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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2.1 三角函数的概念第2课时教学设计及反思
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2.1 三角函数的概念第2课时教学设计及反思，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时
一、教学目标
1．进一步理解三角函数的定义，熟练掌握三角函数在各象限的符号；
2．能够根据三角函数的定义和象限角的特点，推导诱导公式一，并运用其进行简单的三角函数值求值；
3．通过对三角函数在各象限符号的讨论和诱导公式一的推导，培养学生的逻辑推理能力和分析问题能力；
4．在运用同角三角函数基本关系解决问题的过程中，提高学生的数学运算能力和转化思想的应用能力
二、教学重难点
重点：掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号，利用公式一进行化简求值．
难点：理解任意角三角函数在个象限符号的规律以及公式一的识记与应用．
三、教学过程
（一）创设情境
回顾：任意角的三角函数的定义是什么？
答：设α是一个任意角α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)，
（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记做sinα，即y=sinα；
（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记做csα，即x=csα；
（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切函数，记做tanα，即yx=tanα(x≠0).
yx=tanα(x≠0)也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为
正弦函数 y = sinx，x∈R；
余弦函数 y = csx，x∈R；
正切函数 y = tanx，x≠π2+kπ,(k∈Z)
设计意图：通过复习任意角的三角函数的定义，引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括推理的能力.
通过上节课的学习，从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0．它们的符号与什么有关？一起来探究吧！
（二）探究新知
任务1：探究三角函数值在各象限的符号
探究1：根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表5.2-1.
表5.2-1
师生活动：教师提出问题后，学生独立思考，完成表5.2-1．
设计意图：任意角的三角函数定义的应用，培养学生的归纳概括能力.
思考：根据任意角的三角函数定义，sinα、csα、tanα的符号取决于什么？
师生活动：学生先独立思考，再汇报展示.
答：根据任意角的三角函数定义，sinα、csα、tanα的符号取决于角的终边与单位圆交点纵坐标的符号、横坐标的符号以及纵坐标与横坐标比值的符号.
探究2：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，你能得到各三角函数在各象限内的符号吗？将这三种函数的值在各象限的符号填入下图中的括号.
y
y
y
O
O
x
x
O
x
（ ） + （ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
sin α cs α tan α
师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.
设计意图：从特殊到一般，使学生确认三角函数值在各象限的符号.
结论：简记口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
思考：终边在坐标轴上的角的三角函数正负如何？
师生活动：学生先独立思考，再合作交流.
答：终边落在x轴非负半轴时，sinα=0,csα=1,tanα=0；
终边落在y轴非负半轴时，sinα=1,csα=0,tanα不存在；
终边落在x轴非正半轴时，sinα=0,csα=−1,tanα=0；
终边落在y轴非正半轴时，sinα=−1,csα=0,tanα不存在.
任务2：探索诱导公式一
思考：根据三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？
要求：先独立思考，再合作交流
答：终边相同的角，其同一三角函数的值相等．
师生活动：给出问题后，教师引导学生根据三角函数的定义进行分析，再让学生尝试归纳诱导公式一.
总结：公式一：
sin(α＋k·2π)＝sin α，cs(α＋k·2π)＝cs α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．
设计意图：在问题的引导下，让学生自己尝试归纳总结诱导公式一，使学生对公式一有更深刻的理解.
（三）应用举例
例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是sinθ<0,①tanθ>0.②
证明：先证充分性，即如果①②式都成立，那么θ为第三象限角.
因为①式sin θ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合；
又因为②式tan θ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限.于是θ角为第三象限角.
再证必要性，即如果θ第三象限角，则①②式都成立.
因为θ第三象限角，所以角θ的终边与单位圆的交点的横坐标x与纵坐标y都是负数，根据三角函数的定义知，sinθ<0，tanθ>0.
综上所述：角θ为第三象限角的充要条件是sinθ<0,①tanθ>0.②
例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
(1) cs 250°；(2)sin(−π4)；(3)tan (-672°)； (4)tan3π.
解：(1)因为250°是第三象限角，所以 cs 250°＜0.
(2)因为−π4是第四象限角，所以sin(−π4)<0；
(3)因为tan(−672°)=tan(48°−2×360°)=tan48°,
而48°是第一象限角，所以tan(−672°)>0；
(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ,
而π的终边在x轴上，所以tanπ=0.
请同学们自己完成用计算工具验证.
总结：判断三角函数值在各象限符号的攻略
(1)基础：准确确定各角所在象限；
(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位,不要误当作角度导致象限判断错误.
注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号.
设计意图： 通过例1、例2，让学生熟练掌握三角函数值在各个象限的符号，同时例2也涉及简单的诱导公式一的运用.
例3 求下列三角函数值：
(1)sin1480°18’（精确到0.001）；(2)cs9π4；(3)tan(−11π6).
解：(1)sin1480°18’=sin(40°10’+4×360°)=sin40°10’≈0.645;
(2)cs9π4=cs(π4+2π)=csπ4=22；
(3)tan(−11π6)=tan(π6−2π)=tanπ6=33
总结：诱导公式一的应用思路
1.诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．
2.利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0～2π之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”．
设计意图：让学生进一步了诱导公式一的应用思路，提高学生分析问题、解决问题的能力.
例4 化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcs(－990°)；
(2)sin(−11π6)＋cseq \f(12,5)π·tan 4π.
解：(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcs(－3×360°+90°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcs 90°
＝a2＋b2.
(2)sin(−11π6)＋cseq \f(12,5)π·tan 4π
＝sin(−2π+π6)＋cs(2π+2π5)·tan 0＝sinπ6＋0＝eq \f(1,2).
总结：利用公式一进行化简求值的步骤：
(1) 定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.
(2) 转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
(3) 求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
设计意图： 通过例题巩固本节所学知识，培养学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.
（四）课堂练习
1.若sinxcsx>0，sinx+csx>0，则x2可以是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
解：∵sinxcsx>0，∴角x的终边在第一、三象限，
又∵sinx+csx>0，∴角x的终边在第一象限，
即2kπ当k为偶数时，x2的终边在第一象限;
当k为奇数时，x2的终边在第三象限，
综上所述，x2可以是第一、三象限角．
故选：AC．
2.下列四个选项中正确的有( )
A. 若点P(tanα,csα)在第三象限，则α是第二象限角
B. 若三角形的两内角A，B，满足sinA csB<0，则此三角形必为钝角三角形
C. sin 145°cs (−210°)>0
D. sin 3·cs 4·tan 5>0
解：对于A，由题意知，tanα<0且csα<0，所以α是第二象限角，故A正确；
对于B，A,B∈(0,π)，sinA csB<0，所以sinA>0，csB<0，
故角B为钝角，故B正确；
对于C，因为145°是第二象限角，所以sin 145°>0，
因为−210°=−360°+150°，
所以−210°是第二象限角，
所以cs (−210°)<0，
所以sin 145°⋅cs (−210°)<0，故C错误；
对于D，因为π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，
所以sin3>0，cs4<0，tan5<0，
则sin3⋅cs4⋅tan5>0，故D正确．
故选ABD．
3.判断sin2cs3tan4的符号．
解：∵ π 2<2< π ，∴sin2>0，
∵ π 2<3< π ，∴cs3<0，
∴ π <4<32 π ，∴tan4>0，
∴sin2cs3tan4<0．
4.求下列各式的值．
(1)cs−233π+tan174π；
(2)sin630°+tan1125°+tan765°+cs540°；
(3)sin72π+cs52π+cs(−5π)+tanπ4．
解：(1)原式=csπ3+(−4)×2π+tanπ4+2×2π
=cs π3+tan π4=12+1=32；
(2)原式=sin(360°+270°)+tan(3×360°+45°)+tan(2×360°+45°)+cs(360°+180°)
=sin 270°+tan 45°+tan 45°+cs 180°
=−1+1+1−1=0；
(3)原式=sin(2π+32π)+cs(2π+π2)+cs(−4π−π)+1
=sin32π+csπ2+csπ+1
=−1+0−1+1=−1．
5.若角θ的终边过点P(−4a,3a)(a≠0)，
(Ⅰ)求sinθ+csθ的值
(Ⅱ)试判断cs(sinθ)⋅sin(csθ)的符号．
解：(Ⅰ)∵角θ的终边过点P(−4a,3a)(a≠0)，
∴x=−4a，y=3a，r=5|a|．
∴sinθ=3a5a，csθ=−4a5a．
当a>0时，r=5a，sinθ+csθ=−15．
当a<0时，r=−5a，sinθ+csθ=15．
(Ⅱ)当a>0时，sinθ=35∈(0,π2)，csθ=−45∈(−π2,0)，
则cs(sinθ)⋅sin(csθ)=cs35⋅sin(−45)<0；
当a<0时，sinθ=−35∈(−π2,0)，csθ=45∈(0,π2)，
则cs(sinθ)⋅sin(csθ)=cs(−35)⋅sin45>0．
综上，当a>0时，cs(sinθ)⋅sin(csθ)的符号为负；
当a<0时，cs(sinθ)⋅sin(csθ)的符号为正．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固三角函数在各象限的符号以及诱导公式一，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
三角函数
定义域
sin α
cs α
tan α
三角函数
定义域
sin α
R
cs α
R
tan α
{α∈R|α≠π2+kπ,k∈Z}
第2课时
一、教学目标
1．进一步理解三角函数的定义，熟练掌握三角函数在各象限的符号；
2．能够根据三角函数的定义和象限角的特点，推导诱导公式一，并运用其进行简单的三角函数值求值；
3．通过对三角函数在各象限符号的讨论和诱导公式一的推导，培养学生的逻辑推理能力和分析问题能力；
4．在运用同角三角函数基本关系解决问题的过程中，提高学生的数学运算能力和转化思想的应用能力
二、教学重难点
重点：掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号，利用公式一进行化简求值．
难点：理解任意角三角函数在个象限符号的规律以及公式一的识记与应用．
三、教学过程
（一）创设情境
回顾：任意角的三角函数的定义是什么？
答：设α是一个任意角α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)，
（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记做sinα，即y=sinα；
（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记做csα，即x=csα；
（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切函数，记做tanα，即yx=tanα(x≠0).
yx=tanα(x≠0)也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为
正弦函数 y = sinx，x∈R；
余弦函数 y = csx，x∈R；
正切函数 y = tanx，x≠π2+kπ,(k∈Z)
设计意图：通过复习任意角的三角函数的定义，引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括推理的能力.
通过上节课的学习，从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0．它们的符号与什么有关？一起来探究吧！
（二）探究新知
任务1：探究三角函数值在各象限的符号
探究1：根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表5.2-1.
表5.2-1
师生活动：教师提出问题后，学生独立思考，完成表5.2-1．
设计意图：任意角的三角函数定义的应用，培养学生的归纳概括能力.
思考：根据任意角的三角函数定义，sinα、csα、tanα的符号取决于什么？
师生活动：学生先独立思考，再汇报展示.
答：根据任意角的三角函数定义，sinα、csα、tanα的符号取决于角的终边与单位圆交点纵坐标的符号、横坐标的符号以及纵坐标与横坐标比值的符号.
探究2：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，你能得到各三角函数在各象限内的符号吗？将这三种函数的值在各象限的符号填入下图中的括号.
y
y
y
O
O
x
x
O
x
（ ） + （ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
sin α cs α tan α
师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.
设计意图：从特殊到一般，使学生确认三角函数值在各象限的符号.
结论：简记口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
思考：终边在坐标轴上的角的三角函数正负如何？
师生活动：学生先独立思考，再合作交流.
答：终边落在x轴非负半轴时，sinα=0,csα=1,tanα=0；
终边落在y轴非负半轴时，sinα=1,csα=0,tanα不存在；
终边落在x轴非正半轴时，sinα=0,csα=−1,tanα=0；
终边落在y轴非正半轴时，sinα=−1,csα=0,tanα不存在.
任务2：探索诱导公式一
思考：根据三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？
要求：先独立思考，再合作交流
答：终边相同的角，其同一三角函数的值相等．
师生活动：给出问题后，教师引导学生根据三角函数的定义进行分析，再让学生尝试归纳诱导公式一.
总结：公式一：
sin(α＋k·2π)＝sin α，cs(α＋k·2π)＝cs α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．
设计意图：在问题的引导下，让学生自己尝试归纳总结诱导公式一，使学生对公式一有更深刻的理解.
（三）应用举例
例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是sinθ<0,①tanθ>0.②
证明：先证充分性，即如果①②式都成立，那么θ为第三象限角.
因为①式sin θ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合；
又因为②式tan θ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限.于是θ角为第三象限角.
再证必要性，即如果θ第三象限角，则①②式都成立.
因为θ第三象限角，所以角θ的终边与单位圆的交点的横坐标x与纵坐标y都是负数，根据三角函数的定义知，sinθ<0，tanθ>0.
综上所述：角θ为第三象限角的充要条件是sinθ<0,①tanθ>0.②
例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
(1) cs 250°；(2)sin(−π4)；(3)tan (-672°)； (4)tan3π.
解：(1)因为250°是第三象限角，所以 cs 250°＜0.
(2)因为−π4是第四象限角，所以sin(−π4)<0；
(3)因为tan(−672°)=tan(48°−2×360°)=tan48°,
而48°是第一象限角，所以tan(−672°)>0；
(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ,
而π的终边在x轴上，所以tanπ=0.
请同学们自己完成用计算工具验证.
总结：判断三角函数值在各象限符号的攻略
(1)基础：准确确定各角所在象限；
(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位,不要误当作角度导致象限判断错误.
注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号.
设计意图： 通过例1、例2，让学生熟练掌握三角函数值在各个象限的符号，同时例2也涉及简单的诱导公式一的运用.
例3 求下列三角函数值：
(1)sin1480°18’（精确到0.001）；(2)cs9π4；(3)tan(−11π6).
解：(1)sin1480°18’=sin(40°10’+4×360°)=sin40°10’≈0.645;
(2)cs9π4=cs(π4+2π)=csπ4=22；
(3)tan(−11π6)=tan(π6−2π)=tanπ6=33
总结：诱导公式一的应用思路
1.诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．
2.利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0～2π之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”．
设计意图：让学生进一步了诱导公式一的应用思路，提高学生分析问题、解决问题的能力.
例4 化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcs(－990°)；
(2)sin(−11π6)＋cseq \f(12,5)π·tan 4π.
解：(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcs(－3×360°+90°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcs 90°
＝a2＋b2.
(2)sin(−11π6)＋cseq \f(12,5)π·tan 4π
＝sin(−2π+π6)＋cs(2π+2π5)·tan 0＝sinπ6＋0＝eq \f(1,2).
总结：利用公式一进行化简求值的步骤：
(1) 定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.
(2) 转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
(3) 求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
设计意图： 通过例题巩固本节所学知识，培养学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.
（四）课堂练习
1.若sinxcsx>0，sinx+csx>0，则x2可以是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
解：∵sinxcsx>0，∴角x的终边在第一、三象限，
又∵sinx+csx>0，∴角x的终边在第一象限，
即2kπ
当k为奇数时，x2的终边在第三象限，
综上所述，x2可以是第一、三象限角．
故选：AC．
2.下列四个选项中正确的有( )
A. 若点P(tanα,csα)在第三象限，则α是第二象限角
B. 若三角形的两内角A，B，满足sinA csB<0，则此三角形必为钝角三角形
C. sin 145°cs (−210°)>0
D. sin 3·cs 4·tan 5>0
解：对于A，由题意知，tanα<0且csα<0，所以α是第二象限角，故A正确；
对于B，A,B∈(0,π)，sinA csB<0，所以sinA>0，csB<0，
故角B为钝角，故B正确；
对于C，因为145°是第二象限角，所以sin 145°>0，
因为−210°=−360°+150°，
所以−210°是第二象限角，
所以cs (−210°)<0，
所以sin 145°⋅cs (−210°)<0，故C错误；
对于D，因为π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，
所以sin3>0，cs4<0，tan5<0，
则sin3⋅cs4⋅tan5>0，故D正确．
故选ABD．
3.判断sin2cs3tan4的符号．
解：∵ π 2<2< π ，∴sin2>0，
∵ π 2<3< π ，∴cs3<0，
∴ π <4<32 π ，∴tan4>0，
∴sin2cs3tan4<0．
4.求下列各式的值．
(1)cs−233π+tan174π；
(2)sin630°+tan1125°+tan765°+cs540°；
(3)sin72π+cs52π+cs(−5π)+tanπ4．
解：(1)原式=csπ3+(−4)×2π+tanπ4+2×2π
=cs π3+tan π4=12+1=32；
(2)原式=sin(360°+270°)+tan(3×360°+45°)+tan(2×360°+45°)+cs(360°+180°)
=sin 270°+tan 45°+tan 45°+cs 180°
=−1+1+1−1=0；
(3)原式=sin(2π+32π)+cs(2π+π2)+cs(−4π−π)+1
=sin32π+csπ2+csπ+1
=−1+0−1+1=−1．
5.若角θ的终边过点P(−4a,3a)(a≠0)，
(Ⅰ)求sinθ+csθ的值
(Ⅱ)试判断cs(sinθ)⋅sin(csθ)的符号．
解：(Ⅰ)∵角θ的终边过点P(−4a,3a)(a≠0)，
∴x=−4a，y=3a，r=5|a|．
∴sinθ=3a5a，csθ=−4a5a．
当a>0时，r=5a，sinθ+csθ=−15．
当a<0时，r=−5a，sinθ+csθ=15．
(Ⅱ)当a>0时，sinθ=35∈(0,π2)，csθ=−45∈(−π2,0)，
则cs(sinθ)⋅sin(csθ)=cs35⋅sin(−45)<0；
当a<0时，sinθ=−35∈(−π2,0)，csθ=45∈(0,π2)，
则cs(sinθ)⋅sin(csθ)=cs(−35)⋅sin45>0．
综上，当a>0时，cs(sinθ)⋅sin(csθ)的符号为负；
当a<0时，cs(sinθ)⋅sin(csθ)的符号为正．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固三角函数在各象限的符号以及诱导公式一，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
三角函数
定义域
sin α
cs α
tan α
三角函数
定义域
sin α
R
cs α
R
tan α
{α∈R|α≠π2+kπ,k∈Z}
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