高中数学人教A版 (2019)必修 第一册三角函数的概念教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册三角函数的概念教案，共6页。
三角函数的概念
教学目标
借助单位圆理解任意角三角函数的概念；
能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题；
体验三角函数概念的产生、发展过程，领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验。
教学对象分析
从学生知识层面看：
(1)在初中阶段学生已经学习了锐角三角函数的概念；
(2)学生已经掌握了圆的有关知识；
(3)本节课之前学习了任意角,以及弧度制与实数的一一对应,这为学习任意角的三角函数奠定了基础。
从学生能力层面看：
学生通过前面函数的学习，已初步具有逻辑思维能力，能在教师的引导下独立解决简单问题；
学生数形结合能力不强，望“函数”而“色变”，数学抽象的素养欠缺。
教学重点：
借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；
能根据定义求特殊角的三角函数值。
教学难点：
1.任意角的三角函数概念的建构过程；
2.角的终边与单位圆的交点坐标。
解决措施：通过生活中的周期现象引入新课，建立知识间的联系，提高学生的抽象概括能力；在教学过程中注重提升学生的学习积极性，尽量多设置思维引导点，引导学生分析并解决问题；在问题的处理上注重前后知识的联系，用已有知识解决新问题，并得到新知识。
教学过程
教学环节
教学内容
学生活动
设计意图
（一）
创设情境，明确背景
师:在客观世界中存在大量循环往复、周而复始的周期现象,比如日出日落、钟摆运动等,匀速圆周运动是这类现象的代表
生：观察图片，思考实际问题，并举例生活中的匀速圆周运动这类周期现象。
引导学生感受周期现象，为后面探究任意角的三角函数作了铺垫，让学生体会知识的产生、发展过程。
（二）
提出问题
构建函数
（二）
提出问题
构建函数
师：问题1
小组合作
摩天轮转动过程中如何刻画座舱的位置变化？
单位圆上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，可以用哪些变量刻画点P的位置变化？
探究1：如图，建立直角坐标系，做单位圆O. 点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y). 射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
问题2：当 α = π/6 时，点P的坐标是什么？当 α = π/2 或 2π/3 时，点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？
问题3：通过观察视频，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，是唯一确定的吗？这种对应关系满足函数的定义吗？

生：（小组交流）
角α、P点坐标

生：（小组探究、展示）
利用勾股定理可以发现，当 α = π/6 时，点 P1的坐标是（√3/2，1/2）；当 α = π/2 时：P2（0，1）；
当 α = 2π/3 时：P3（−1/2，√3/2）唯一确定
生：（观看视频）任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标 x 还是纵坐标 y，都是唯一确定的；即点P的横坐标 x 和纵坐标 y 都是角α的函数.
为完成函数的第一次抽象，设置问题1。
在问题3中利用多媒体技术进行视频演示，让学生更加直观感受到变换，加深理解。完成函数概念的第二次抽象，通过小组探究、教师指导的形式，让学生求出角的终边与单位圆的交点坐标，进而明白其确定性，并突破本节课的难点2，通过问题3，既体现了由特殊到一般的数学方法，同时为形成三角函数的概念起铺垫的作用。
在解决问题时,对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论,利用信息技术直观的验证猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。
（三）
理解法则
形成概念
师：（展示概念）设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)；
（1）把点P的纵坐标 y 叫做 α 的正弦函数，记作sinα，即 y=sinα；
（2）把点P的横坐标 x 叫做 α 的余弦函数，记作csα，即 x =csα；
（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 y/x 叫做α的正切，记作tanα，即 y/x = tanα (x≠0)；当 α = π/2 + kπ（k∈Z）时，α 的终边始终在 y 轴上，这时 x = 0，tanα无意义；此外，正切 tanα 与实数 α 是一一对应的，即 y/x =tanα (x≠0) 为正切函数.
师：正弦函数和余弦函数的定义域是什么？（教师板书）
生：（阅读概念）
记忆并理解任意角三角函数的定义
生：（小组交流）展示结论
教师引导，学生阐述，用数学中函数的符号语言加以表达，完成第三次抽象，在这里及时讨论函数的定义域，更直观，学生更容易理解，特别是正切函数的定义域一目了然。
在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主与合作交流为前提,以问题为导向设计教学情境，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种探究形式，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
（四）
关联探究
升华认知
师：探究2： 把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为 ，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为 ，与 相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
生：（小组探究）
生：（展示）
通过探究2让学生理解锐角的三角函数与任意角的三角函数的关系，提高学生分析问题的能力。
（五）
知识应用
合作交流
（五）
知识应用
合作交流
师：
例1 求 的正弦、余弦和正切值.
师：如何运用任意角三角函数定义值？
师：例2：如图，设 α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r。求证
师：角α的三角函数值不会随点P在终边的位置的改变而改变。
生：学生回答解题思路，并通过例1总结利用三角函数定义求值的方法步骤。
生：（小组交流）一位同学投屏展示答案，其余同学在学案上完成
例１的处理，先由学生独立完成，提供反馈校正的素材，教师及时点评关注学生的数学表达并及时引导学生总结解题步骤，提高总结归纳的能力。通过例1让学生学会运用三角函数的定义求任意角的三角函数值，体现了教与学的一致性。
例2通过让一位学生展示证明过程，了解学生对这节课的掌握程度，进一步规范学生的解题过程，体现出学生的主体地位。通过分析例题，教师指出例2是任意角三角函数的另一种定义，由此学生可以直观感知角α的三角函数值不会随点P在终边的位置的改变而改变。
（六）
当堂练习
巩固概念
（七）
小结提升
形成结构
师：（出示习题）请同学们独立完成三道练习题，并在组内核对答案。
师：通过本节课的学习，你有哪些收获？
师：（展示）
生：独立作答，交流答案。
生：（展示交流）
通过练习巩固本节所学知识，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
通过学生的总结，突出本节课所学的知识和技能，提高概括能力，提炼学习过程中渗透的数学思想方法，有助于加深学生对本节课重点核心知识和数学思想方法的把握，提升学生的数学素养。
（八）
分层作业
延伸巩固
1.必做作业：
已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s.求2s时点P所在的位置。
2.研究性作业
阅读课本186页《阅读与思考》，并查阅相关资料，研究三角学的发展历史，并写出研究性报告。
生：课后完成
生：核对答案；互相展示
通过作业加深学生对三角函数概念的理解，为后续学习打好基础，通过研究性作业让学生的学习延伸到课外，获取更多数学知识，培养学生探究的兴趣。