三角函数的定义
根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题．
如图所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y) .射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
探究1：当=π6时，点P的坐标是什么？当=π2或2π3时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.利用勾股定理可以发现，当=π6时，点P的坐标是(32， 12)；当=π2或2π3时，点P的坐标分别是(0，1)和(−12， 32)．它们都是唯一确定的．
设计意图：先研究特殊角下点P坐标，再研究任意角下点P坐标.体现由特殊到一般的思想.
探究2：一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.因为单位圆的半径不变，点P的坐标只与角的大小有关，当角确定时，点P的坐标是也唯一确定.
思考：观察角α的终边与单位圆的交点P的坐标，有什么发现？能运用函数的语言刻画这种对应关系吗？
师生活动：对任意一个实数α，它的终边OP与单位圆的交点P的横、纵坐标x,y都是唯一确定的.
一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x，还是纵坐标y，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.
设计意图:以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角α(弧度)的函数，为引出三角函数的定义做好铺垫.
下面给出三角函数的定义：
师生活动：教师给出图示，学生结合图中信息给出三个定义，设α是一个任意角α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)，那么把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记做sinα，即y=sinα；
把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记做csα，即x=csα；
把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切函数，记做tanα，即yx=tanα(x≠0).
可以看出，当α=π2+kπ（k∈Z）时，α的终边在y轴上，这时点P 的横坐标 x 等于0，所以yx=tanα无意义．除此之外，对于确定的角α，yx的值也是唯一确定的．所以，yx=tanα(x≠0)也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．
追问：任意角三角函数的定义域分别是什么呢?
学生进行讨论.正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集，即x∈R，对于正切函数而言，要求点P的横坐标x≠0，即角α的终边OP不能位于y轴上，那么正切函数的定义域为x|x≠π2+kπ,k∈Z.
设计意图：在问题的引导下，通过阅读教科书使学生对三角函数定义有更深刻的理解.
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数 y = sinx，x∈R；
余弦函数 y = csx，x∈R；
正切函数 y = tanx，x≠π2+kπ,(k∈Z)
任务2：三角函数定义的推广
探究：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，如何用点P的坐标定义角α的正弦、余弦和正切？
要求：先独立思考，再合作交流
师生活动：给出问题后，教师可以引导学生分析问题，再让学生尝试解决.
证明：如图，设角α的终边与单位圆交于交点P0(x0,y0).分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则：
|P0M0|=|y0|，|PM|=|y|，|OM0|=|x0|，|OM|=|x|，
△OMP∼△OM0P0.
于是，|P0M0|1=|PM|r，即|y0|=|y|r.因为y0与y同号，所以y0=yr.
即sin α=yr.同理可得，cs α=xr，tan α=yx.
设计意图： 通过问题引导，使学生找到△OMP、△OM1P1，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.
三角函数定义的推广：
一般地，对于任意角α，角α终边上任意一点P的坐标为（x，y），它到原点O的距离为r=|OP|=x2+y2，
那么sinα=yr，csα=xr，tanα=yx(x≠0).
显然任意角α的三角函数值不会随终边上点P位置的变化而变化．
设计意图：让学生进一步了解三角函数的定义，提高学生分析问题、概括能力．
（三）应用举例
例1 求5π3的正弦、余弦和正切值.
解：在直角坐标系中，作∠AOB=5π3.易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(12,−32).所以有：
sin5π3=−32，cs5π3=12，tan5π3=−3.
设计意图: 通过例题让学生学会根据三角函数的定义，求角的三角函数值，提高学生解决问题的能力．
例2 (1)已知角α的终边过点P（-6，-8)，求角α的三角函数值．
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cs α＝－513，求1sinα+1tanα的值．
解：(1)点P到原点O的距离为r=|OP|=36+64=10
则sinα=−810=−45,csα=−610=−35,tanα=−8−6=43.
(2)∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cs α＝－513，
∴cs α＝−xx2+36＝－513，解得x＝52，
∴P(－52，－6)，∴sin α＝－1213，∴tan α＝−6−52＝125，
则1sinα+1tanα=−1312+512=−23.
例2 若角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cs α，tan α的值．
解：设P(a，3a)(a≠0)是其终边上任一点，
则tan α＝3aa=3，
r＝a2+(3a)2＝2|a|，
当a>0时，sin α＝3a2a=32，cs α＝a2a＝12,
当a<0时，sin α＝3a−2a=−32，cs α＝a−2a＝−12，
所以tanα=3,sin α＝32，cs α＝12或tanα=3,sin α＝−32，cs α＝−12.
总结：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上点，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝yx(x≠0).
(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r=x2+y2，再求sinα=yr,csα=xr,tanα=yx(x≠0).
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
设计意图： 通过例题巩固本节所学知识，培养学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．
（四）课堂练习
1.角α的终边上一点P的坐标为( 3,t)，且sinα=2t(t≠0)，则tanα=( )
A. ± 2B. ± 6C. 2D. 6
解：sinα=t 3+t2=2t⇒t2=2 3+t2，
解得t=± 6，
所以tanα=± 6 3=± 2．
故选A．
2.下列各式中，与sin5π3的值相等的是( )
A. csπ6B. sin2π3C. sin4π3D. sin7π3
解：因sin5π3=−sinπ3=− 32，csπ6= 32，sin2π3= 32，sin4π3=−sinπ3=− 32，sin7π3=sinπ3= 32．
故选：C．
3.已知角α的终边上一点1,m，且sinα= 63，则m= ．
解：由角 α 的终边上一点 1,m ，且 sinα= 63 ，
可得 m 1+m2= 63 ，解之得 m= 2 或 m=− 2 (舍)
故答案为： 2
4.如图所示，设角α的始边在x轴正半轴上，终边在第二象限，点M为其终边上一点，则由图中有关数据可知，其余弦值csα= ．
解：∵M− 32,12，∴|OM|=1，∴csα=− 321=− 32．故答案为：− 32．
5.(1)已知角α的终边过点P(−3t,4t)，若t>0，求sinα，csα，tanα的值．
(2)已知P(3,y)是角α的终边上一点，且sinα=23，求y的值．
(1)解：∵角α的终边过点P(−3t,4t)，且t>0，
∴x=−3t,y=4t,r= −3t2+4t2=5t=5t，
故sinα=yr=4t5t=45,csα=−3t5t=−35,tanα=yx=4t−3t=−43．
(2)解：∵P(3,y)是角α的终边上一点，且sinα =23，
∴y>0且y 32+y2=23，解得y=6 55．
6.已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α，cs α，tan α的值．
解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t,−3t)(t≠0)，
则x=4t，y=−3t，
∴r=|OP|= x2+y2= (4t)2+(−3t)2=5|t|．
当t>0时，r=5t，
sinα=yr=−3t5t=−35，csα=xr=4t5t=45，
tanα=yx=−3t4t=−34；
当t<0时，r=−5t，
sinα=yr=−3t−5t=35，csα=xr=4t−5t=−45，
tanα=yx=−3t4t=−34．
综上可知，
sinα=−35，csα=45，tanα=−34；
或者sinα=35，csα=−45，tanα=−34．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固三角函数的概念，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过课堂总结，帮助学生系统梳理本节知识，搭建知识框架.
自变量x
幂函数y=xα
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y=x,xϵR
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y=x2,xϵR
9
4
1
0
1
4
9
16
25
y=x3,xϵR
-27
-8
-1
0
1
8
27
64
125
y=x12或y=x,x≥0
0
1
2
3
2
5
y=x−1或y=1x,x≠0
−13
−12
-1
1
12
13
14
15
第1课时
一、教学目标
1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能准确表述定义内容；
2．会根据角终边上点的坐标，求该角的三角函数值，反之，能根据已知的三角函数值，确定角的终边上的点的坐标的可能情况；
3．掌握特殊角（30°、45°、60°、90°等）的三角函数值；
4．经历从锐角三角函数到任意角三角函数定义的推广过程，体会从特殊到一般、类比等数学思想；
5．通过在单位圆中分析角的终边与点的坐标关系，来构建三角函数的定义，培养学生观察、分析和归纳能力，提高学生的数学运算和逻辑推理能力．
二、教学重难点
重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义．
难点：任意角的三角函数概念的建构过程．
三、教学过程
（一）创设情境
回顾：
在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数，如图所示，在直角三角形中，如何定义锐角的正弦函数、余弦函数和正切函数？
答：sinα=对边斜边，csα=邻边斜边，tanα=对边邻边
思考：该定义中的三个三角函数,对于同样大的一个锐角来说,如果三角形的大小发生了改变，其三角函数值是否也改变呢?
答：不变．
设计意图：通过复习初中所学锐角的三角函数的定义，用类比的方法、联系的观点引入本节新课．建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力．
情境：
在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数.下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题：圆周运动是一种常见的周期性变化现象，如图所示：⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，如何刻画点P的位置变化呢？
不失一般性，先研究单位圆上点的运动.现在的任务是：建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况．
（二）探究新知
任务1：探究三角函数的定义
根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题．
如图所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y) .射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
探究1：当=π6时，点P的坐标是什么？当=π2或2π3时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.利用勾股定理可以发现，当=π6时，点P的坐标是(32， 12)；当=π2或2π3时，点P的坐标分别是(0，1)和(−12， 32)．它们都是唯一确定的．
设计意图：先研究特殊角下点P坐标，再研究任意角下点P坐标.体现由特殊到一般的思想.
探究2：一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.因为单位圆的半径不变，点P的坐标只与角的大小有关，当角确定时，点P的坐标是也唯一确定.
思考：观察角α的终边与单位圆的交点P的坐标，有什么发现？能运用函数的语言刻画这种对应关系吗？
师生活动：对任意一个实数α，它的终边OP与单位圆的交点P的横、纵坐标x,y都是唯一确定的.
一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x，还是纵坐标y，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.
设计意图:以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角α(弧度)的函数，为引出三角函数的定义做好铺垫.
下面给出三角函数的定义：
师生活动：教师给出图示，学生结合图中信息给出三个定义，设α是一个任意角α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)，那么把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记做sinα，即y=sinα；
把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记做csα，即x=csα；
把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切函数，记做tanα，即yx=tanα(x≠0).
可以看出，当α=π2+kπ（k∈Z）时，α的终边在y轴上，这时点P 的横坐标 x 等于0，所以yx=tanα无意义．除此之外，对于确定的角α，yx的值也是唯一确定的．所以，yx=tanα(x≠0)也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．
追问：任意角三角函数的定义域分别是什么呢?
学生进行讨论.正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集，即x∈R，对于正切函数而言，要求点P的横坐标x≠0，即角α的终边OP不能位于y轴上，那么正切函数的定义域为x|x≠π2+kπ,k∈Z.
设计意图：在问题的引导下，通过阅读教科书使学生对三角函数定义有更深刻的理解.
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数 y = sinx，x∈R；
余弦函数 y = csx，x∈R；
正切函数 y = tanx，x≠π2+kπ,(k∈Z)
任务2：三角函数定义的推广
探究：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，如何用点P的坐标定义角α的正弦、余弦和正切？
要求：先独立思考，再合作交流
师生活动：给出问题后，教师可以引导学生分析问题，再让学生尝试解决.
证明：如图，设角α的终边与单位圆交于交点P0(x0,y0).分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则：
|P0M0|=|y0|，|PM|=|y|，|OM0|=|x0|，|OM|=|x|，
△OMP∼△OM0P0.
于是，|P0M0|1=|PM|r，即|y0|=|y|r.因为y0与y同号，所以y0=yr.
即sin α=yr.同理可得，cs α=xr，tan α=yx.
设计意图： 通过问题引导，使学生找到△OMP、△OM1P1，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.
三角函数定义的推广：
一般地，对于任意角α，角α终边上任意一点P的坐标为（x，y），它到原点O的距离为r=|OP|=x2+y2，
那么sinα=yr，csα=xr，tanα=yx(x≠0).
显然任意角α的三角函数值不会随终边上点P位置的变化而变化．
设计意图：让学生进一步了解三角函数的定义，提高学生分析问题、概括能力．
（三）应用举例
例1 求5π3的正弦、余弦和正切值.
解：在直角坐标系中，作∠AOB=5π3.易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(12,−32).所以有：
sin5π3=−32，cs5π3=12，tan5π3=−3.
设计意图: 通过例题让学生学会根据三角函数的定义，求角的三角函数值，提高学生解决问题的能力．
例2 (1)已知角α的终边过点P（-6，-8)，求角α的三角函数值．
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cs α＝－513，求1sinα+1tanα的值．
解：(1)点P到原点O的距离为r=|OP|=36+64=10
则sinα=−810=−45,csα=−610=−35,tanα=−8−6=43.
(2)∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cs α＝－513，
∴cs α＝−xx2+36＝－513，解得x＝52，
∴P(－52，－6)，∴sin α＝－1213，∴tan α＝−6−52＝125，
则1sinα+1tanα=−1312+512=−23.
例2 若角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cs α，tan α的值．
解：设P(a，3a)(a≠0)是其终边上任一点，
则tan α＝3aa=3，
r＝a2+(3a)2＝2|a|，
当a>0时，sin α＝3a2a=32，cs α＝a2a＝12,
当a<0时，sin α＝3a−2a=−32，cs α＝a−2a＝−12，
所以tanα=3,sin α＝32，cs α＝12或tanα=3,sin α＝−32，cs α＝−12.
总结：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上点，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝yx(x≠0).
(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r=x2+y2，再求sinα=yr,csα=xr,tanα=yx(x≠0).
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
设计意图： 通过例题巩固本节所学知识，培养学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．
（四）课堂练习
1.角α的终边上一点P的坐标为( 3,t)，且sinα=2t(t≠0)，则tanα=( )
A. ± 2B. ± 6C. 2D. 6
解：sinα=t 3+t2=2t⇒t2=2 3+t2，
解得t=± 6，
所以tanα=± 6 3=± 2．
故选A．
2.下列各式中，与sin5π3的值相等的是( )
A. csπ6B. sin2π3C. sin4π3D. sin7π3
解：因sin5π3=−sinπ3=− 32，csπ6= 32，sin2π3= 32，sin4π3=−sinπ3=− 32，sin7π3=sinπ3= 32．
故选：C．
3.已知角α的终边上一点1,m，且sinα= 63，则m= ．
解：由角 α 的终边上一点 1,m ，且 sinα= 63 ，
可得 m 1+m2= 63 ，解之得 m= 2 或 m=− 2 (舍)
故答案为： 2
4.如图所示，设角α的始边在x轴正半轴上，终边在第二象限，点M为其终边上一点，则由图中有关数据可知，其余弦值csα= ．
解：∵M− 32,12，∴|OM|=1，∴csα=− 321=− 32．故答案为：− 32．
5.(1)已知角α的终边过点P(−3t,4t)，若t>0，求sinα，csα，tanα的值．
(2)已知P(3,y)是角α的终边上一点，且sinα=23，求y的值．
(1)解：∵角α的终边过点P(−3t,4t)，且t>0，
∴x=−3t,y=4t,r= −3t2+4t2=5t=5t，
故sinα=yr=4t5t=45,csα=−3t5t=−35,tanα=yx=4t−3t=−43．
(2)解：∵P(3,y)是角α的终边上一点，且sinα =23，
∴y>0且y 32+y2=23，解得y=6 55．
6.已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α，cs α，tan α的值．
解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t,−3t)(t≠0)，
则x=4t，y=−3t，
∴r=|OP|= x2+y2= (4t)2+(−3t)2=5|t|．
当t>0时，r=5t，
sinα=yr=−3t5t=−35，csα=xr=4t5t=45，
tanα=yx=−3t4t=−34；
当t<0时，r=−5t，
sinα=yr=−3t−5t=35，csα=xr=4t−5t=−45，
tanα=yx=−3t4t=−34．
综上可知，
sinα=−35，csα=45，tanα=−34；
或者sinα=35，csα=−45，tanα=−34．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固三角函数的概念，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过课堂总结，帮助学生系统梳理本节知识，搭建知识框架.
自变量x
幂函数y=xα
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y=x,xϵR
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y=x2,xϵR
9
4
1
0
1
4
9
16
25
y=x3,xϵR
-27
-8
-1
0
1
8
27
64
125
y=x12或y=x,x≥0
0
1
2
3
2
5
y=x−1或y=1x,x≠0
−13
−12
-1
1
12
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14
15
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